不定积分的例题分析及解法.docx

不定积分的例题分析及解法 不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u=j(x)，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将udu转化成udu，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f(x)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f(x)为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 òòsinx1dx-x2edxdxdx；òòxòlnxò1-k2sin2x等。 这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。 一、疑难分析 关于原函数与不定积分概念的几点说明 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数f(x)，若存在函数F(x)，使得该区间上每一点x处都有F¢(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)在该区间上的原函数，而表达式F(x)+C(C为任意常数)称为f(x)的不定积分。 f(x)的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求f(x)的不定积分òf(x)dx时，只需求出f(x)的一个原函数F(x)，再加上一个任意常数C即可，即òf(x)dx=F(x)+C。 原函数F(x)与不定积分òf(x)dx是个体与全体的关系，F(x)只是f(x)的某个原函数，而òf(x)dx是f(x)的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C后，即F(x)+C才能成为f(x)的22不定积分，例如x+1,x+12,x-3都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2+C才是2x的2不定积分。 f(x)的不定积分加上一个任意常数C。 1 òf(x)dx中隐含着积分常数C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要原函数存在的条件：如果函数f(x)是某区间上连续，则在此区间上f(x)的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分 sinxdx-x2dx,eòxòlnxòdx 都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。 换元积分法的几点说明 换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。 第一换元积分法：令u=u(x) 若已知òf(x)dx=F(x)+C，则有 òfj(x)j¢(x)dx=Fj(x)+C 其中j(x)是可微函数，C是任意常数。 应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形。 dx=d(x+b)=具体应用为 m(ax+b)dx=ò1d(ax+b)(a、b为常数，a¹0) a1m(ax+b)d(ax+b) òaì1(ax+b)m+1×+C(m¹-1)ïïam+1 =í 1ïlnax+b+C(m=-1)ïîaaxdx=1d(xa+1+b) a+1=1d(axa+1+b) (a+1)a(a、b、a均为常数，且a¹0,a¹-1)。例如： 121xdx=dx2,xdx=d(xx),dx=2dx 23x11dx=dlnx=d(alnx+b)(a,b为常数，a¹0) xaxxxd(ax)(a>0,且a¹1)； edx=de,adx=lna 2 sinxdx=-d(cosx),cosxdx=d(sinx); sec2xdx=d(tanx),csc2xdx=d(-cotx) 1dx=d(arctanx) 1+x211-x2dx=d(arcsinx) 在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求 ò时，应将f(arctanx)1dx 21+xdxdx凑成darctanx；求 1+x2f(arccotx)1dx 2ò1+x12x1-darccotxdxdx时，应将凑成；而求时，就不能照搬上述两种凑法，应将2xdx222ò1+x1+x1+x凑成dx2，即2xdx=dx2=d(1+x2)。 第二换元法积分法：令x=j(t)，常用于被积函数含a±x或x-a等形式。 常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示： 表5-1 代换名称 三 角 代 换 被积函数含有 换元式 2222a-x a+x x-a 222222x=asint,tÎ(-x=atant,tÎ(-pp,) 22ppp,) 22无 理 代 换 nax+b 1 nxnx=asect,tÎ(0,) 21ax+b=t,即x=(tn-b) a11=t,即x= xt(ax+b),(ax+b) 1n11n2tn=(ax+b),n为n1,n2的最小公倍数 同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。 关于积分形式不变性 在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理： 3 如果òf(x)dx=F(x)+C，那么有òf(u)du=F(u)+C，其中u=j(x)是x的可微函数。这个定理说明： 积分变量x无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。 根据这个定理，基本积分表中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数，因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式 1òxdx=lnx+C 现在就可以看作是 ò()d()=ln()+C 其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数1òf(x)dx能够写成ògj(x)×j¢(x)dx的形式，且已知òg(u)du=F(u)+C，则有 òf(x)dx=ògj(x)j¢(x)dx =ògj(x)dj(x) =Fj(x)+C 同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误。 分部积分法 设u=u(x),u=u(x)是可微函数，且u¢(x)×u(x)或u(x)×u¢(x)有原函数，则有分部积分公式： òu(x)×u¢(x)dx=u(x)×u(x)-òu(x)×u¢(x)dx 或udu=uu-udu 当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成uu¢dx或udu的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式uu-u¢du，或uu-uu¢dx，再计算uu¢dx，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u和u¢的原则是：根据u¢容易求出u；uu¢dx要比原积分òòòòòòòòòuu¢dx容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u和u¢的选择规律，一归纳如表5-2。 表5-2 4 分类 I 不定积分类型 u和u¢的选择 u=pn(x),u¢=sinx u=pn(x),u¢=cosx u=pn(x),u¢=ex òp(x)sinxdx nòp(x)cosxdx nxp(x)edx nòII òp(x)lnxdx nu=lnx,u¢=pn(x) u=arcsinx,u¢=pn(x) u=arccosx,u¢=pn(x) u=arctanx,u¢=pn(x) òp(x)arcsinxdx nòp(x)arccosxdx nòp(x)arctannxdx III òeòexsinxdx cosxdx u=sinx,u¢=ex或u=ex,u¢=sinx u=cosx,u¢=ex或u=ex,u¢=cosx x说明表5-2中，px(x)表示n次多项式。 表5-2中的sinx,cosx,e,arcsinx等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型，例sinx，表示对所有正弦函数sin(ax+b)均适用，而ex表示对所有eax+b均适用，其它几个函数也如此。 III类积分中，也可选择u=e,u¢=sinx，无论怎么样选择，都得到递推循环形式，再通过移项、整理才能得到积分结果。 有理函数的积分 有理函数可分为如下三种类型： 多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。 有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和： xxAAAx+BAx+B, x-a(x-a)kx2+px+q(x2+px+q)k其中p,q,k为常数，p-4q<0,k¹1。 因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。 有理假分式；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为和 综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的，5 2后者可通过凑微分法求出的结果。 二、例题分析 例1 为下列各题选择正确答案： 是函数f(x)=1的原函数 2x1 2x2AF(x)=ln2x BF(x)=-CF(x)=ln(2+x) DF(x)=若f(x)满足1ln3x 2òf(x)dx=sin2x+C，则f¢(x)= A4sin2x B2cos2x C-4sin2x D-2cos2x 下列等式中是正确的 ABCòf¢(x)dx=f(x) òf¢(eòf¢(x)dx=f(ex)+C x)dx=f(x)+C 2Dxf¢(1-x)dx=-ò1f(1-x2)+C 2若òf(x)dx=F(x)+C，则òsinxf(cosx)dx= A-F(cosx)+C BF(cosx)+C C-f(sinx)+C DF(sinx)+C 下列函数中，不是sin2x的原函数。 A-1cos2x B-cos2x 222Csinx D-cosx 解根据原函数的概念，验证所给函数F(x)是否满足F¢(x)=1。由于 2x211=¹ 2xx2x111¹B中(-2)¢= 2x4x32x11¢¹C中ln(2+x)= 2+x2x1131=D中(ln3x)¢=× 223x2xA中(ln2x)¢=6 故正确选项为D。 根据不定积分的性质可知 f(x)=(ò(x)dx)¢=(sin2x+C)¢=2cos2x f¢(x)=(2cos2x)¢=-4sin2x 于是 故正确选择为C 根据不定积分的性质可凑微分的原则知 òf¢(u)du=其中u是变量或可微函数，据此可知： A中应为B中应为f(u)+C òf¢(x)dx=f(x)+C òf¢(ex)exdx=f(ex)+C C中应为òòf¢(x)dx=f(x)+C 2x1f¢(1-x2)d(1-x2) ò21=f(1-x2)+C 22D中应为xf¢(1-x)dx=-正确选项应为D 设u=cosx,则du=-sinxdx，于是 òsinxf(cosx)dx=ò-f(u)du=-F(u)+C=-F(cosx)+C 正确选项应为D 根据原函数定义，对所给答案一一求导可知-cos2x不是sin2x的原函数，故正确选项B。 例2 给出下列各题的正确答案： 1ò1-2xdx=； lnxd(lnx)=； 若f(x)=x+通过点(1,òx(x>0)，则òf¢(x2)dx=； 1的曲线方程为； 41+x21解设u=1-2x，则dx=-du，于是 2111dx=×(-ò1-2xòu2du) )斜率为p 7 11=-lnu+C=-ln1-2x+C 22应填-1ln1-2x+C 2设u=lnx，则 1212lnxd(lnx)=udu=u+C=lnx+C òò22应填12lnx+C 2由于f¢(x)=1+12x2，故f¢(x)=1+1,因此 2x11)dx=x+lnx+C 2x2ò应填x+f¢(x2)dx=ò(1+1lnx+C 2注意：òf¢(x2)dx¹f(x2)+C 设曲线方程为y=f(x)，则f¢(x)=1,于是 1+x21f(x)=òdx=arctanx+C 1+x2通过点(1,p4)，则有p4=arctan1+C，即C=0，故所求曲线方程为y=arctanx. 例3 求下列不定积分： -xx25edx；(x+4)dx òò1+2x2x3-xx+x+3ò(ò2dx. +2sinx)dx；xx(1+x2)分析题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不定各分的运算性质，便可得出结果。 -xxx解5edx=dx òòe5x根据积分公式adx=ò1xa+C lna在此a=e,故 5原积分=1ex1e+C=x+C e1-ln55ln55由于(x+4)2=x+8x+16，根据不定积分的运算性质，有 ò(x+4)2dx=ò(x+8x+16)dx 8 =òxdx+8òxdx+ò16dx 12=x2+8´x2+16x+C 23=1216x+xx+16x+C 233x3-xx+x+3ò(+2sinx)dx x=ò(x2-x+13+2sinx)dx xx11dx+3òdx+2òsinxdx xx=òx2dx-òxdx+ò=132x-xx+2x+31nx-2cosx+C 331+2x2(1+x2)+x211由于2，所以 =+x(1+x2)x2(1+x2)x21+x2(1+2x2)dx11=(+òx2(1+x2)òx21+x2)dx =ò111dx+dx=-+arctanx+C ò1+x2x2x小结：从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进行计算，而要先对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用的恒等变形手段主要有：分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。 将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C即可。 检验积分结果正确与否时，只需将所得结果求导即可，若其导数等于被积函数时，则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。 例4 求下列不定积分 e2x-1xdxòxdx òsin2e+12cos2xxx2(3-5)dx dx22òòcossinx1-cosx2x=解由于sin，所以 2211112xsindx=(-cosx)dx=x-sinx+C ò2ò2222 9 e2x-1(ex+1)(ex-1)x=e-1，所以 由于xxe+1e+1e2x-1xx=(e-1)dx=eòex+1òòdx-ò1dx =ex-x+C 由于cos2x=cos2-sin2x所以 cos2xcos2x-sin2x11=- 222222cossinxcosxsinxsinxcosx故原积分=11dx-òsin2xòcos2dx=-cotx-tanx+C xx22xxx2x(3-5)dx=(3-2×3×5+5)dx òò=ò(9x-2×15x+25x)dx =例5 计算下列不定积分 121×9x-×15x+×25x+C ln9ln15ln25exdx òsin(px+1)dxò1+e2xòcosx21xdx1òxlnxdx 分析观察这些积分中的被积函数，发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的变形也化不成表中公式的形式，因此需采取新的方法换元积分法求解。 解观察题目发现，此被积表达式与基本各分表中公式 òsinxdx=-cosx+C 类似，但又不完全一致，那么能否套用公式直接得到 òsin(px+1)dx=-cos(px+1)+C 呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式中的被积函数sinx已换为 sin(px+1)， 而积分变量的微分依然是dx，没有相庆地换为d(px+1)。正确的做法是先设中间变量u=px+1，然后使被积表达式化成公式的形式再求解。 设u=px+1，则x=up-1p，dx=1pdu，于是 10 òsin(px+1)dx=òsinu× =-再将u=px+1代回，得 原积分=-1pdu=pò1sinudu 1pcosu+C 1pcos(px+1)+C 1注：本题也可不写中间变量u，而用凑微分法来解：根据dx=pd(px+1)有 òsin(px+1)dx=òsin(px+1)×=11pd(px+1) pòsin(px+1)d(px+1) 1=-设u=ex，则du=exdx，于是 pcos(px+1)+C exduxdx=arctanu+C=arctane+C ò1+e2xò1+u2本题也可采用凑微分法求解：由于e2dx=dex，想到公式 dxò1+x2=arctanx+C 于是有 exdexxdx=arctane+C 2xx2ò1+eò1+(e)111，则x=，du=-2du，于是 xuu1cosxdx=cosu(-1)du=-cosudu òx2ò12u2òu1=-sinu+C=-sin+C x111如果熟悉凑微分式子2dx=d(-)=-d,则可用凑微分法直接计算如下: xxx设u=òcos1xdx=cos1é-d(1)ù=-cos1d(1)=-sin1+C òxêòxxx2xúxëû1dx，于是 x11 设u=lnx，则du=1111dx=×dx=òxlnxòlnxxòudu=lnu+C 1或者用凑微分法计算：因为dx=dlnx所以 x41dx=òxlnxòlnxdlnx=lnlnx+C 用第一换元积分法计算不定积分时，要根据被积函数的形式来决定如何来设置中间变量或凑微分，一般常见的符合凑微分形式的不定积分类型可参阅疑难解析中的。 例6 计算下列不定积分： òòexx2dxò1dx 24+9xxdx 1+x2x3-x3dxò解设t=x，则x=t2,dx=2tdt,于是 ò或凑微分法计算：由eetdx=ò×2tdt=ò2e¢dt=2et+C=2etxxx+C 1dx=d(2x)=2dx，得 xòexxdx=2òexdx=2ex+C 观察题目，不易直接看出如何进行换元，不妨将积函数先做变形 11=2224+9x2+(3x)1ò1+x2dx=arctanx+C，于是有 13éù22ê1+(x)2ú2ëû联想到积分公式111换元112dx=dx=×ò4+9x2ò1+u23du 34ò1+(3x)24x=u221还原13=arctanu+C=arctan(x)+C 362u=x62熟练掌握凑微分形式后，可以省去换元步聚，直接求出结果。 2由xdx=13dx,3-x3可以看成是于关x3的函数，所以 3 12 2331x3-xdx=3-x×dx3 òò31=-ò3-x3d(3-x3) 312=(-)×(3-x3)2+C 332=-(3-x3)2+C 93312dxx1d(1+x2)12òdx=ò=ò=ln(1+x2)+C 2221+x1+x21+x2进行换元积分运算时，有时由于中间变量设置的不同，所得的积分结果形式有可能不同，但实质是等价的；有时被积函数不易看出如何换元，则应先做适当变形。请看下面例子。 例7 计算下列不定积分 1+21nx1dxòxò2x-x2dx 2x×3x-3x2xedx dxòxxò9-4dxòex+e-x 1解由于dx=dlnx,所以 x1+2lnx1dx=(1+2lnx)dlnx=(1+2lnx)d(1+2lnx) òxò2ò1=(1+2lnx)2+C 4或原积分=(1+2lnx)dlnx=dlnx+2lnxdlnx òòò=lnx+ln2x+C 想一想，这两个计算结果是否相同？为什么？ 由于 2x-x2=1-(1-2x+x2)=1-(x-1)2 联想到1ò1-x2dx=arcsinx+C,dx=d(x-1),故 ò12x-x2dx=ò11-(x-1)2d(x-1) =arcsin(x-1)+C 13 将分子、分母同除以9x，得 222×33 =xx29-41-2x3xxx设t=，则lnt=xln,dx=232311dt,于是 2tln32x×3xt11dx=×ò9x-4xò1-t22tdt ln3=11×òdt ln2-ln31-t2=1111×ò(+)dt ln2-ln321+t1-t=1(ln1+t-ln1-t)+C 2(ln2-ln3)=11+tln+C 2(ln2-ln3)1-t21+x13+C =ln2(ln2-ln3)1-(2)x313x+2x=lnx+C x2(ln2-ln3)3-2由于xdx=121dx=-d(-3x2)，所以 261-3x21-3x2-3x22xedx=(-)ed(-3x)=-e+C òò66dxexdxdexx=arctane+C òx-xxx-x2xòòe+ee(e+e)e+1例8 计算下列不定积分 6sin3xsin5xdxcosxdx òò32sinxcosxdxò1òsinxcosxdx 分析这些积分中的被积函数都是三角函数，一般说来，三角函数的积分比较复杂，不易直接看出求解 14 方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式。 解观察被积函数知，须先对被积函数作积化和差变形后，再凑微分去求解。 111sin3xsin5xdx=(cos2x-cos8x)dx=cos2xdx-cos8xdx òò2òò22111111=×sin2x-×sin8x+C=sin2x-sin8x+C 22284161+cos2x2利用公式cosx=，将被积函数降次，于是 21+cos2xcosxdx=(òò2)dx 63=1(1+3cos2x+3cos22x+cos32x)dx ò81331=x+sin2x+òcos22xdx+òcos32xdx 816881331=x+sin2x+ò(1+cos4x)dx+òcos2xdsin2x 816161613331=x+sin2x+x+sin4x+ò(1-sin22x)dsin2x 81616641653311=x+sin2x+sin4x+sin2x-sin32x+C 16166416485131=x+sin2x+sin4x-sin32x+C 16464483222sinxcosxdx=sinxcosx×sinxdx òò=ò(1-cos2x)cos2x(-dcosx) =-òcos2xdcosx+òcos4xdcosx 11=-cos3x+cos5x+C 35111=,dx=d(tanx), 由于而sinxcosxtanxcos2xcos2x11dx=òd(tanx)=lntanx+C 所以òsinxcosxtanx例9 计算下列不定积分 òdx(1-x)dx2322dx òxx-92 15 x(1+x)dx 分析这几个不定积分的被积表达式中都含有a2-x2,x2+a2,x2-a2类的式子，要用三角代换来求解。各自的代换式是 含a2-x2：设x=asint，则dx=acostdt； 含x2-a2：设x=asect，则dx=asect×tantdt； 含x2+a2：设x=atant，则dx=asec2tdt； 解 因被积表达式含有1-x，故设x=sint(-322ò31222p2<t<232p2)，则dx=costdt， (1-x)=(1-sint)=cos3t 于是òdx(1-x)322=òcost1dt=dt 32òcostcost2由x=sint,可知cost=1-x，tant=sintx，所以 =2cost1-xòdx(1-x)322=x1-x2+C 2为了去掉根式x-9设x=3sect(0<t<)，则 2dx=3secttantdt px2-9=3sec2-1=3tant 于是òxdx2x2-9=ò3sect×tantdt 29sect×3tant=1111dt=costdt=sint+C 9òsect9ò932由x=3sect,得cost=，sint=1-cost=xx2-9，所以 x=x2-9+C 9xòx122dx2x-92为了去掉(1+x)，设x=tant(-p2<t<p2)，则dx=sec2tdt 16 (1+x)=(1+tan2t)=sect 3233于是x(1+x)dx=tant×sect×sectdt=tant×sectdt 12212ò3122òòsin3t1(1-cos2t)d(-cost)=ò×dt=ò 336costcoscost=ò(-11+)dcost cos6tcos4t=由x=tant,可知cost=11cos-5t-cos-3t+C 5311+x2,1=1+x2,于是 cost12253112222x(1+x)dx=(1+x)-(1+x)+C ò533小结从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于t的三角函数式，用x还原t时，虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但较麻烦，为了直观起见，往往用“三角形法”进行还原计算，如图5-1的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。 例如图5-1，设x=atant,则可设直角三角形角t的对边长为x，邻边长为a，故斜长为a+x，从图中看出sint=22xa+x22,cost=aa+x22。 例10 计算òdx16x+8x+52分析对于被积函数含有ax2+bx+c的积分,一般不能做代换t=ax2+bx+C，而应将ax2+bx+C配平方，然后作变量代换，归结为含a2±x2、x2-a2的积分后再用第二换元法求解。 2解由于16x+8x+5=(4x+1)2+4 设t=4x+1，则x=1111t-,dx=dt,于是 44t4417 òdx16x+8x+52=ò1dt1dt4=ò 224t+4t+4根据材料上的补充公式，再将t=4x+1代回，所以 原积分=1lnt+t2+4+C 41=ln4x+1+16x2+8x+5+C 4对于被积函数含有根式或其它较为特殊的情形，也可以采用第二换元积分法计算。 例11 计算下列不定积分： xx-2dx 3210x(1-3x)dx òòòdxx+(1+x)解被积函数是无理函数，又不能凑微分计算，因此选择根式代换，使之有理化。 设t=x-2，则x=t2+2,dx=2tdt,于是 2xx-2dx=(tòò+2)t×2tdt =2ò(t4+2t2)dt 12=2ò(t5+t3)+C 5324=(x-2)2+(x-2)2+C 532210被积函数是有理多项式，如若展开(1-3x)去计算，将是很麻烦的，不妨设t=1-3x，于是53111x2=(1-t),dx2=-dt，再考虑到x3dx=x2dx2，所以 332321022101x(1-3x)dx=x(1-3x)×dx2 òò2111=ò(1-t)×t10×(-dt) 323111=-(t11-t12)+C 181112=-11(1-3x2)11+(1-3x2)12+C 198216方法一：设t=x，则x=t2，dx=2tdt，于是 18 òdx2tdtdt =ò=222òt(1+t)1+tx(1+x)=2arctant+C =2arctantx+C 方法二：凑微分法 由于1dx=d(2x)=2d(x),1+x=1+(x)2，所以 xòdx2dx=ò=2actanx+C 2x(1+x)1+(x)小结利用第二换元积分法计算不定积分时，要特别注意被积函数的特点，针对这些特点，选择适当的代换，常见的第二换元积分法求解的类型请见疑难解析中的有关内容。 例12 计算下列不定积分 2xxcos2xdxxedx òò22(x+1)lnxdxxarctanxdx òò分析计算形如uu¢dx的积分时，如果不能用换元积分法求解，则可考虑用分部积分法求解，具体步骤是： 凑微分：从被积函数中选择恰当的部分作为u¢dx，凑微分u¢dx=du，这样积分就变成udu的òò形式： 代公式：udu=uu-udu，并计算出微分du=u¢dx； òòò计算积分uu¢dx 这些积分都不能用换元积分法计算，故考虑用分部积分法，u和u¢的选择参见表5-2 解设u=x,u¢=cos2x,故 1du=u¢dx=cos2xdx=d(sin2x) 2代入分疗积分公式，有 1xcos2xdx=xd(òò2sin2x) 11=xsin2x-òsin2xdx 22=11xsin2x+cos2x+C 24如果设u=cos2x,u¢=x，会出现什么情形呢？事实上，由 19 x2u¢dx=xdx=d=du 2x2故òudu=òcos2xd 2x2x2=cos2x-òdcos2x 22x2=cos2x+òx2sin2xdx 22显然积分xsin2xdx比原积分xcos2xdx中的x次数更高了，即更难计算了，因此这种选择是不恰当òò的。 设u=x2,u¢=e，则 xdu=u¢dx=exdx=dex 2x2x2xx2于是xedx=xde=xe-edx òòò=x2ex-ò2xexdx xx虽然，xedx还不能直接积分，还须再做一次分部积分，这时设u=x,u¢=e，于是 òòxedx=òxde2x2xxx因此xedx=xe-2(xe-e)+C xx=xex-òexdx=xex-ex+C ò=x2ex-2xex+2ex+C 设u=lnx,u¢=x+1，则 2x3du=u¢dx=(x+1)dx=d(+x) 32于是 x3ò(x+1)lnxdx=òlnxd(3+x) 2x3x3=(+x)lnx-ò(+x)dlnx 33 20 x3x31=(+x)lnx-ò(+x)×dx 33xx3x2=(+x)lnx-ò(+1)dx 33x3x3=(+x)lnx-x+C 39设u=arctanx,u¢=x2，则 x3du=u¢dx=xdx=d 32于是 x3x3x31xarctanxdx=arctanxd=arctanx-×òòò31+x2dx 332131(x3+x)-x=xarctanx-òdx 2331+x131xxarctanx-ò(x-)dx 2331+x111=x3arctanx-x2+ln(1+x2)+C 366=一般说来，如果被积函数是多项式与三角函数或指数函数的乘积时，则u选择多项式，而u¢选择三角函数或指数函数；如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数的乘积时，则u选择对数函数或反三解函数，而u¢选择多项式。 例13 计算下列不定积分 2(x+2)sin2xdxò1òx3lnxdx 22xsinxdxxarcsinxdx òò22解(x+2)sin2xdx=x×sin2xdx+2sin2xdx òòò=òx2sin2xdx-cos2x 对第一项用分部积分法求解 112122xsin2xdx=xd(-cos2x)=-xcos2x+cos2xdx2 òòò22