数学分析课件第四版华东师大研制第10章 定积分的应用.ppt

1 平面图形的面积,本节介绍用定积分计算平面图形在,一、直角坐标方程表示的平面图形的,二、参数方程表示的平面图形的面积,三、极坐标表示的平面图形的面积,面积,各种表示形式下的面积.,返回,通过上移,由定积分的几何意义，可知 A 的面积为,例1,解,于是,于是,例2,解,则,显然,由于 g1(y),g2(y)不是分段定义的函数,比较,容易计算.,二、参数方程表示的 平面图形的面积,积为,因此,不论 x(t)递增或递减,若上述曲线C 是封闭的，即,则由C 所围的平面图形 A 的面积同样是,解,所围图形的面积.,三、极坐标表示的平面图形的面积,由曲线 C,设曲线C 的极坐标方程为,从而,由于,设,因此,例4,解,例5,由图形的对称性,解,解,例6,注 也可利用对称性.,2 由平行截面面积求体积,为三维空间中一立体,它夹在垂直于 x 轴的两平,轴的平面,截得 的截面面积为 A(x).,返回,证,若A(x)在,于是,因此,例1 求由两个圆柱面,围立体的体积.,解,以下讨论旋转体的体积.,例2,旋转一周所得环状立体的体积.,解,从而,例3,解,复习思考题,3 平面曲线的弧长与曲率,本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计,算公式.,一、平面曲线的弧长,返回,定义2 设平面曲线 C 由参数方程,曲线,则 C 是可求长的,且弧长为,若C为一光滑,于是,证,因此,由第一章1习题 6 可知,于是,即,从而,因此当 f 在 a,b 上连续可微时,示,则 C 又可看作,注1 若曲线 C 由直角坐标方程,表示,则 C 亦可看作,注2 若曲线 C 由极坐标方程,由于,解,例1,例 2,解,解,段弧长.,例3,在光滑曲线 上,弧段 与 的长度相差不,*二、平面曲线的曲率,曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯曲程度却很不一样.,转过的角度 要大得多,比动点从Q 移到 R 时切线.,到Q 时,切线转过的角度,这反映动点沿曲线从P 移,设 表示曲线在点 处切线的倾角,表示动点由 P 沿曲线移至,时切线倾角的增量.若,为弧段 的平均曲率.如果存在有限极限,则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率.,由于曲线光滑,故总有,可得,即,若曲线由 表示,则,例1 求椭圆 上曲率,解 由于,最大和最小的点.,因此椭圆在各点的曲率为,当 时,在 处曲率最大,在,由例1可得,若 则各点处曲率相等,为,处曲率最小,显然,直线上各点处的曲率为 0.,设曲线上一点P处曲率 若过 P 作一个半径为,的圆,使它在点 P 处与曲线有相同的切线,并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图).,在 P 处的曲率圆.曲率圆,率圆的圆心称为曲率中心.,的半径称为曲率半径,曲,我们把这个圆称为曲线,火车轨道从直道进入半径为 R 的,(使火车的向心加速度,以保证火车行驶安全,道(用虚线表示),使得曲率由零连续地变到,圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨,例2 如图所示,对此曲线用曲率公式求得:,缓冲曲线常采用三次,曲线,的曲率从 0 渐渐增加到接近于 从而起到缓冲,因此曲线段,作用.,4 旋转曲面的面积,定积分的所有应用问题,都可按“分,一、微元法,二、旋转曲面的面积,用以导出旋转曲面面积的计算公式.,“微元法”来处理.本节将介绍微元法,并,量的积分形式,但在实际应用中又常用,割、近似、求极限”三个步骤导出所求,返回,一、微元法,现在恰好要把问题倒过来:若所求量 是分布在区,或者说它是该区间的端点,x 的函数,即,其中 f 为某一连续函数,而且当时,在任意小区间上,若能把 的,微小增量近似表示为的线性形式,在一般情况下,要严格检验,以上方法通常称为微元法,在用微元法时,应注意:,求的结果.,(2)微元法的关键是正确给出的近似表达式,为的高阶无穷小量不是一件容易的事.,(1)所求量 关于分布区间必须是可加的.,这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面(如下图).,设平面光滑曲线 C 的方程为,二、旋转曲面的面积,通过 x 轴上点 x 与 分别作垂直于 x 轴的平,时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,即,面,它们在旋转曲面上截下一条狭带.当很小,因此由的连续性可以保证,所以得到,如果光滑曲线由参数方程,曲面的面积为,椭球面的面积.,解 将上半椭圆写成参数方程,令,面的面积.,当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解 将曲线用参数方程表示:,于是,请读者自行指出这应该怎么做？,5 定积分在物理中的应用,定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问,一、液体静压力,应用微元法化为计算,题中,常遇到的物理量具有连续性与可加性.要求,三、功与功率,二、引力,返回,出某物理量,重要的是找到 然后,例1 如图所示为管道,一、液体静压力,解 取圆心为原点,建立坐标系如图.此时圆的方,的静压力为多大(设水,径时,闸门所受到的水,米).问水平面齐及直,的圆形闸门(半径为 3,的比重为)？,由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水的,而总静压力为各狭条所受的静压力之和,因此,程为,比重与深度的乘积,故当 很小时,从深度 x 到 x,的狭条 上所受的静压力为,二、引 力,例2 一根长为 l 的均匀细,解 建立直角坐标系如图所示.细杆位于 x 轴上的,质点位于 y 轴上点 a.任取,质点的万有引力.,量为 m 的质点,试求细杆对,上相距细杆为 a 处有一质,杆,质量为 M,在其中垂线,则其质量微元为,它对质点 m 的引力为,由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不,能直接对 dF 积分,为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴,两个方向上,得,得垂直方向总合力为,负号表示合力与 y 轴方向相反.,例3,间的作用力.,例4 一圆锥形水池,池,三、功与功率,解 如图建立直角坐标系.,的功?,全部池水抽出池外需作,池中盛满了水.试求将,口直径 30 米,深 10米,将池中深度为 x 到 x+的一薄层水抽到池口,所作的功 W 的微元为,而,因此,于是求得,例5,*6 定积分的近似计算,利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计,近似计算方法.,数能够求出的情形.我们这里介绍定积分的,算定积分的值,但它仅适合被积函数的原函,返回,根据定积分的定义,在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边,两种方法.,法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的,梯形面积的结果,所以把这个近似计算法称为矩形,一、梯形法,将积分区间,相应的被积函数值记为,曲线 上相应的点记为,将曲线上每一段 这使每个小,于是,整个曲边梯形面积的近似值为,即,曲边梯形换成了梯形,其面积为,以上近似式称为定积分的梯形法公式.,二、抛物线法,由梯形法求定积分的近似值,当 为凸曲,线时偏大,为凹曲线时偏小.用抛物线法可克服上述缺点.,将积分区间 分点为:,相应的被积函数值记为,曲线 上相应的点记为,将得到,最后得到,即,这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式.,例 计算 的近似值.,解 将区间 十等分，各分点上被积函数的值列,表如下：,(1)用矩形法公式,(2)用梯形法,(3)用抛物线法,与精确值,相比较，矩形法只有一位有效数字是准确的;梯,位有效数字是准确的.,形法有三位有效数字是准确的;后而抛物线法有六,