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第十三章 函数列与函数项级数数学分析/145922466.doc 第十三章 函数列与函数项级数 1.使学生理解怎样用函数列来定义一个函数； 2.掌握如何利用函数列来研究被它表示的函数的性质 函数列一致收敛的概念、性质 一致收敛的概念、判别及应用 20学时 §1 一致收敛性 一、函数列及极限函数 对定义在区间I上的函数列，介绍概念收敛点，收敛域，”定义. , 用“ ”定义验证其收敛域为极限函数等概念.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ 例1 对定义在, 且 内的等比函数列”定义验证在例2 .用“内. . 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . . 设. 为区间 . 上的全体有理数所成数列. 令 , . . , . - 1 - 数学分析/145922466.doc 有 , , . 二、函数列的一致收敛性 问题: 若在数集D上 限函数 , . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极? 答案是否定的. 上述例1、例3说明连续性未能遗传,而例3说明可积性未能遗传. 例3说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列. .) ) ,有 . 令 , . . 若存在数列， , 在数集D上一致收敛, , ( 介绍另一种形式 证 推论1 在D上 ( 利用式 易见逐点收敛. 设 对 , D成立, 即， , D. 推论2 设在数集D上 , 则函数列应用系2 判断函数列D , 使 在数集D上非一致收敛 . 为函数 在数集D上非一致收敛时, 常选 - 2 - 数学分析/145922466.doc 在数集D上的最值点. 验证函数一致收敛性: 例4 例5 ,. 证明函数列. 证明在R内 在R内一致收敛. , 但不一致收敛. 在点处取得极大值 证 显然有,. 证明在. 由系2 , 不一致收敛. 例6 证 易见 内, . 而 由系1 , 上的函数列 在 内成立. 例7 对定义在区间 证明: 证 , 但在 时, 只要 . 上不一致收敛. P3839 例3, 参图13-4. , 就有, . 因此, 在 上有 .于是, 在 , 上有 . 但由于上不一致收敛. 例8 . 考查函数列, 因此 , 该函数列在在下列区间上的一致收敛性: . ; - 3 - 数学分析/145922466.doc 三、函数项级数及其一致收敛性 1 函数项级数及其和函数： 数, 余项. 例9 定义在内的函数项级数( 称为几何级数 ) , 前 项部分和函数列，收敛点，收敛域, 和函的部分和函数列为 2. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy准则 ) 级数推论 级数Th3 级数, 收敛域为. 在区间D上一致收敛, 对 , D成立. , . 在区间D上一致收敛, 在区间D上一致收敛, . 例10 证明级数 证 令= 在R内一致收敛 . , 则 时 对 R成立. 例11 几何级数 证 在区间 在区间 上 , 有 上一致收敛；但在 内非一致收敛. , . 一致收敛 ; - 4 - 数学分析/145922466.doc 而在区间内 , 取, 有 , . 非一致收敛. ( 亦可由通项 几何级数虽然在区间 在区间 内非一致收敛于零, 非一致收敛.) 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数 敛 . 四、函数项级数一致收敛判别法 1. M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数 充分大时, 对 定义在区间D上, 在D上一致收敛 . 在区间 内闭一致收是收敛的正项级数.若当 D有|, 则证 然后用Cauchy准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数 致收敛 . 应用时, 常可试取 级数在区间D上非一致收敛. 是级数的一个优级在区间D上一在区间D上存在优级数 , 则级数.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数 , 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例12 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 . 例13 设是区间 在区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数上绝对并一致收敛 . . 与都绝对收敛, 则级数 简证 , 留为作业. - 5 - 数学分析/145922466.doc 2. Abel判别法: Th 5 设 > 级数 函数列在区间 上收敛; > 对每个 , 使对 和 , 数列, 有单调 ; > . 则级数在 上一致有界, 即 在区间 上一致收敛 . ( 1P43 ) 2. Dirichlet判别法: Th 6 设> 级数 > 对于每一个 则级数的部分和函数列 , 数列在区间 上一致有界; 单调; > 在区间 上函数列一致收敛于零. 在区间 上一致收敛 . 例14 判断函数项级数 解 记> 对每个 和 , ；> 在区间 上的一致收敛性. . 则有> 级数收敛; 对 成立. 由Abel判别法, 在区间 上一致收敛. 在区间例15 设数列单调收敛于零 . 试证明 : 级数 上一致收敛. 证 在 上有 . 可见级数 . 就有级数 对每一个 间 的部分和函数列在区间 的部分和函数列在区间上一致有界 . 取上一致有界, 而函数列 , 单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数在区上一致收敛. - 6 - 数学分析/145922466.doc 其实 , 在数列单调收敛于零的条件下, 级数 的任何区间上都一致收敛. 在不包含五、作业 习题课 例1 设, , | . 对 且 , . 在 上一致若对每个自然数 有| 收敛于函数 . 成立, 则函数列例2 证明函数列 例3 解 函数列 0, 在区间, 上非一致收敛. . 讨论函数列的一致收敛性. . 可求得 . . | 0| 在区间 在区间 上非一致收敛. 例4 设函数 在区间上连续 . 定义 . 试证明函数列上一致收敛于零. 有界 . 设在区间 | 上| ; ; | . 证法一 由 | | | , . . 注意到对- 7 - 数学分析/145922466.doc 0, 证法二 , . . 有界. 设在区间 上| | . 把函数在点展开成具Lagrange型余项的 阶Taylor公式 , 注意到 , 就有 , , , . 所以 , 例5 设 0, , . , 且. , . 令 , . . 试证明: 若对 区间 证 对有 由Cauchy收敛准则 , 函数列 例6 设在数集 则函数列上函数列在区间 上一致收敛 . . 若每个在数集 上有界 , . 和 , 有 , 则函数列在上一致收敛 . 取 , 使 时, 有. 于是对任何自然数和, 一致收敛于函数在数集 上一致有界 . 在数集 上有界 ) 设在 上有| . 证 ( 先证函数 - 8 - 数学分析/145922466.doc 对 | | ,由函数列在数集 上一致收敛, , ,当时 , 对 ,有 | | |< 在数集 | |. 即函数 上一致有界 ) |< , 易见对 时, 对 | 和 | 在数集 ,有 . | 上有界. ( 次证函数列| 取 在数集 例7 设但数列上一致有界 . 为定义在区间 有|. 即函数列上的函数列, 且对每个 , 函数), 函数列在区间 在点 右连续 , 内都 发散. 试证明: 对 不一致收敛. 证 反设 , 使在区间 , 有 对 成立. . 为Cauchy列,即内一致收敛. 则对收敛. 与已知条件矛盾. §2 一致收敛函数列和函数项级数的性质 一、一致收敛函数列极限函数的解析性质 1. 连续性: Th 1 设在 续. 证 ( 要证 : 对时, , 在点 . ) . 连续 . 即证: 对 , , 当|上 ,且对 ,函数在 上连续 , 在 上连- 9 - 数学分析/145922466.doc 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数 项 推论 设在 所有在 也可以任意小 . 上. 若在 上间断 ，则函数列在点连续, 第二在 上一致收敛和上连续不能同时成立. , 有 注 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列 即极限次序可换 . 2. 可积性: Th 2 若在区间 上函数列. 证 设在 证 Th2的条件可减弱为: 用条件“ 续”. 上, 由Th1, 函数 . 注意到 , 可见只要在 . 一致收敛 , 且每个在 上连续. 则有 在区间 上连续,因此可积. 我们要在上成立. 在 上连上( R )可积”代替条件“ 关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设 则其极限函数3. 可微性: Th 3 设函数列定义在区间 上, 在某个点在 收敛. 对 上一致收敛, 则函数列 , 在 在区是定义在区间 在 上的函数列. 若在上收敛且一致可积 , 上( R)可积 , 且有 . 上连续可导, 且由导函数构成的函数列间 上收敛, 且有 证 设， . . , . - 10 - 数学分析/145922466.doc 对 估计 | + , 注意到函数 + + | + | 连续和 + , 就有 + ,可证得. . | 即 . . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 P38 例1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) 例2 P39例2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) 二、一致收敛函数项级数和函数的解析性质 把上述Th13表为函数项级数的语言，即得关于和函数解析性质的相应结果. 例3 P40例3 例4 证明函数 在区间 内连续. 证 ( 先证 ， 在区间 内闭一致收敛.)对 ，有；又， 在 一致收敛. ( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间在点上一致收敛; 又函数 连续. 由点的任意性, 连续, 在区间 内连续. 上连续, 在区间 . 计算积分 例5 , . 三、作业 P42 9，11 P43 4 . - 11 -