44 变上限积分函数及其导数.docx

44 变上限积分函数及其导数模块基本信息 一级模块名称 积分学 二级模块名称 基础模块 变上限积分函数及其三级模块名称 模块编号 4-4 导数 1、定积分的概念 模块编号 4-2 先行知识 2、定积分的性质 模块编号 4-3 知识内容 教学要求 掌握程度 1、理解变上限积分函数1、变上限积分函数及原函数的概念 及原函数的概念 一般掌握 2、掌握变上限积分函数2、变上限积分函数的求导 的求导 能力目标 培养学生知识类比、迁移的能力 时间分配 45分钟 编撰 王明 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的定义，通过两个定理来展示变上限积分函数的性质. 特点：引导学生根据已学过的相关知识理解新知识 二、授课部分 新课讲授 前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分基本定理。为了学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关知识，为微积分基本定理的证明做准备. 1、变上限积分函数 定义：设函数f(x)在区间a,b上连续, 并且设x为a,b上的一点， 考察定积分òaf(x)dx，如果上限x在区间a,b上任意变动，则对于每一个取定的x，定积分都有一个相应的积分值与之对应.因此它在a,b上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作 F(x)=òaf(x)dx, 为明确起见，常记作F(x)=òaf(t)dt。 说明：当f(x)³0，利用定积分的几何意义可以直观地看到积分上限的xxx函数所表示的意义：积分òaf(t)dt表示图1中阴影部分的面积. F(x) 图1 x y=f(x) xa 下面讨论这个函数的可导性 c 定理1 如果函数f(x)在区间a,b上连续, 则函数 F(x)=òaf(x)dx 在a,b上具有导数, 并且它的导数为 xF¢(x)=dòaf(t)dt=f(x)(a£x<b). dxx(选讲)证明：若xÎ(a,b), 取Dx使x+DxÎ(a,b). DF=F(x+Dx)-F(x)=òa=òaf(t)dt+òx=òxx+Dxx+Dxf(t)dt-òaf(t)dt xxx+Dxf(t)dt-òaf(t)dt xf(t)dt=f(x)Dx, 应用积分中值定理, 有DF=f (x)Dx, 其中x在x 与x+Dx之间,Dx®0时,x®x . 于是 F¢(x)=limDF=limf(x)=limf(x)=f(x). Dx®0DxDx®0x®x若x=a, 取Dx>0, 则同理可证F+¢(x)= f(a);若x=b , 取Dx<0, 则同理可证F-¢(x)= f(b). 注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数f(x)本身 若F¢(x)=f(x)，则称函数F(x)为f (x)在a,b上的一个原函数.此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数. 2、例题 例1 求下列函数的导数： F(x)=òetcos3tdt1F(x)=òcos(2t+1)dt 0xx0F(x)=òedtF(x)=ò2etdt 1x2t2x3x解：直接利用积分上限函数的求导法则，F¢(x)=cos(2x+1). F(x)=-òetcos3tdt,则F¢(x)=-excos3x. 0x (3) F(x)=òx1edt可视为g(u)=òetdt与u=x2构成的1t2u2复合函数，则由复合函数求导公式可得 F'(x)=g'(u)×u'=e×2x=2xe. 说明：利用此方法，可推出一般公式 u2x4(òj(x)atf(t)dt)'=f(j(x)j¢(x)x2tx2t0003 F(x)=ò3edt+òedt=òedt-òetdtxx2tx320x3则F¢(x)=(òedt)'-(òetdt)'=ex×2x-ex×3x200说明：一般的，若F(x)=òg(x)h(x)f(t)dt，有 F'(x)=f(g(x)g'(x)-f(h(x)h'(x) 例2 求极限limx®0òx0cost2dtx. 0解： 此极限是型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数0的导数公式得 cosx2=1 原式=limx®01例3 求极限limx®0ò1cosxe-tdtx2. 0解： 此极限是型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数0的导数公式有 òlimx®01cosxe-tdtx2=limx®0-òcosx1e-tdtx2-e-cosx×(cosx)'=lim x®02x-e-cosx×(cosx)'e-cosx×sinx=lim=lim x®0x®02x2x=1sinx1-1lime-cosxlim=e x®0x®02x2三、能力反馈部分 1、求下列函数的导数 xtan(2t+1)1F(x)=òdt 1tF(x)=òe-2tdtx0(3)F(x)=ò2xexlntdt t2、求极限 òlimx®0x0sintdtx2. limx®0òx0(et-e-t)dt1-cosx