数学分析课件第四版华东师大研制第15章 傅里叶级数.ppt

1 傅里叶级数,一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.,返回,一、三角级数正交函数系,三、收敛定理,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,一、三角级数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一,种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数,来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,常常是几个简谐振动,所以函数(2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠,加就得到函数项级数,的叠加：,若级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运,所以,它是由三角函数列(也称为三角函数系),所产生的一般形式的三角级数.,容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一,个以 为周期的函数.,关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:,则级数()可写成,定理 15.1 若级数,收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,证 对任何实数x,由于,根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.,为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函,数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所,其次,在三角函数系(5)中,任何两个不相同的函数,有函数具有共同的周期,的乘积在 上的积分等于零,即,不等于零,即,或者说(5)是正交函数系.,现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4),定理15.2 若在-,上,且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,(9)式逐项积分得,由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.,所以,即,由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛.,于是对级数(11)逐项求积,有,项积分,外,其他各项积分都等于0,于是得出:,即,同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分,可得,f(关于三角函数系(5)的傅里叶系数,以 f 的傅里,叶系数为系数的三角级数(9)称为 f(关于三角函数,系)的傅里叶级数,记作,这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级,数,由定理15.2知道:若(9)式右边的三角级数在整,个数轴上一致收敛于和函数 f,则此三角级数就是,f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“”可换为,函数 f 出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到,傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛.,如果收敛,是否收敛于 f 本身.这就是下一段所要,叙述的内容.,f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的,算术平均值,即,定理15.3(傅里叶级数收敛定理)若以 为周期的,三、收敛定理,注 傅里叶级数的收敛性质与幂级数相比,对,函数的要求要低得多,所以应用更广.,而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.,概念解释,断点,其导函数在a,b上除了至多有限个点外都存,在a,b上按段光滑的函数 f,有如下重要性质:,还有,从几何图形上讲,在,区间a,b上按段光滑,光滑函数,是由有限个,多有有限个第一类间,断点(图15-1).,光滑弧段所组成,它至,收敛定理指出,f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在,该点的左、右极限的算术平均值,而当 f 在点 x 连续时,则有,于 f.,推论 若 f 是以 为周期的连续函数,且在,其中 c 为任何实数.,注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常,注1 根据收敛定理的假设,f 是以 为周期的函数,应关系做周期延拓.也就是说函数本身不一定是定,义在整个数轴上的周期函数,但我们认为它是周期,后的函数为,如图所示.因此当笼统地说函数的傅里叶级数,开式.,解 函数 f 及其周期延拓后的图像如下图所示,显然 f 是按段光滑的.,故由傅里叶级数收敛定理,它可以展开成傅里叶级,数.由于,当n1时,如图所示,解 f 及其周期延拓的,图形如图15-5 所示.,显然 f 是按段光滑的,因此可以展开成傅里,叶级数.,例2 将下列函数展开成傅里叶级数:,所以,因此,由(14)或(15)都可推得,例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示),反映的是一种复杂的周期运动,用傅里叶级数展开,后,就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的,简谐振动的叠加,在电工学中称为谐波分析.,求该矩形波函数的傅里叶展开式.,所以,级数收敛到 0(实际上级数每一项都为 0).,2 以 2l 为周期的函数的展开式,上节讨论了以 2 为周期,或定义在上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.,返回,一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,一、以2l为周期的函数的傅里叶级数,设 f 是以 2l 为周期的函数,通过变量替换:,上也可积,这时函数 F 的傅里叶级数展开式是:,就可以将 f 变换成以 为周期的关于变量 t 的函数,其中,(2),(2)式分别得,与,这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数,(3),式是 f 的傅里叶级数.,知道,例1 将函数,展开成傅里叶级数.,里叶级数.根据(4)式,有,代入(5)式,得,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,是奇函数.因此,f 的傅里叶系数(4)是,设 f 是以 2l 为周期的偶函数,或是定义在 上,于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即,其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数.,同理,若 f 是以 2l 为周期的奇函数,或是定义在,上的奇函数,类似可推得,所以当 f 是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦,函数的项,即,数.,其中,当且 f 为奇函数时,则它展成的正弦级数为,其中,数展开成余弦级数或正弦级数?方法如下:首先将,上(如图15-8(a)或(b).然后求延拓后函数的,傅里叶级数,即得(10)或(12)形式.,也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12),计算出它,的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.,例2 设函数,求 f 的傅里叶级数展开式.,偶函数,图15-9 是,这函数及其周期延,拓的图形.由于 f 是,按段光滑函数,因此可以展开成傅里叶级数,而且,这个级数为余弦级数.由(10)式(这时可把其中“”,其中,改为“”)知道,所以,由此可得,解 函数 f 如图15-10所示,它是按段光滑函数,因而,可以展开成正弦级数(12),其系数,例3 求定义在 上的函数,(其中0 h)的正弦展开式.,所以,(i)正弦级数;(ii)余弦级数.,解(i)为了把 f 展开为正弦级数,对f做奇式周期延,拓(图15-11),并由公式(8)有,但当 x=0,2 时,右边级数收敛于0.,(ii)为了将f 展开成余弦级数,对f做偶式延拓(图,15-12).由公式(6)得 f 的傅里叶系数为,或,读者由例4 可以看到,同样一个函数在同样的区间,上可以用正弦级数表示,也可以用余弦级数表示,甚至作适当延拓后,可以用更一般的形式(5)来表示.,3 收敛定理的证明,本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理,为此,先证明两个预备定理.,预备定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)若函数 f 在,可积,则,式.,证 令,考察积分,由于,根据傅里叶系数公式(1(10)可得,将(3),(4)代入(2)，可得,因而,所以正项级数,的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立.,推论1 若f为可积函数,则,这个推论称为黎曼-勒贝格定理.,推论2 若 f 为可积函数,则,证 由于,所以,其中,左边的极限为零.,同样可以证明,显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7),当 t=0时,被积函数中的不定式由极限,来确定.,证 在傅里叶级数部分和,中,用傅里叶系数公式代入,可得,积分,再由第十二章3(21)式,即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为 的函数,就得到,(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.,现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:,(12)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即,证 只要证明在每一点x处下述极限成立:,即,或证明同时有,与,先证明(10)式.对(9)式积分有,得到,从而(10)式可改写为,令,由(1,(13)式得,所以 在 上可积.根据预备定理1和推论2,这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.,用同样方法可证(11)也成.,