《正弦定理和余弦定理》典型例题.docx
正弦定理和余弦定理典型例题正弦定理和余弦定理典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1已知在DABC中，c=10，A=45，C=30，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上，可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b. 解析：Qooac=， sinAsinCcsinA10´sin45o=102， a=sinCsin30o B=180o-(A+C)=105o， 又bc=， sinBsinCcsinB10´sin105o6+2ob=20sin75=20´=56+52 sinCsin30o4总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 在DABC中，已知A=32.00，B=81.80，a=42.9cm，解三角形。 根据三角形内角和定理，C=1800-(A+B)=1800-(32.00+81.80)=66.20； asinB42.9sin81.80=»80.1(cm)； 根据正弦定理，b=sinAsin32.00asinC42.9sin66.20=»74.1(cm). 根据正弦定理，c=sinAsin32.00在DABC中，已知B=75，C=60，c=5，求a、A. A=180-(B+C)=180-(75+60)=45， 0000000根据正弦定理a556=a=，. sin45osin60o3在DABC中，已知sinA:sinB:sinC=1:2:3，求a:b:c 根据正弦定理abc=，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=1:2:3. sinAsinBsinC例2在DABC中，b=3,B=60o,c=1，求：a和A，C 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上，可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a. 解析：由正弦定理得：bc=， sinBsinCcsinB1´sin60o1sinC=， b230<C<180， C=30或C=150， 当C=150时，B+C=210>180，； 当C=30时，A=90，a=b2+c2=2 oooooooooob>c，B=60， C<B， C<60即C为锐角， C=30，A=90 a=b2+c2=2 总结升华： 1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinC=sin(1800-C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C. 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三： 在DABC中，c=ooo6，a=2，A=45o，求b和B,C accsinA6´sin45o3=， sinC=， sinAsinCa220<C<180， C=60或C=120 ooocsinB6sin75o=3+1； 当C=60时，B=75，b=osinCsin60oocsinB6sin15o=3-1； 当C=120时，B=15，b=osinCsin60oo所以，b=3+1,B=75o,C=60o或b=3-1,B=15o,C=120o 在DABC中a=20, b=102,A=45, 求B和c； o 1a102sinB=， o2sin45sinB0<B<180， B=30或B=150 当B=30时，C=105，c=10(3+1)； 当B=150时，A+B=195>180。 在DABC中，B=60，a=14, b=76, 求ÐA. oooooooooasinB14´sin6002由正弦定理，得sinA=. =b276oa<b, A<B，即 0<A<60 A=45 类型二：余弦定理的应用： 例3已知DABC中，AB=3、BC=37、AC=4，求DABC中的最大角。 思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：三边中BC=37最大，BC其所对角A最大， oAB2+AC2-BC232+42-(37)21根据余弦定理：cosA=-， 2ABgAC2´3´42 0<A<180， A=120 故DABC中的最大角是A=120. 总结升华： 1.DABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三： 已知DABC中a=3, b=5, c=7, 求角C. ooooa2+b2-c252+32-721=-， 根据余弦定理：cosC=2ab2´3´520<C<180， C=120 在DABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c=的各角的大小 设a=6k，b=2k，c=，求DABC6:2:3ooo(3+1k，(k>0) )根据余弦定理得：cosB=6+(2()3+1)3+1-462=2， 20<B<180，B=45； 同理可得A=60； C=180-A-B=75 在DABC中，若a=b+c+bc，求角A. 222oooooob2+c2-a21=- b+c-a=-bc， cosA=2bc22220<A<180， A=120 类型三：正、余弦定理的综合应用 例4在DABC中，已知a=23，c=6+2，B=450，求b及A. 思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A. 解析： 由余弦定理得： ooob2=a2+c2-2accosB =(23)2+(6+2)2-2×23×(6+2)cos450 =12+(6+2)2-43(3+1) =8 b=22. 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2+c2-a2(22)2+(6+2)2-(23)21cosA=， 2bc22´22´(6+2)A=600. a233×sin450=sinA=sinB= b222又6+2>2.4+1.4=3.8，23<2´1.8=3.6 ac，即00A900, A=600. 总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三： 在DABC中，已知b=3, c=4, A=135.求B和C. 由余弦定理得：a=3+4-2´3´4cos135=25+122， a=222o025+122»6.48 bsinA3sin135o=»0.327， 由正弦定理得：sinB=aa因为A=135为钝角，则B为锐角， B=197. C=1800-(A+B)=25053/. 在DABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a=2，b=22，c=6-2，求角A和sinC 根据余弦定理可得： 00/b2+c2-a28+8-43-43 cosA=2bc22´22´6-2() 0<A<180， A=30 ； ooocsinA= 由正弦定理得：sinC=a(6-2sin30o2)(=6-24).
