三年级奥数教程第13讲 数阵图.docx

三年级奥数教程第13讲 数阵图三年级奥数教程第13讲 数阵图 例1、 把16这六个数字分别填入图13一l的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13 分析从1到6这六个数的和是21而两个正方形8个顶点上的数之和是26(13×2)，比六个数的总和大5这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和 解 在1到6六个数中，两个数的和为5，只可能是1+4、2+3当中间两个圈内填1与4时，剩下的四个数，3与5、2与6配对即可以满足条件当中间两个圈内填2与3时，剩下的四个数无法组成和相等的两对，因而无法满足条件所以，得到如图132的填法 随堂练习1 将3、4、6这三个数填入图133的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11 例2、将2到7这六个数，填入图134的圈中，使得每条线上的三个数的和相等 分析与解将三条线上的三个数都相加，中间的1被加了3次，所以三条线上三个数的和为 1+2+6+7+1+130 从而每条线上的和是10(30÷3)，即每条线上剩余两个圆圈内数的和是 9(101) 由 2+74+53+69 可以得到如图135的解 随堂练习2 将1到7这七个数填入图136，使得每条线上的三个数的和相等 例3、将1到9这九个数填入图137，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等 分析与解 先来确定中心的数设这个数为a，则4条线上12个数(中心的数出现4次，其余的数各出现一次)的和 1+2+9+a+a+a 是4的倍数，即45+3×a是4的倍数所以a只可能是1、5、9 (1)当a1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可 (2)当a5时，l与9、2与8、3与7、4与6搭配 (3)当a9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配 这样得到如图138所示的三个解 随堂练习3 将18填入图139，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等 例4、将1到5这五个数填入图13-10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等 分析与解 设处于中心圈内的数是a，因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和同理，a等于它上、下两个数的和从而a是最大的数5其余四个数，2与3搭配，1与4搭配，写在同一条线上得到的解如图1311所示 随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等 例5、将16这六个数填入图1313的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等 分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数如果l、6都在边上，那么a、b、c中有两个数的差是5(61)这不可能所以可设以a1或6如 果a1，那么由 2+63+5 3+64+5 可得图1314的(1)，(2)如果a6，同样可得图1314的 (3)，(4) 随堂练习5 将l到16填入图1315，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等 例6、 将116填入图1316的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等 图1316 分析与解 本题也就是造一个四阶幻方 四阶幻方的造法很多，解也不惟一下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法 先将116依照次序先左后右，先上后下逐一填入图1317(1)中得 1 5 2 6 3 7 4 8 1 9 14 15 4 6 7 1 15 14 4 7 9 12 12 6 9 10 11 12 5 10 11 8 3 8 10 11 5 2 16 13 14 15 16 13 2 16 13 3 图1317 四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+16)÷4(1+16)×16÷2÷434 现在图1317(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求所以对角线上的数不要再动 先来调整行将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图1317(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34 再调整列将图1317(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图1317(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方 随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案有何联系? 读一读 可能与必然 上节末，说到一个游戏“数独” 数独怎么填呢? 比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字每个空格填的数有6种可能，难以确定 如果看第二列，只有2个空格，应填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定 可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦所以应先考虑可能较小的方格最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助 同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法 比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行 现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3第九列有9，所以第四行的9只能(必然)在第三列，3在第九列 同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行第六行第一列必填2左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在第三列第八列3必填在第九行，9必填在第二行右上3×3的正方形中，7必填在第七列右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法都是必然的左上3×3的正方形中，按行 依次填2、1、4、7、6右上3×3的正方形中，填4、8中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7填法都是必然的。 当然，上面填数的顺序可以变更但应尽量先填只有一种可能的方格，而不要先填那些难以确定的方格 练习题 1、如果图中每行、每列、每条对角线的和都相等，那么a、b、c、d有什么关系? 2、将1到8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等 3、将1到9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等 4、将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等 5、将5到12填入下图，使得每条边上的四个数的和相等 6、将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等 7、将1到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等 8、将1到10填入下图，使每条线段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等(三角形顶点上的数不必与线段上的数的和相等) 9、将1到8填入圈内，使得每个圆上的五个数的和相等 10、将l到8填入圈内，使每一圆周上的四个数、每条线上的四个数的和相等