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5刚体力学基础习题思考题习题5 5-1如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： 2mg-T2=2ma T1-mg=ma (T2-T)r=Jb (T-T1)r=Jb 2Ta=rb ，J=mr/2 联立，解得：a=14g，T=118mg 。 5-2如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为m的水平桌面上，设开始时杆以角速度w0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：作用于杆的摩擦力矩；经过多长时间杆才会停止转动。 解：设杆的线密度为：l=ml，在杆上取一小质元dm=ldx，有微元摩擦力： df=mdmg=mlgdx， 微元摩擦力矩：dM=mlgxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩： lM=2òmlgxdx=2014mmgl； tdw，有：ò-Mdt=0dt根据转动定律M=Jb=J-14òw00Jdw， mmglt=-112mlw0，t=2w0l3mg。 112ml， 2或利用：-Mt=Jw-Jw0，考虑到w=0，J=有：t= w0l3mg。 5-3如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： mg-T=ma TR=Jb a=Rb ，J=12mR 2mgM+2mv02联立，解得：a=考虑到a=dvdt，T=t0Mmg，òdv=òM+2m2mg2mgtdt，有：v=。 M+2mM+2m， 5-4轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J=MR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，注意到u为匀速，L=14MvR-M(u-v)R+(M4dudt2=0，系统对轴的角动量为： R)w=32MvR-MuR(B物体)(人)(A物体)v13而力矩为：M=-MgR+MgR=MgR， 44dL3d3g(MvR-MuR)，a=根据角动量定理M=有：MgR=。 dt4dt225-5计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 rsinq3m解：设球的半径为R，总重量为m，体密度r=， 3qr4pR考虑均质球体内一个微元：dm=rrsinqdrdqdj， 由定义：考虑微元到轴的距离为rsinq 2jJ=ò(rsinq)2dm，有： J=òòò002ppR0(rsinq)2×rr2sinqdrdqdj R0=2pr×15r5´-ò(1-cosq)dcosq=0p225mR。 25-6一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k=40N/m，当q=0时弹簧无形变，细棒的质量m=5.0kg，求在q=0的位置上细棒至少应具有多大的角速度w，才能转动到水平位置？ 解：以图示下方的三角桩为轴，从q=0q=900时， 考虑机械能守恒，那么： q=0时的机械能为： mg×1122(重力势能)+w(转动动能)， 22312kx 2l0q=90时的机械能为：有：mg×111222+w=kx 2232l根据几何关系：(x+0.5)2=1.52+12，得：w=3.28rad×s-1 5-7如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： 盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； 在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：设虚线位置的C点为重力势能的零点， 下降过程机械能守恒， 有：mgR=w=4g3R12Jw ，而J=212mR+mR=2232mR 2 vc=Rw=4Rg3vA=2Rw=16Rg 32+mRw= Fy=mg7mg，方向向上。 35-8如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和3123l轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以1212v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守恒，有： mv0×2349l=-m×2v0×2323l+m(v0l+2ll22)w+2m×w 33v0l 有：(l+w=29l)w=2133v02l5-9一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为m)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为12MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 12MRw+mRw 222解：利用角动量守恒：mvR=得：w=2mv； (2m+M)R选微分dm=srdrdq，其中：面密度s=M=MpR2， fòmgrdm=òR0mgrMpR2322rdr=23mMgR 12MR+mR)w-0， 22由Mf×Dt=J×Dw有：mMgR×Dt=(知：Dt=将w=2(M+2m)4mMg2mv+2m)RRw (M代入，即得：Dt=3mv 。 2mMg5-10有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后vv的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。 3vv解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v1和v2方向相反，以逆时针为正向，有： (已知棒绕O点的转动惯量J=1m1l) 2m2v1l=3m2(v1+v2)1m1l2w-m2v2l，得：w= 3m1ll0又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得： Mf=òmm1lgxdx=212mm1gl，利用-M2lw3mgf=Jdwdt，有： 103dt=-ò0òw1tm1ldw，得：t=2m2(v1+v2)2mm1glmm1g。 5-11如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg×m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：12kxmax=mgxmax，有： 22xmax=2mgk=0.49m； 122当物体下落时，由机械能守恒：考虑到w=vRkx+12212mv+2212Jw2=mgx， ，有：12kx+212mRw+2Jw=mgx， 欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令kx+12(mR+J)×2w2dwdx=0，有： mgk=0.245(m)， dwdx=mg，将dwdx=0代入，有：x=当x=0.245m时物体速度达最大值，有： 1mgx-kx222，代入数值可算出：vmax=1.31m/s 。 vm=ax1J(m+2)2r5-12设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度w成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；电扇稳定转动时的转速为多大？电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：已知Mf=-kw，而动力矩M=Pfw， 通电时根据转动定律有：M+Mt0=JdwdtPk-2kJt代入两边积分有： òdt=òw0JwP-kwdw，可求得：w=2(1-ePk)； 见上式，当t®¥时，电扇稳定转动时的转速：w稳定=断开电源时，电扇的转速为w0=-kw=Jdwdt； Pk，只有Mf作用，那么： q0，考虑到Jkdwdt=wdwdq，有：ò-kJdq=òw00dw， 得：q=w0=JkPk 。 5-13如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为m，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以w0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？ 解：A在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒： 12Jw0=212Jw+212mvA，其中vA=Rw，J=212 mR，2可算出：vA=3Rw0； 3物体A运动后，由牛顿定律：T-mmg=ma， 考虑到-TR=Jb，a=Rb 可求出：T=13mmg。 5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度w为多少？ 解：此过程角动量守恒：mRv+Jw=0，有： w=-mRvJ。 5-15以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m，边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；此时，货物箱A边所受的支反力。 解：角动量守恒：mv0根据转动定律 mgl2l2=2323mlw ，w=223v04lmlb，b=3g4l； aCt如图，支反力Nx=-maCx，而： aCx=aCncos45+aCtcos45 0000CNx=-maCncos45-maCtcos45。 NxAaCn【注：如图，对于立方体绕z轴的转动惯量，有： J=zòò0ll0(x+y)×22ml2dxdy=23ml】 2yx 思考题 5-1一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 (m1<m2)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ 解： m1g-T1=m1a T2-m2g=m2a (T1-T2)r=Jb a=rb 联立方程可得 T1、T2， T2>T1 。 5-2一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度w按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度w怎样变化？ 答：增大 5-3个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： 机械能守恒，角动量守恒；机械能守恒，角动量不守恒； 机械能不守恒，角动量守恒；机械能不守恒，角动量不守恒。 答： 5-4在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：设转轴、在质点所在的平面内，如图a所示；设转轴垂直于质点所在的平面，如图b所示。 答：以为轴转动惯量 J=9ma； 2以为轴转动惯量 J=3ma； 2以为轴转动惯量 J=7.5ma2。 5-5如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为w0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。 试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由J1w0=J2w，有小圆柱的最终角速度为： w=J1w0J2 。 5-6均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。v一锤子沿竖直方向在x=d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。 答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。