创新与数学思维方式的应用.docx

创新与数学思维方式的应用创新与数学的思维方式的应用 学院：信息工程学院 专业：测控一班 姓名：孙智超 学号：1567112101 目录 第一章 数学思想方法概述··························1 第二章 数学中常用的几种方法······················2 第三章 数学方法论的研究与发展····················4 第四章数学思维方法的应用·························5 第五章 数学文化与数学思维方法····················8 第一章 数学思想方法概述 1数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。 2思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。 3思维的特征：方向性，概括性、间接性 4数学思想方法的两个源头：欧几里得几何原本和古代中国九章算术 5数学思想方法的发展概述： 从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。 从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。 从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。 从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。 从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变 6数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。 数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。 数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。 7数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维 8数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性 9数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。 10数学思维方法分类: 按照使用范围不同：宏观数学方法,微观数学方法 按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法 按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法 1 按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法 11数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系 数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容 数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义 数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系 12数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学 13在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义： 数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。 数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问题的方法。 数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。 14在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力” 15中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。 16从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题： 数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数学能力、专业素质的培养 数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与研究和讨论的过程 数学思维方法可以使人了解数学理论发展变化中的数学家思维方式的变化，也是对大学数学专业学习的一个反思过程。 第二章 数学中常用的几种方法 1分析法：执果索因 2 2综合法：由因导果 3形式化 ·数学形式化的教学和解决问题时应该注意两点： 强调内在规律、规则的限制 具体问题的数学形式化解决答案要符合实践要求 ·中小学的数学是处于与实践问题密切联系的特殊的形式化阶段 中小学数学也是数学的形式，因此它必然是形式化的表现形式 由于特定的年龄段学习心理的局限以及中小学数学教学目标的要求，数学的形式化都隐其后，而以现实、生动的数学问题来表现数学的形式化 ·数学中常见的形式化的问题有：数量及关系的形式化、概念定义形式化、命题及证明形式化等 ·数学的形式化发展，经历公理化方法的阶段：实质公理化，形式公理化，元数学的建立 ·元数学的目标要论证数学的无矛盾性以及理论构成的严谨、完美 4演绎法：从一般原理推出个别结论。由大前提、小前提、结论组成的三段论式的论证推理。 ·演绎法的注意事项 掌握演绎法运用的形式化特点 必须严格遵守其形式化的规则，必须清楚每一步推理、每一步运算的前提依据是什么 应用形式化的演绎方法时，应当注意前提条件的内涵 5构造法 ·数学是数学符号的表达式 ·构造法：也称构造性方法，指数学中的概念和方法，按固定的方式经过有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。 ·构造法的特征：对所讨论的对象能有较为直观的描述；不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出具体的表达效果 3 6反例法 ·反例法：建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上的并且具有一定否定作用的例子 ·反例法的作用 有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展 有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵 有助于数学的学习，提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力 ·构造反例的方法：特例选择，性质分析，类比构造等 7数学命题的基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断 第三章 数学方法论的研究与发展 1我国数学美的概念是在徐利治教授提出来之后才展开较为广泛的研究 2数学美：包括美的本质、美在数学中存在的类型和表现形态，不同数学分支之间美的关系 数学美包括：结构美，语言美，方法美 3数学美的特征：简洁性，对称性，统一性，奇异性 4波利亚的怎样解题将解题的过程分为四个阶段： 弄清问题 制定计划 执行计划 回顾 5梅森以解题为中心，把解题分为三个阶段：进入、着手、回顾 梅森认为，数学思维实质上就是归结为：特殊化，一般化，猜测和确认 6数学思维、数学方法具有的特征：过程性，层次性，实用性 4 第四章数学思维方法的应用 4.1 数学建模、数学实验中的数学思维方法 1数学模型化方法：通过抽象、概括和一般化，把所研究的对象或问题转化为数学或数学结构，即转化为本质统一的另一对象或问题加以解决的思维方法。 2数学模型化方法的作用：对所研究的对象处理的典型化、形式化和精确化，从而在认知方法上也起到了清晰化和简洁化的作用。 3最早的数学建模专著：九章算术 4数学建模：通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些变化规律建立起的变量与参数间的具有确定关系的数学问题或数学结构，求解该数学问题，解释验证所得到的结果，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环和不断深化的过程。 数学建模是从特殊到一般的数学模型方法的描述性模型。 5数学建模的一般步骤： 模型准备 模型假设 模型建立 模型求解 模型仿真分析 模型检验与应用 写报告作结论 6数学实践能力包括：观察能力，分析能力，推理能力，抽象能力，应用知识能力的综合表达 7数学建模主要是使学生认识数学，理解数学，掌握数学，应用数学 8数学实验方法：在一定的数学思想、数学理论指导下，经过某种预先的组织5 设计，借助于一定的仪器和技术手段，进行数学化实际操作，包括对客观事物的 数量化特性进行观察、抽象、测试、检验、逼近、仿真等，进而解决数学和科学 问题的一类科学研究方法。 9数学实验方法的本质特征：实践性，创造性，演绎与归纳的统一性，经济实用性与应用广泛性 10数学实验方法的方法论意义：发现和总结数学规律，验证和检验数学问题，应用和解决建模问题 11数学实验方法偏重于方法的运用，而数学建模偏重于问题的解决。 12数学实验教学模式创设了一种“问题、实验、交流、猜想、验证”的新模式。 包括五个环节创设情境、活动与实验、讨论与交流、归纳与猜想、验证与数学化 13在数学教育的意义上，数学实验方法的作用： 培养学生的思维方法 有效地促进学生数学问题解决能力的养成 能更好地培养学生的数学情感 4.2在数学上的应用 1、严密 理性 很多人都认为数学是严密的，是理性的代名词，正如以下例子说明： 例1 证明方程 X5-5X+1=0 有且仅有一个小于1的正实根。7 在这题中，首先要证明方程存在根，接着证明仅仅存在一个根，其次证明这个根小于1，最后还要证明这个根式正实根。表面看似一道简单的证明题，但却 在题目中设了很多程序，要想解题获得满分还得十分的谨慎，却一步都不可。所以这一道数学题便体现了数学的严密性，理性。用这种数学思维解决生活中的问题就会很理性，很严密，减少了错误，确保了问题的顺利解决。 2、分析 辩证思维 现实生活中的问题错综复杂，有时需要我们去判断哪些是真，哪些是假。这种判断的过程就体现了数学思维中的分析 辩证思维。 我们在做X带有绝对值符号的极限或分段函数时常常要分析X的取值范围，X<O和 6 X>0所求得的结果是不一样的，虽说这种分析很简单，但却有着重要的作用。 例辨 极限理论体现了辩证思维 牛顿起初把变化的瞬“0”看作“非零”，变化的“0”与不变的“零”绝对不同，体现了便于不变的对立一面，然而牛顿缺乏辩 证逻辑思维，在最后一步不得不违心的吧非零“0”看作“零”，违背了形式逻辑中的推中律，陷入了矛盾，引入极限理论之后，当t0时，变化着的瞬“0”自然转化为“零”，完成了“非零”向“零”的转化，这是变与不变的统一，体现了辩证思维，彻底解决了第二次数学危机。8 我们说一个人有深邃的洞察力，也许就是他的分析 辩证能力吧，体现在生活中，就是运用这种分析 辩证能力解读社会和人生。 3、等价转化思想 等价转化思想是把未知解的问题转化到已有的范围内的思想方法，在求极限 时通常用到等价代换，例如：当x0时，sinxx, tanxx, ex -1x,等。9 通过不断的转化，把不熟悉的，不规范的，复杂的问题转化为熟悉的，规范的，甚至模式法，简单的问题，数学就是思维的不断转移和变换，这种思维应用在现实生活中，就是从不同的角度去看待问题，最后寻找到最佳的结局办法。 4、分类谈论思想 在很多数学问题中，我们经常要对问题进行讨论，特别是对于函数问题中的常数a、b等，需要考虑a<0,a>0,a=0三种情况，也就是所谓的分类讨论。 将分类讨论思想运用在生活中，就是考虑问题发生的各种不同情况，并提出具体的策略和应对方法，分类讨论思想能让我们更全面的考虑问题，也能让我们更好的解决问题。 5、概率思想 概率是指事件出现的可能性大小，是一种不确定的东西，例如抛甩子，没抛一次，16号数字朝上的概率都是16，但不是说一定会出现1数字，或者2,3 .6。只是一种可能性罢了。 概率在生活中无处不在，很多人喜欢将概率看作是一种确定性的分析，但实际上，概率最重要的是对“不确定性”事件的分析，我们分析任何一件事情，其结果必然是概率性的，而不是确定性的，真如市场一样无法预测，但是可以通过分析解读市场变化。 运用概率思想，让我们对生活具有把我能力，而不是听从命运的安排。从概率上说，由于人生发生无数件事情，所以上帝对每一个都是公平的，这种公平是通过概率实现的，学会 7 接受不确定性的思想观念，这是一种生活智慧。 第五章 数学文化与数学思维方法 数学思维的研究意义： 数学思维的研究与教学，现在与今后仍是数学教育的重要目标之一 数学思维方式是中西数学、中西文化碰撞、交流、融合的结合点之一 数学思维教育是提高民族思维方式的重要途径 数学思维对提高民族理性精神有重要意义 8