转差频率控制的异步电动机矢量控制系统仿真.doc

转差频率控制的异步电动机矢量控制系统仿真摘 要本文主要进行MATLAB对异步电动机转差频率控制系统仿真，分析异步电动机转差频率控制技术的主要控制方法、基本组成与工作原理。在此基础上介绍了异步电动机的坐标变换，对异步电动机转差频率矢量控制系统的基本原理进行了阐述。最后，对仿真结果进行分析，总结出如下结论：采用转差频率矢量控制的矢量控制系统具有良好的控制性能。关键词：转差频率，矢量控制，异步电动机Induction Motor Slip Frequency Indirect Vector ControlOf Matlab SimulationAbstractThis paper focuses on the matlab simulation of the asynchronous motor speed regulation system.Firstly , this paper analyzes the main control method , basic composition and working principle of the induction motor slip frequency control technology.Secondly , this paper analysis the dynamic model of asynchronous motor and further introduces the coordinate transfer and the basic principle of motor slip frequency vector control system. At the same time , the simulation work to prove its feasibility.Finally , according to analysis of the simulation results , the conclusions are as follows simply slip frequency control is always with poor load capacity , on the contrary the vector control applications can enhance the ability to regulate the motor of the torque and without voltage compensation.Key words:slip frequency,vector control,induction motor目 录摘 要IAbstractII1绪论11.1现代交流调速技术的发展11.1.1异步电动机交流调速系统的类型21.1.2交流调速系统的发展趋势和动向21.2 MATLAB和Simulink概述21.3转差频率控制的调速系统41.3.1转差频率控制的基本概念41.3.2基于异步电动机稳态模型控制的转差频率控制规律52异步电动机转差频率间接矢量控制交流调速系统82.1异步电机的特点82.2三相异步电动机的多变量非线性数学模型82.2.1电压方程92.2.2磁链方程102.2.3转矩方程112.2.4电力拖动系统运动方程122.3矢量控制技术思想132.3.1坐标变换142.3.2交流异步电机在两相任意旋转坐标系上的数学模型192.3.3异步电机在两相静止坐标系（坐标系）上的数学模型212.3.4异步电机在两相同步旋转系上的数学模型222.3.5三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程222.4基于转差频率矢量控制调速系统的组成232.4.1基于转差频率间接矢量控制调速系统的工作原理232.4.2异步电动机转差频率间接矢量控制公式推导243主电路与控制电路263.1 PWM逆变器263.2控制电路的设计273.2.1转速PI调节器的设计273.2.2函数运算模块的设计284 转差频率间接矢量控制的MATLAB仿真304.1仿真模型的搭建及参数设置304.1.1主电路模型304.1.2控制电路的模型搭建314.2仿真结果与分析334.2.1仿真波形图334.2.2仿真结果分析354.3本章总结36参考文献37致 谢381绪论1.1现代交流调速技术的发展交流技术诞生于19世纪，但由于其性能无法与直流调速技术相比，所以过去的直流调速技术一直在电气传动领域中占统治地位。直到20事件50年底中期，晶闸管研制成功，开创了电力电子技术发展的新时代。在工业化的进程中,电动机作为将电能转换为机械能的主要设备。实际应用中要求电机一方面要具有较高的机电能量转换效率；另一方面能够根据生产工艺要求控制和调节电动机的旋转速度。电动机的调速性能如何，对节省能量，提高产品质量，提高劳动生产率有着直接的决定性影响。因此,调速技术一直是研究的热点。长期以来,直流电动机由于调速性能优越而掩盖了结构复杂等缺点广泛的应用于工程过程中。直流电动机在额定转速以下运行时,保持励磁电流恒定,可用改变电枢电压的方法实现恒定转矩调速;在额定转速以上运行时,保持电枢电压恒定,可用改变励磁的方法实现恒功率调速。同时采用转速、电流转速双闭环直流调速系统可获得优良的静、动态调速特性。因此,20世纪80年代以前,在变速传动领域中,直流调速一直占据主导地位。交流电动机自1885年出现后，由于没有理想的调速方案，因而长期用于恒速拖动领域，近些年来,科学技术的迅速发展为交流调速技术的发展创造了极为有利的技术条件和物质基础。1.电力电子器件的不断更新。迄今为止,电力电子器件的发展经历了分立换流关断器件（晶闸管元件），自关断器件（GTR、GTO、VDMOS、IGBT）,功率集成电路PIC,智能模块IPM,专用功率器件模块ASPM,使得变频装置在性能与价格比上可以与直流调速装置相媲美。2.先进的调制技术的出现。20世纪60年代中期,德国ASchonung等人率先把通信系统中的调制技术推广应用于变频调速中，即PWM技术。PWM技术的发展和应用优化了变频装置的性能，而且更重要的意义是抑制逆变器输出电压或电流中的谐波分量,从而降低或消除了变频调速时电机的转矩脉动,提高了电机的工作效率,扩大了调速系统的调速范围。3.矢量控制技术和直接转矩控制技术的提出。1975年,德国学者FBlaschke提出了矢量变换控制原理,采用参数重构和状态重构的现代控制理论概念实现了交流电动机定子电流的励磁分量和转矩分量之间的解藕,实现了将交流电动机的控制过程等效为直流电动机的控制过程。1985年,德国鲁尔大学的M Depenbrock对时空间理论的研究,提出了直接转矩控制理论，以转矩和磁通的独立跟踪自调整并借助于转矩的Band-Band控制来实现转矩和磁通直接控制。4.微型计算机控制技术的发展。单片微机MCS，DSP，精简指令集计算机(Reduced Instruction Set Computer RISC)为控制核心的微机控制技术使得交流调速从模拟控制迅速走向数字控制。数字化使得控制器对信息处理能力大幅度提高，各种计算轻易实现，从而交流调速的现代控制方法终于得以完全实现。交流调速系统与直流调速系统相比，具有如下特点：（1）容量大。（2）转速高且耐压高。（3）交流电机的体积，重量，比同等容量的直流电机小，且结构简单，经济可靠，惯性小。（4）交流电机环境适应力强，坚固耐用，可以在十分恶劣的环境下使用。（5）高性能，高精度的新型交流拖动系统已达到同直流拖动系统一样的性能指标。（6）交流调速系统表现出显著的节能。1.1.1异步电动机交流调速系统的类型由异步电动机工作原理可知,异步电动机从定子传入转子的电磁功率可分为两部分:一部分是拖动负载的有效功率；另一部分是转差功率,与转差率成正比。转差功率如何处理,是消耗掉还是回馈给电网,可衡量异步电动机调速系统的效率高低。因此按转差功率处理方式的不同可以把现代异步电动机调速系统分为三类:(1)转差功率消耗型调速系统。(2)转差功率回馈型调速系统。(3)转差功率不变型调速系统。1.1.2交流调速系统的发展趋势和动向1智能化控制方法对交流调速系统的影响研究，主要针对电机参数的不确定性、纯滞后或非线性耦合等特性,以及电机转子参数估计的不准确及参数变化的影响都会造成定向坐标的偏移，模糊控制、人工神经网络通过输入、输出信息进行仿人思维的智能化控制方法开始引入到交流调速系统中,成为交流调速控制技术新的研究方向。取消通过机械连接的测速发电机及其他测速传感器,实现无硬件测速传感器的交流调速系统。2.改善交流调速系统效率的方法研究。主要措施是降低电力电子器件的开关损耗。如电力电子器件在零电压或电流下转换,即工作在所谓“软开关”状态下,从而使开关损耗降低到零。3.中压变频装置的研究。4.系统可靠性的研究。提高系统的可靠性主要通过两个途径:一是提高部件的设计和制造水平；二是利用冗余和容错技术。利用马尔柯夫过程理论对容错控制系统进行可靠性建模,研究冗余和容错系统的硬件结构和软件设计也是交流调速研究的新领域,是热点课题之一。1.2 MATLAB和Simulink概述MATLAB是国际上仿真领域最权威、最实用的计算机工具。它是MathWork公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件，被誉为“巨人肩上的工具”。MATLAB是一种应用于计算技术的高性能语言。它将计算、可视化和编程结合在一个易于使用的环境中，此而将问题解决方案表示成我们所熟悉的数学符号，其典型的使用包括:.数学计算.运算法则的推导.模型仿真和还原.数据分析，采集及可视化.科技和工程制图.开发软件，包括图形用户界面的建立MATLAB是一个交互式系统，它的基本数据元素是矩阵，且不需要指定大小。通过它可以解决很多技术计算问题，尤其是带有矩阵和矢量公式推导的问题，有时还能写入非交互式语言如C和Fortran等。MATLAB的名字象征着矩阵库。它最初被开发出来是为了方便访问由LINPACK和EISPAK开发的矩阵软件，其代表着艺术级的矩阵计算软件。MATLAB在拥有很多用户的同时经历了许多年的发展时期。在大学环境中，它作为介绍性的教育工具，以及在进阶课程中应用于数学，工程和科学。在工业上它是用于高生产力研究、开发、分析的工具之一。MATLAB的一系列的特殊应用解决方案称为工具箱（toolboxes）。作为用户不可缺少的工具箱，它可以使你学习和使用专门技术。工具箱包含着M-file集，它使MATLAB可延展至解决特殊类的问题。在工具箱的范围内可以解决单个过程、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真及其他很多问题。经过几十年的完善和扩充，它已发展成线形代数课程的标准工具。在美国，MATLAB是大学生和研究生必修的课程之一。美国许多大学的实验室都安装有MATLAB，供学习和研究之用。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。其包含的SIMULINK是用于在MATLAB下建立系统框图和仿真环境的组件，其包含有大量的模块集，可以很方便的调取各种模块来搭建所构想的试验平台，同时SIMULINK还提供时域和频域分析工具，能够直接绘制系统的Bode图和Nyquist图。MATLAB系统可分为五个部分:（1）MATLAB语言：这是一种高级矩阵语言，其有着控制流程状态，功能，数据结构，输入输出及面向对象编程的特性。它既有“小型编程”的功能，快速建立小型可弃程序，又有“大型编程”的功能，开发一个完整的大型复杂应用程序。（2）MATLAB的工作环境：这是一套工具和设备方便用户和编程者使用MATLAB。它包含有在你的工作空间进行管理变量及输入和采集数据的设备。同时也有开发、管理、调试profiling、M-files、MATLAB、sapplications的系列工具。（3）图形操作：这是MATLAB的图形系统。它包含有系列高级命令，其内容包括二维及三维数据可视化，图形处理，动画制作，表现图形。同时它也提供低级命令便于用户完全定制图形界面并在你的MATLAB软件中建立完整的用户图形界面。（4）MATLAB数据功能库：它拥有庞大的数学运算法则的集合，包含有基本的加、正弦、余弦功能到复杂的求逆矩阵及求矩阵的特征值，Bessel功能和快速傅立叶变换。（5）MATLAB应用程序编程界面：这是一个允许你在MATLAB界面下编写C和Fortran程序的库。它方便从MATLAB中调用例程(即动态链接)，使MATLAB成为一个计算器，用于读写MAT-files。Simulink是用于仿真建模及分析动态系统的一组程序包，它支持线形和非线性系统，能在连续时间、离散时间或两者的复合情况下建模。系统也能采用复合速率，也就是不同的部分用不同的速率来采样和更新。Simulink提供一个图形化用户界面用于建模，用鼠标拖拉块状图表即可完成建模。在此界面下能像用铅笔在纸上一样画模型。相对于以前的仿真需要用语言和程序来表明不同的方程式而言有了极大的进步。Simulink拥有全面的库，如接收器，信号源，线形及非线形组块和连接器。同时也能自己定义和建立自己的块。模块有等级之分，因此可以由顶层往下的步骤也可以选择从底层往上建模。可以在高层上统观系统，然后双击模块来观看下一层的模型细节。这种途径可以深入了解模型的组织和模块之间的相互作用。在定义了一个模型后，就可以进行仿真了，用综合方法的选择或用Simulink的菜单或MATLAB命令窗口的命令键入。菜单的独特性便于交互式工作，当然命令行对于运行仿真的分支是很有用的。使用scopes或其他显示模块就可在模拟运行时看到模拟结果。进一步，可以改变其中的参数同时可以立即看到结果的改变，仿真结果可以放到MATLAB工作空间来做后处理和可视化。模型分析工具包括线性化工具和微调工具，它们可以从MATLAB命令行直接访问，同时还有很多MATLAB的toolboxes中的工具。因为MATLAB和Simulink是一体的，所以可以仿真、分析，修改模型在两者中的任一环境中进行。1.3转差频率控制的调速系统1.3.1转差频率控制的基本概念直流电动机的转矩与电枢电流成正比，控制电流就能控制转矩。因此，把直流双闭环调速系统转速调节器的输出信号当做电流给定信号，也就是转矩给定信号。在异步电机变压变频调速系统中，需要控制的是电压（电流）和频率，怎样通过控制电压（电流）和频率来控制电磁转矩，便成为提高动态性能时需要解决的问题。由电力拖动的基本方程式: （1-1）根据基本运动方程式，控制电磁转矩就能控制。因此，归根结底，控制调速图1.1异步电动机稳态等效电路和感应电动势系统的动态性能就是控制转矩的能力。电磁转矩关系式： （1-2）由图1.1异步电动机稳态等效电路图可知： （1-3）将（1-3）代入（1-2）中得： （1-4）将电机气隙电动势代入式（1-4）得 （1-5）令并定义为转差频率，其中为电机的结构常数，则式（1-5）可化为 （1-6）当电机稳定运行时，值很小，因而也很小，只有的百分之几，可以认为，则转矩可近似表示为 （1-7）上式表明，在很小的稳定运行范围内，如果能够保持气隙磁通不变，则有，就和直流电机中控制电流一样，能够达到间接控制转矩的目的。控制转差频率就相当于控制了转矩，这就是转差频率控制的基本概念。1.3.2基于异步电动机稳态模型控制的转差频率控制规律当较大时，采用式（1-4）的精确转矩公式，其转矩特性如图1.2所示，当较小时处于稳定运行段，转矩与转差频率基本上成正比，当达到最大值时，达到。图1.2按恒值控制的特性对于式（1-4），取，可得， （1-8） （1-9）1在转差频率控制系统中，只要给定限幅，使其限幅值为 （1-10）则可保持与的正比关系，从而可以用转差频率控制来代替转矩控制。2上述规律是在保持恒定的条件下成立的，保持恒定的条件：由异步电机等效电路图1.1，可知 （1-11）可见该控制需要在恒控制的基础上再提高电压以补偿定子电流压降。如果忽略电流相量相位变化的影响，不同定子电流时恒控制所需的电压-频率特性如图1.3所示。图1.3不同定子电流时恒压频比控制所需的电压-频率特性上述关系表明，只要和及的关系符合上图所示特性，就能保持恒定，也就是保持恒定。这是转差频率控制的基本规律之二。总结起来，转差频率控制的规律是：（1）在的范围内，转矩基本上与成正比，条件是气隙磁通不变。（2）在不同的定子电流值时，按上图的函数关系控制定子电压和频率，就能保持气隙磁通恒定。由以上工作情况可以看出，转差频率控制系统的优点在于定子频率输入信号是由转差频率和实测转速信号相加后得到的。这样，在转速变化过程中，定子频率随着实际转速同步上升或下降，因此加、减速平滑而稳定。同时，由于在动态过程中转速调节器ASR饱和，系统能用对应于的限幅转矩进行控制，保证了在允许条件下的快速性。由此可见，转速闭环转差频率控制的交流变压变频调速系统能够像直流电机双闭环控制系统那样获得较好的静、动态性能，是一个比较优越的控制策略，属于高性能的控制系统。2异步电动机转差频率间接矢量控制交流调速系统2.1异步电机的特点异步电动机转差频率控制的转速闭环变压变频调速系统的控制思想建立在异步电动机的静态数学模型上，动态性能指标不高。我们常常会联想到直流电机的调速系统，由于直流电机在额定励磁下是一个二阶线性系统，传递函数明确，从而系统的优化会变得简单，PI调节器的参数的设置也轻而易举。而相对于直流电机，交流电机具有以下特点：1异步电动机变压变频调速时需要进行电压电流的协调控制，有电压和电流两个独立的输入变量。在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的输出变量。因为电动机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转速的变化是同时进行的，为了获得良好的动态性能，也希望对磁通施加某种控制，使它在动态过程中尽量保持恒定，才能产生较大的动态转矩。由于这些原因，异步电动机是一个多变量系统，而电压，电流，频率，磁通，转速之间又互相都有影响，所以是一个强耦合的多变量系统，可以用图2.1定性的表示。2在异步电动机中，电流乘磁通产生转矩，转速乘磁通得到感应电动势，由于它们都是同时变化的，在数学模型中，就含有两个变量的乘积项，这样一来，即使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是非线性的。3三相异步电动机有三个定子绕组，转子也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再算上运动系统的机电惯性和转速与转角的积分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。总之，异步电动机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。2.2三相异步电动机的多变量非线性数学模型无论电动机是绕线型还是笼型的，都可以将它等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。在做出以下假设：（1）忽略空间谐波，三相绕组在空间互差120°，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；（2）忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是恒定的；（3）忽略铁心损耗；（4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。此时电动机绕组就等效成图2.2所示的三相异步电动机的物理模型。图中，定子三相绕组轴线A、B、C在空间是固定的，以A轴为参考坐标轴；转子绕组轴线a、b、c随转子旋转，转子a轴和定子A轴间的电角度为空间角位移变量。规定各绕组电压、电流、磁链的的正方向符合电动机惯性和右手螺旋定则。这时，异步电动机的数学模型由下述电压方程，磁链方程，转矩方程和运动方程组成。图2.1异步电动机的多变量强耦合模型结构图2.2三相异步电动机物理模型2.2.1电压方程1. 三相定子绕组的电压平衡方程组2三相转子绕组折算到定子侧的电压方程式中，定子和转子相电压的瞬时值； ，定子和转子相电流的瞬时值；将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子代替微分符号 （2-1）即 2.2.2磁链方程每个绕组的磁链是他本身的自感磁链和其他绕组对他的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表示为 （2-2）即 实际上，与电机绕组交链的磁通只有两类：一类是穿要过气隙的相间互感磁通；另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。定子各相漏磁通所对应的电感称为定子漏感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；同样，转子各相漏磁通则对应于转子漏感。与定子一相绕组交链的最大互感磁通对应于定子互感，与转子绕组交链的最大磁通对应于转子互感。由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可认为=。对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通和漏感磁通之和，因此，定子各相自感为： （2-3）转子各相自感： （2-4）现在先讨论第一类，三相绕组轴线彼此在空间的相位差是120度。在假定气隙磁正弦分布的条件下，互感值应为： （2-5） （2-6）第二类，即定子转子绕组间的互感，由于相互位置的变化（见图2.2）可分别表示为： （2-7） （2-8） （2-9）当定转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互感值最大，就是每相的最大互感，将式（2-3）到式（2-9）都代入式（2-2），即得完整的磁链方程，显然这个矩阵是比较复杂的，为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式如下： （2-10）式中 （2-11） （2-12） （2-13）值得注意的是，和两个矩阵互为转置，且均与转子位置角有关，它们的元素都是变参数，这是系统非线性的一个根源。为了把变参数矩阵转换成常参数矩阵须利用坐标变换。 （2-14）将磁链方程代入电压方程，即得展开后的电压方程： （2-15）其中，项属于电磁感应电动势中的脉变电动势，项属于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势。2.2.3转矩方程根据机电能量转换原理，在线性电感的条件下，磁场的储存能量和磁共能为： （2-16）电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率（电流约束为常值），且机械角位移=，于是= （2-17）将（2-16）代入（2-17）并考虑到电感的分块矩阵关系式（2-12）到（2-14）得： （2-18）又，代入式（2-18）得 （2-19）用三相电流和转角表示的转矩方程+ （2-20）应该指出，上述公式是在线性磁路，磁动势在空间按正弦分部的假定条件下得出来的，但对定转子电流对时间的波形未作任何假定，式中的电流都是实际瞬时值。因此上述电磁转矩公式完全适用于变压变频器供电的含有电流谐波的三相异步电动机调速系统。2.2.4电力拖动系统运动方程若忽略电力拖动系统传动机构中的粘性摩擦和扭转弹性，则系统的运动方程式为： （2-21）式中 ：负载转矩； ：机组的转动惯量。将式（2-1），式（2-16），式（2-20）和式（2-21）综合起来，再加上转速与转角的关系: （2-22）以上各式便构成恒转矩负载下三相异步电动机的多变量非线性数学模型，用结构图表示如下图所示：图2.3异步电动机的多变量非线性结构框图上图表明异步电动机的数学模型有下列具体性质：（1）除负载转矩输入外，异步电动机可以看成一个双输入双输出的系统，输入量是电压相量和定子输入角频率，输出量是磁链相量和转子角速度，电流相量可以看作是状态变量。（2）非线性因素存在于和中，即存在于产生旋转电动势和电磁转矩两个环节上，还包含在电感矩阵L中。旋转电动势和电磁转矩的非线性关系和直流电动机弱磁控制的情况相似，只是关系复杂一些。（3）多变量之间的耦合关系主要也体现在和两个环节上。2.3矢量控制技术思想异步电动机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，通过坐标变换，可以使之降阶并化简，但并没有改变其非线性、多变量的本质。交流调速系统的动态性能不够理想，调节器参数很难设计，关键就是在于只是近似成线性单变量控制系统而忽略了非线性、多变量的性质。许多专家学者对此进行过潜心的研究，终于获得了成功。20世纪70年代由德国工程师创立的崭新的矢量控制控制理论，从而实现了感应电机的具有与直流同样好的调速效果。矢量控制是一种高性能异步电动机控制方式，它基于电动机的动态数学模型，通过坐标变换，将交流电机模型转换成直流电机模型。根据异步电动机的动态数学方程式，它具有和直流电动机的动态方程式相同的形式，因而如果选择合适的控制策略，异步电动机应有和直流电动机相类似的控制性能，这就是矢量控制的思想。因为进行变换的是电流的空间矢量，所以这样通过坐标变换实现的控制系统就叫做矢量变换控制系统，或称矢量控制系统。简单的说，矢量控制就是将磁链与转矩解耦，有利于分别设计两者的调节器，以实现对交流电机的高性能调速。矢量控制方式又有基于转差频率控制的矢量控制方式、无速度传感器矢量控制方式和有速度传感器的矢量控制方式等。这样就可以将一台三相异步电机等效为直流电机来控制，因而获得与直流调速系统同样的静、动态性能。矢量控制算法已被广泛地应用在SIEMENS，AB，GE，FUJI等国际化大公司变频器上。采用矢量控制方式的通用变频器不仅可在调速范围上与直流电动机相匹配，而且可以控制异步电动机产生的转矩。由于矢量控制方式所依据的是准确的被控异步电动机的参数，有的通用变频器在使用时需要准确地输入异步电动机的参数，有的通用变频器需要使用速度传感器和编码器。鉴于电机参数有可能发生变化，会影响变频器对电机的控制性能，目前新型矢量控制通用变频器中已经具备异步电动机参数自动检测、自动辨识、自适应功能，带有这种功能的通用变频器在驱动异步电动机进行正常运转之前可以自动地对异步电动机的参数进行辨识，并根据辨识结果调整控制算法中的有关参数，从而对普通的异步电动机进行有效的矢量控制。2.3.1坐标变换前面已推导出异步电动机的动态模型，但是，要分析和求解这组非线性方程是非常困难的，即使要画出很清楚的结构图也并不是容易的事。通常须采用坐标变换的方法加以改造，使变换后的数学模型容易处理一些。1坐标变换的基本思想和原则从上节分析异步电动机动态数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵，也就是说，影响磁链和受磁链影响的因素太多了。因此，要简化数学模型，须从简化磁链的关系着手。直流电机的数学模型是比较简单的，现在先分析直流电机的磁链关系，如图2.1所示为直流电机的数学模型。直流电动机的数学模型比较简单，上图绘出了直流电动机的物理模型。励磁绕组F和补偿绕组C都在定子上，只有电枢绕组A是在转子上。把F的轴线作为直轴或轴主磁通的方向就是沿着轴的；A和C的轴线称为交轴或轴。虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电刷接到端接板上，电刷将闭合的电枢绕组分成两条支路。当一条支路中的导线经过正电刷归入另一条支路中时，在负电刷下又有一条导线补回来。这样，电刷两侧每条支路中导线的电流方向总是相同的，因此，当电刷位于磁极的中性线上时，电枢磁动势的轴线始终被电刷限定在轴位置上，其效果好像一个在轴上静止绕组的效果一样。但它实际上是旋转的，会切割轴的磁通而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组不一样，但它实际上是旋转的，会切割轴的磁通而产生旋转电动势，这又和静止的绕组不同。通常把这种等效的静止的绕组叫做“伪静止绕组”。电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁动势抵消，或者由于其作用方向与轴垂直而对主磁通影响甚微，所以直流电动机的主磁通基本上唯一地由励磁电流决定。这是直流电机的数学模型及控制系统比较简单的根本原因。如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模型，分析和控制问题就可以大为简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。在这里，不同的电机模型彼此等效的原则是，在不同坐标系下所产生的磁动势完全一致。众所周知，在交流电机三相对称的静止绕组A，B，C中，通过三相平衡的正弦电流，时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速,(即电流的角频率)顺着A-B-C的相序旋转。然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，两相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。图2.4二极直流电机的物理模型下图（b）所示为两相静止绕组和，它们在空间上互差,通常以时间上互差的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。下图2.5（a）和（b）的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为两相绕组与三相绕组等效。图中的（c）中的两个匝数相等且互相垂直的绕组和，其中分别通以直流电流和产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F自然也就随之旋转起来，成为旋转磁动势。如果控制磁动势也和前述的三相和两相磁动势一样，这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者站在铁芯上和绕组一起旋转时，在它看来，和是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的位置在M轴上，就和直流电机的物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组相当于励磁绕组，绕组相当于伪静止的电枢绕组。图中的（c）中的两个匝数相等且互相垂直的绕组和，其中分别通以直流电流和产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F自然也就随之旋转起来，成为旋转磁动势。 （a)三相交流绕组 （b)两相交流绕组如果控制磁动势也和前述的三相和两相磁动势一样，这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者站在铁芯上和绕组一起旋转时，在它看来，和是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的位置在M轴上，就和直流电机的物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组相当于励磁绕组，绕组相当于伪静止的电枢绕组。（c)旋转的直流绕组图2.5等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，三相交流绕组、两相交流绕组与整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的与和在旋转两相坐标系下的直流和是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。就,两个绕组而言，当观察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁芯上看，它们就的确是个直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。2三相-两相变换（3s/2s变换）由于转子的旋转，定、转子绕组间的互感是定、转子相对位置的函数，使得交流电机的数学模型为一组非线性的微分方程。为了解除定、转子间这种非线性的耦合关系，需要对其进行坐标变换，建立起参考系坐标内的异步电机的数学模型。在三相静止绕组、和两相静止绕组、之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3/2变换。图2.6中绘出了、和、两个坐标系，为方便起见，取轴和轴重合。设三相绕组每相有效匝数为,两相绕组每相有效匝数为,各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化，图中磁动势矢量的长度是随意的。设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与两相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在、轴上的投影都应相等，因此= （2-23）= （2-24）图2.6三相、两相静止坐标系与磁通势空间矢量即 （2-25）在变换前后总功率不变的前提下，匝数比为 （2-26）代入（2-25）得 若记变换矩阵则上式可化简为： （2-27）按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换矩阵，同时，电流变换阵也是磁链的变换阵。3.两相-两相旋转变换从两相静止坐标系，到两相旋转坐标系，的变换称做两相-两相旋转变换，其中s表示静止，r表示旋转。把两个坐标系画在一起，如下图所示：在上图中，两相交流电流和两个直流电流，产生同样的以同步转速旋转的合成磁动势。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如可以直接标成。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而表示时间相量，由图可见，之间存在下列关系: （2-28）写成矩阵形式： （2-29）所以两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换矩阵为： （2-30）两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变