45含变限积分的极限问题副本.docx

45含变限积分的极限问题 副本一级模块名称 三级模块名称 先行知识 模块基本信息 积分学 含变限积分的极限问题 变上限积分函数及其导数 洛必达法则 知识内容 变上限积分函数的导数求极限 能力目标 时间分配 修订人 二级模块名称 应用模块 模块编号 4-5 模块编号 4-4 模块编号 3-2 教学要求 掌握程度 会利用变上限积分一般掌握 函数的导数求极限 1、培养学生理解问题的能力 2、培养学生的计算能力 0分钟 编撰 秦小娜 校对 张云霞 二审 方玲玲 审核 危子青 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：复习变上限积分函数定义及其求导，同时利用变上限积分函数的导数求极限,采用讲练结合来强化重点. 二、授课部分 旧课复习 1、积分变上限函数的定义 2、积分变上限函数的导数 新课讲授 1、直接利用洛必达法则 . ò例1 求极限limx®0x0costdtx2解：利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式得 cosx2=1. 原式=limx®01ò练习 求极限limx®0x0sintdtx2. 例2 求极限limx®0òòx0x202tetdt. xsintdt解：limx®0òòx0x202tetdtxsintdtx=limx®02x2ex2x2xòsintdt+x2sinx0x2=limx®02x2ex02òsintdt+xsinx4sinx3+cosxxx2=lim4xx®03sinx+xcosx=limx®0=1 练习 求极限limx®0(òetdt)2ò0x0tedt2t2. 2、换元法和洛必达法则相结合 ò例3 若f(x)连续，f(0)¹0，求limx®0x0tf(x-t)dtx0xòf(t)dt. 解析：这是一个0型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子 0中的被积函数含参数x，需要先将x分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下： x-t=u0òx0tf(x-t)dt=x0òx(x-u)f(u)(-du)=ò(x-t)f(t)dt 0x=xòf(t)dt-òtf(t)dt 0x则原式limx®0xòf(t)dt-òtf(t)dt00xxxòf(t)dt0xx=limx®0òòx0x0f(t)dtò=limx®0x0f(t)dtf(t)dt+xf(x)òx0xf(t)dtx+f(x)ò因为limx®00f(t)dtxx20=limf(x)=f(0)，所以原式=x®0f(0)1=. f(0)+f(0)2ò练习 求limx®0(t-1)lntdtx3. 3、结合等价无穷小求变限积分的极限 tò例4 求lim1x®+¥1tx2(e-1)-tdt1t1x2ln(1+)x. tò解lim1x®+¥x2(e-1)-tdt21xln(1+)x(e-1)-tdt1x2×x1xtò=lim1x®+¥x21t (等价无穷小代换) =limx(e-1)-x (洛必达法则) x®+¥21=txet-1-t=lim(变量代换) 2t®0+tet-1=lim(洛必达法则) t®0+2t=1. 21 练习 求lim2x®0xòsinx0arctant2dt. t三、能力反馈部分 求limx®1òx1etdt2lnx. xf(x)F(x)=2，F(x)=òtf(x2-t2)dt，求lim4. 0x®0xx设f(x)连续，limx®0ò 求limx®¥x20tetdt2x2xe