辽宁省沈阳市大东区高三质量监测理科数学试题及答案.doc

2015年沈阳市大东区高三质量监测数学试卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第22-24题为选考题，其它为必考题。共150分，考试时间为120分钟。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知:全集为U=R,集合,则=A. B. C. D.2.在复平面内,复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则A,且B,且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于4.设数列，=1，前项和为，若，则数列的第5项是 A . 81 B . C. 54 D. 162 5.分别在区间0,1和0,2内任取一个实数，依次记为m和n，则m2<n的概率为 A. B. C. D. 6.函数的大致图像是 7.阅读如图所示的程序框图,若输入的,则该算法的功能是A计算数列的前10项和B计算数列的前9项和C计算数列的前10项和D计算数列的前9项和8.设中，角所对的边分别为，则“”的一个充分非必要条件是 A. B. 第9题图C. D.9.如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱上的动点（包括端点）,则四面体EFGH的体积 A既存在最大值，也存在最小值 B.为定值； C. 只存在最小值； D只存在最大值。10.直线过抛物线2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是 A12x B8x C=6x D=4x11.给出下列四个命题：“”的否定是“”；对于任意实数x,有且时, 函数是偶函数；已知，则满足关于x的方程的充要条件是,其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.412.设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )A. B. C. D.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_14.六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有_种(用数字作答)15.已知正方形ABCD的边长为，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则的最大值为 _.16.已知双曲线，右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分) 已知函数 ()求的单调递增区间； ()求函数在区间上的最大值.18. (本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60°，E为BC中点()证明：A1C平面AB1E()证明:ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.（本题满分12分）某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）()估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；()从乙组准确回忆个数在12,24)范围内的学生中随机选取3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；()从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数其中（）若在上恒成立，求实数的取值范围；（）当时，若对恒成立，求的最小值.（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分）22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，AB为O的直径，过点B作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D。（）求证：CE2 = CD · CB；（）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知：动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。（）求的轨迹的参数方程；（）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数。（）求不等式的解集；（）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。2015年大东区高三质量监测数学参考答案和评分参考（理科）一、 选择题：每小题5分，共60分1.A 2. D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9. A 10. B 11. B 12.A 二、填空题：每小题5分，共20分13. 14.480 15. 16.三、解答题17.(本题满分12分) （） ， 4分由 得：增区间为 7分 （） 所以，当时， 11分的最大值为1. 12分18. (本题满分12分)（）连结A1B，使A1BAB1=O，连结EO,B1C1OEBCA1A因为ABB1A1为平行四边形，所以O为A1B中点又因为E为BC中点, 所以EOA1C又因为EO平面AB1EA1C平面AB1E所以，A1C平面AB1E 4分BB1C1FCA1A()取AB中点F,连结CF, A1F , AB=,=,是正三角形, A1FAB, CA=CB, CFAB, ,AB面CFA1, AB; 8分（）由()知FCAB, FA1AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,FC面,FCFA1, ZXYBB1C1FCA1AFA,FC, FA1两两相互垂直,以F为坐标原点,的方向为轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 由题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),=(-1, ,0) ,=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), = , 10分 直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 12分19. (本题满分12分)解：（），由甲图知，甲组有（人），乙组有20人又，识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人乙组有（人）即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人 4分（）由乙图知，乙组在之间有（人）在之间有（人）的可能取值为0,1,2,36分，的分布列为01238分数学期望10分（）参考答案：甲组学生准确回忆音节数共有：个故甲组学生的平均保持率为乙组学生准确回忆音节数共有：个故乙组学生平均保持率为，所以临睡前背单词记忆效果更好. 12分（只要叙述合理都给分）20. (本题满分12分)（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；2分所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。4分（）设点P(x0,y0)，则,，所以，又点P(x0,y0)在双曲线上，所以有，即，所以6分（）假设存在常数，使得恒成立，则由（）知，所以设直线AB的方程为y=k(x+2)，则直线CD的方程为，由方程组，消y得：，设A(x1,y1), B(x2,y2),则由韦达定理得: 所以，同理可得，又因为，所以有，存在常数，使得恒成立12分21.(本题满分12分)（）即 设则 3分 当时,函数单调递减; 当时,函数单调递增; 最小值实数的取值范围是; 6分 （）当时，构造函数，由题意有G(x)0对x0，+)恒成立，因为.当a0时，所以G(x)在0，+)上单调递增，则G(x)G(0)=0在(0，+)上成立，与题意矛盾.当a0时，令，由于当a1时，上单调递减，所以，所以G(x)在0，)上单调递减，所以G(x)G(0)=0在0，)上成立，符合题意.当0a1时，所以上单调递增，在上单调递减，因为，所以成立，即上成立，所以上单调递增，则G(x)G(0)=0在上成立，与题意矛盾.综上知a的最小值为1. 12分其他合理方法即可.22.（本题满分10分）选修41：几何证明选讲()证明：连接BE.BC为O的切线 ABC90°，2分AEOCED CEDCBE, 4分CCCEDCBE CECDCB6分()OB1,BC2 OCCEOCOE1 8分由()CE CDCB 得(1)2CDCD3 10分23.（本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程()依题意有，,因此M的轨迹的参数方程为， 6分()M点到坐标原点的距离当时，d=0,故M的轨迹过坐标原点 10分24（本题满分10分）选修45：不等式选讲解：（1）当时，解得不存在当时，解得当时，解得综上不等式的解集为5分（2）当， 当时， 综上，10分另解：画出的图象，如下所示若有解，则10分访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org