15春 微积分复习资料.docx

15春 微积分复习资料微积分复习资料 一、填空题 1.设函数f(x)的原函数为y=2x+x2+cotx.则f(x)= 2若y=cos2x,则dy_ 3f(x)=x 3 函数在1,4上满足拉格朗日中值定理的x . 4利用微分近似计算31.02» . 2 5.曲线y=e的铅直渐近线是 6tanxdx= 1xò7比较定积分的大小： 8ò21x2dx_òx3dx 12òx-113cosxdx=_. h®09若f(x)在x=a处可导，则limf(a+h)-f(a)=_. h10 函数f(x)=x3的拐点坐标是 11y=sinx在0，p上满足罗尔定理的x . 12.曲线y=e的铅直渐近线是 13 1xò(x2+1)dx= 14设f(x)的原函数为 2x+cscx，则f(x)= 15已知F(x)=òx01-t2dt，求F/(x)=_. 二、单项选择题 1下列选项中错误的是 1111sinx=1 B limsinx=1 C limxsin=0 D limxsin=1 x®0xx®¥xx®0x®¥xx2x®0时，与arcsin2x等价无穷小量的是( ). 1A.2x；B.x2；C.x；D.2x2. 2A lim1 3n2 3. lim= A 3 ； B -3 ； C 1； D n®¥2-n22¥ 4. 已知y=xlny，则dydx= A xyy； B lny； C lnyxy-x ； D lny+y 5在(a,b)内，f¢(x)<0，f¢¢(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内( ). A.单增且凹；B.单增且凸；C.单减且凸；D.单减且凹. 6. 下列等式正确的是 A dòbdxaf(x)dx=f(x) B ddxòf(x)dx=f(x)+cC D dxf(t)dtòf/(x)dx=f(x)dxòa=f(x)7.下列广义积分收敛的是 A. ò+¥+¥1+¥11xdx B. ò11xdx C. ò+¥1xdx D. ò1x2dx 8.下列选项中正确的是 A limsin2xx®0x=1 B lim1x®¥xsinx=1 C lim1x®0xsinx=0limsin2x1x®0x=2 9x®0时，与sinx等价的无穷小量是( ). A.x；B.2x；C.12x；D.2x2. 10，.设x=1+t2y=1+t3，则在t=1时，dydx=( ). A.34；B.23；C.43；D.32. 11. 设函数y=f(e-x)，则y¢是 D 2 A f¢(e-x) B e-xf¢(e-x) C -e-xf¢(e-x) D -f¢(e-x) 12.函数y=xx在点x=0处的导数是 A 2x； B -2x； C 0 ； D 不存在 13在(a,b)内，f¢(x)<0，f¢¢(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内( ). A.单增且凹；B.单增且凸；C.单减且凹；D.单减且凸. 14. 设f(x)=e-x ，则òf¢(lnx)xdx= A -1lnxx+c B x+c C 1x+c D -lnxx+c 15.方程x3+2x2-x-2=0在(-3,2)区间上 A.有一个实根；B.有二个实根.；C.至少有一个实根；D.无实根. 三、计算题 1. 求limx-sinxlnxx®0x3 2.已知y=x2arcsin3x，求y¢ 3.求òxdx 4.求òxexdx 5.求ò5x-11xdx 6.求 lim3x3+4x2+2xx2-4x®¥7x3+5x2-3x 7. 求limx®2x-28.求由方程y-cos(x+y)=0所确定的隐函数y的导数。 9.求ò11+3cos2xdx 10.求ò411x+xdx 11. 若limx2+ax+bx®11-x=5，求a,b的值 12. òx2arctanxdx 四、解答题 3 1设函数ìx x³0 ，问在x=0处是否连续？是否可导？ f(x)=íî-xx<02求函数y=x-322x3的极值与单调区间. 3计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围图形的面积. 4求函数f(x)=x3-x2-x+1的极值与单调区间. 5、求由曲线y=2x2与y=1+x2所围平面图形的面积. 五、讨论题 ì讨论函数f(x)=ïíxsin1x, x¹0，在点x=0处的连续性与可导性。ïî0,x=0参考答案 一填空题 12xln2+2x-csc2x 2.-2sin2xdx, 3.7， 4. 1.0067 ，6.tanx-x+C， 7. < ， 8. 0 ， 9.f¢(a); 10.(0,0); 11.p2; 12. x=0 ； 13. 13x3+x+C；14.2xln2-cscxcotx；15.1-x2； 二单项选择题(略) 三1.解 ：limx-sinxx®0x3=lim1-cosxx®03x2 =limsinx1x®06x =6 22、解：y¢=(x2)¢arcsin3x+x2(arcsin3x)¢ =2xarcsin3x+3x1-9x23、解：òlnxxdx=òlnxdlnx =12ln2x+C 4、解：òxexdx=òxdex=xex+òexdx = xex+ex+C 5.解：令x-1=t，x=t2+1 ，dx=2tdt 5.x=0，4 原式=ò22t201+t2dt=2ò20(1-11+t2)dt =2(t-arctant)20=4-2arctan2 3+4+26解：原式=limxx2x®¥=3 7+5x+37x27解：原式= lim(x-2)(x+2)x®2x-2=lim(x®2x+2)=4 8解：方程两边对x求导，得 dydx+sin(x+y)(1+dydx)=0 从而dydx=-sin(x+y)1+sin(x+y)(1+sin(x+y)¹0) 9解：原式òsec2x1sec2x+3dx=òtan2x+4dtanx=12arctan(tanx2)+C 10解： 设x=t(t>0)，则x=t2,dx=2dt.当x从1变到4时。t从1变到2，于是，原式=ò22tt2+tdt=2ò212311t+1dt=2ln(t+1)1=2ln2 11、解： x®1时，1-x®0，且limx2+ax+bx®11-x=5，分子极限必须有 limx®1(x2+ax+b)=a+b+1=0，得b=-a-1 代入原极限式有 limx2+ax+bx2+ax-a-1x®11-x=limx®11-x=-limx®1(x+a+1)=-(a+2)=5， 得a=-7从而得b=6. 5 113x33dx) 12、 òxarctanxdx=òarctanxdx (xarctanx-ò2331+x2 xarctanx-(x- xarctanx-133òx)dx 1+x213312112x+òd(1+x) 2221+x121x+ln(1+x2) 22x®0x®0+ xarctanx-133(-x)=0 limf(x)=lim-(x)=0 四1.解： 因 lim-f(x)=lim-+x®0x®0所以limf(x)=0=f(0)， 即f(x)在x=0处连续。 x®0f-¢(0)=lim-f(x)-f(0)-x=lim=-1 x®0x®0-xx-0f(x)-f(0)xf+¢(0)=lim=lim=1 +x®0+x®0x-0x¢(0)¹f+¢(0)， 所以f(x)在x=0处不可导。 因f- 2、解：y¢=1-x -13=1-31x 令y¢=0得x=1，奇点x=0 x y¢ y (-¥,0) + 0 不存在 (0,1) - 1 0 (1,+¥) + 增 极大值=0 减 极小值=-1 2增 所以单调增区间为(-¥,0),(1,+¥)，单调减区间为(0,1) x=0时取极大值且极大值为0，x=1时取极小值且极小值为-1。 2ìy=x23解：解方程组í2 得交点坐标 和 îy=x6 所以，所围图形的面积为S=ò10(x-x2)dx 11231 =(x2-x3)= 03334解：f/(x)=3x2-2x-1，令f/(x)=0, 得驻点x1=-,x2=1 13x 11(-¥,-) - 33+ 0 1(-,1) 31 (1,+¥) 0 + f¢(x) - 13所以 xÎ(-¥,-)U(1,+¥)单调增， xÎ(-,1)单调减 13132x=-时，取极大值，x=1时，取极小值0. 327ìy=2x25解：联立方程组í 求得两条曲线的交点为 (-1,2)及(1,2) 2îy=1+x利用偶函数在对称区间的积分公式，所求面积为 4é1ùA=2ò(1+x2)-2x2dx=2êx-x3ú= 03û03ë11五.讨论题 解：因 limf(x)=limxsinx®0x®01=0=f(0) 所以f(x)在点x=0处连续。 x又 f¢(0)=limx®0f(x)-f(0)=limx®0x-0xsin1x=limsin1 此极限不存在，所以f(x)在点x®0xxx=0处不可导。 7