数学建模第四章(微分方程).ppt

动态问题,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,一般处理动态连续问题,微分方程应用问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的而本章主要讨论实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件作出不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验,微分方程建模是数学建模的重要方法之一，在自然科学以及工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题.,1.根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系 2.找出这些量所满足的动态特征和基本规律 3.运用这些规律列出方程和定解条件，从而建立微分方程模型,把各种实际问题化成微分方程的定解问题，建立微分方程模型，可按以下步骤：,在工程实际问题中,*“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.,关键词“速率”、“增长”“衰变”，“边际的”，常涉及到导数.,建立方法常用微分方程,运用已知规律列方程,利用平衡与增长式,运用微元分析法,模拟近似法,1.根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等建立问题的微分方程模型 2.微元分析法自然界中的许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知规律建立变量的微元之间的关系式，再通过取极限的方法得到微分方程模型与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律,3.模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时常常需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，根据假设，在不同的假设下去模拟实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法建立微分方程模型然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象,4.利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系.,例1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数k 0，m=18.,求得通解为,代入条件，求得c=42，k=,最后得,T(t)=18+42,t 0.,结果：T(10)=18+42=25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,例2、车间空气的清洁问题,问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间里的空气的CO2含量假定通入的新鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？,内车间空气含CO2量的“增加”等于,时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量用数学公式表示出来就是,分析和建模,这就是t时刻空气中含CO2的百分比。,通常,否则含CO2的量只会增加。,这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到,讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟，K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问：（1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于0.08%?（2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？,此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜或家禽增肥到一定重量出售，取得最大利润他们应该怎么办？,对于人类来说，肥胖症或减肥问题越来越引起人们的广泛关注一时间，爱美的人，害怕肥胖的人面对各种减肥食品、药物或疗法简直无所从适从,试从数学上讨论减肥问题（即科学减肥的数学）,分析：用热量平衡方程来解此问题,4.1 减肥问题的数学模型,热量B，活动消耗热量C体重，并且理想假定增重、减重的热量主要由脂肪提供，每公斤脂肪转化的热量为D，记W(t)为体重，于是有下述平衡方程,得微分方程,设每天的饮食可产生热量A，用于新陈代谢消耗,其中常数 与食量、新陈代谢有关，与活动量有关.为初始体重.解得,分析：1.理论上增重，减肥都是可能的，因为当 时，调节a与b可得到你所愿望的那个值近代科技发展表明新陈代谢也是可调节的，但如何调节a，b要靠医生、营养师、生物学家等一起来做,同时可以看出，通过减小 a 或增大 b 可达减肥目的,(1)减小,即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食物，如糖、冰淇淋等）,(2)增大,即增加运动量可减轻体重,反之，通过增大 a 或减小b 可达增肥目的即“多吃少动，易肥胖”,美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥,2.只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不行的，因为A=B使得a=0，要导致死亡,3.只吃不活动也不行，因为这时b=0，.说明要得肥胖症，很危险，也要导致死亡（当然体重不会无限变大）,4.举重运动员控制体重数学问题：已知，要达到的值为，其期限为t，求a，b的最佳组合，使 成立但解决这个问题还要靠教练，医生与运动员,4.2 为什么要用三级火箭发射人造卫星,问题提出,随着科学技术的不断发展，多级火箭早已取代了原始的早期火箭的框架，可为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？建立数学模型解决这个问题.,一些关于火箭的图片,发动机的功力火箭的结构外型涉及到强度与阻力火箭的控制系统,运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的因素：,问题分析,（1）我们考虑卫星的运行速度、火箭的推力和火箭与卫星的质量.,假设：,（3）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动.,（4）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计.,（2）火箭的结构、外形与控制等问题能满足保 证火箭正常运行的需要.,设卫星质量是m,地球质量是M,地球对卫星的引力:,在地面有:,故引力:,卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力,故又有:,1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?,（1）卫星能在轨道上运动的最低速度,设g=9.8m/s2，,（2）火箭推进力及速度的分析,假设：将火箭简化为燃料仓+发动机，空气阻力不计,记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为m(t)和v(t),火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），,由动量守恒定理：,v0和m0一定，火箭速度v(t)由喷发速度u及质量比决定,由此解得：,现将火箭卫星系统的质量分成三部分：,（1）mP（有效负载，如卫星）（2）mF（燃料质量）（3）mS（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）,最终质量为mP+mS，初始速度为0，所以末速度：,根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过6.6公里/秒。目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星,火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少，那么末速度能达到要求吗？,2、理想火箭模型,得到：,解得：,由动量守恒定理：,喷出气体动量,丢弃的结构部分的动量,记结构质量mS在mS+mF中占的比例为，假设火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以 与 的比例同时减少.,理想火箭与一级火箭最大区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，最终质量为mP，,所以最终速度为：,只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。,考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使v=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/mp约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭,3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统,记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载,为简单起见，先作如下假设：,（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为k,（i）设各级火箭具有相同的,即i级火箭中 为结构质量，为燃料质量.,考虑二级火箭：,其末速度为：,当第二级火箭燃尽时，末速度为：,第二级火箭点火.,由中情形(2)的分析，,当第一级火箭燃烧完时,又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式并仍设u=3km/s，且为了计算方便，近似取=0.1，可得：,要使v2=10.5公里/秒，则应使:,即k11.2，而:,类似地，可以推算出三级火箭：,在同样假设下:,要使3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP77。,是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。,考虑n级火箭：,记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见下表,由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。,当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。,4、火箭结构的优化设计,将3中的假设(ii)去掉，在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。,应用（*）可求得末速度：,记,则,又,问题化为，在n一定的条件下，求使k1 k2kn最小,解条件极值问题：,或等价地求解无约束极值问题：,可以解出最优结构设计应满足：,火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！,附：不采用4级火箭的原因,1：多级火箭采用发动机与1、2级火箭不同，级数越多，要求的技术越高。2：需要解决发动机的高空启动技术。3：发射时的故障率以级数成几何增长。例子：长征3号火箭一共发射12次，其中，第1、8、11次失败，原因就是第3级火箭的发动机发动失败及出现故障。,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长 本节将建立简单的人口增长模型，以简略分析一下这方面的问题.一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究,美丽的大自然,人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的,离散化为连续，方便研究,4.3 人口增长模型,、问题的提出 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首.人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长.、建模准备 资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）近一千年人口统计比较精细看下图,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日,模型假设,人口自然增长率 r（r=b-d,b为出生率，d为死亡率）为常数即：单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比,模型建立,1.指数增长模型(Malthus 模型),三、建立模型,马尔萨斯(Malthus 1766-1834)是英国的人口学家他根据百余年的人口统计资料,于1798年提出著名的人口指数增长模型.,x(t)时刻t的人口，,模型分析,人口将按指数规律无限增长！,人口将始终保持不变！,人口将按指数规律减少至绝灭！,模型求解,马尔萨斯模型的一个显著特点：人口数量翻一番所需的时间是固定的,令人口数量翻一番所需的时间为T，则有：,人口倍增时间,模型分析,将t以年为单位离散化，模型表明人口以 为公比的几何级数增长,所以可用近似关系,指数增长模型离散化的近似表示,因为这时r表示年增长率,通常,比较历年的人口统计资料，十九世纪以前的欧洲人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马尔萨斯模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。但后人用他与十九世纪许多国家的人口资料比较时发现与实际人口有相当大的差异。,模型检验,Malthus模型预测美国人口,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。因此随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显,优点,短期预报比较准确,缺点,不适合中长期预报,原因,预报时假设人口增长率 r 为常数没有考虑环境对人口增长的制约作用,模型评价,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,2.阻滞增长模型(Logistic模型),在马尔萨斯后，荷兰生物学家威赫尔斯特（Verhulst）提出一个新的假设：人口的净增长率r随着人口 的增加而减少,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,模型假设,人口净增长率 r(t)是 x(t)的线性减函数.,xm 为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量,（称最大人口容量）.,当 时净增长率趋于零.,模型建立,阻滞增长模型(Logistic模型),模型求解,模型分析（定性分析）,人口将递减并趋于xm！,人口将始终保持xm不变！,人口将递增并趋于xm！,无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),人口总数达到人口最大容量xm一半以前加速增长，过了该点以后，增长率r逐渐减小，并且趋于零.,tm,人口增长最快点,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),优点,中期预报比较准确,缺点,理论上很好，实用性不强,原因,预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 xm 为定值,实际上这两个参数（特别是 xm）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化,模型评价,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为模拟近似方程前一模型假设了种群增长率r为一常数（r称为该种群的内增长率）后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符相符性越好则模拟得越好，否则找出不相符的主要原因，对模型进行修改,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究人口增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可,一、问题的提出 第一次世界大战期间，战争给 人们带来了许多灾难一场战争的结 局怎样，是人们关心的问题，同样也 引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争 的胜负吗？兰彻斯特(F.W.Lanchester)首先提出了 一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模 型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些 著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战 和1975年结束的越南战争Lanchester作战模型虽 然比较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究 社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例,4.4 战争模型,分析：影响战争的因素：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等.抓主要矛盾：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术.若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题.,问题：两军对垒，甲军有m个士兵，乙军有n个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局.,战争模型,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t),v(t),x(t)甲方兵力，y(t)乙方兵力,模型假设,用f(x,y)表示甲方的战斗减员率，g(x,y)表示乙方的战斗减员率.,一般模型,f,g 取决于战争类型,x(t)甲方兵力，y(t)乙方兵力,模型,下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f、g的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素.,正规战争模型,双方均以正规部队作战,先分析甲方的战斗减员率f(x,y).由于甲方士兵的活动是公开的，当一个甲方士兵被杀伤，乙方的火力立即集中到其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，简单地假设f与y成正比：f=ay，a表示乙方每个士兵对甲方士兵的杀伤率(单位时间的杀伤数)，称乙方的战斗有效系数.a可进一步分解为a=ry py，其中ry是乙方的射击率(每个士兵单位时间内的射击次数)，py是每次射击的命中率.类似地有g=bx,b=rxpx.,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py,ry 射击率，py 命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,分析某一方，譬如乙方，取胜的条件.由平方率模型知乙方获胜的条件是(y0/x0)2 b/a=rxpx/(rypy),这说明双方初始兵力之比以平方关系影响战争结局.例如，当甲方兵力不变，乙方的兵力增加到原来的2倍，则乙方影响战争结局的能力增加到原来的4倍.或者说，若甲方的战斗力譬如射击率rx增加到原来的4倍(px,ry,py)均不变，则为了与此抗衡，乙方须将初始兵力增加到原来的2倍.,这正是两军作战时Lanchester平方定律的意义,说明兵员增加战斗力大大加强.,现在，解决开始所提的问题.问题：两军对垒，甲军有m 个士兵，乙军有n个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局.,存在时刻T，,因此，甲军胜利，乙军失败.,即甲军战死13人，乙军50人全军覆灭.,当y(T)=0 时，,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方士兵在乙方士兵看不到的面积为sx的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况.这时甲方战斗减员率不但与乙方兵力有关，而且随甲方兵力的增加而增加.这样可假设f=cxy，且乙方战斗有效系数c可表为c=rysry/sx，其中ry仍为射击率，而命中率py等于乙方一次射击的有效面积sry与甲方活动面积sx之比.类似地有g=dxy,d=rxpx=rxsrx/sy.,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x,y)=cxy,c 乙方每个士兵的杀伤率,c=ry pyry射击率py 命中率,游击战争模型,线性律 模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=0.1(km2),sry=1(m2),此模型曾用于分析越南战争，乙方为美国.根据类似于以上的计算及上一世纪四五十年代发生在马来亚、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要取胜至少要投入8倍于游击部队的兵力，而美国最多只能派出6倍于越南的兵力，越南战争最后以美国失败告终.,模型评论,最象牙塔的数学理论研究，却与人类的生死存亡密切相关，每个微分方程竟然直接透着如此浓厚的火药与血腥气味！所有模型的检验都是人们不愿意看到的，更不会刻意为了检验模型而投入“战斗”事实上，模型的检验大多是通过战后（敌我）资料反思获得验证！,硫黄岛战役 J.H.Engel用二次大战末期美日硫黄岛战役中美军的战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合很好.,模型检验,附录 硫磺岛战役 硫磺岛是太平洋上一座由火山熔岩冷却后形成的火山岛，地形起伏，沟壑纵横，熔洞密布，悬崖峭壁临海高耸从高空俯瞰，20余平方公里大小的硫磺岛像一只砍去双腿，又被拔光毛的火鸡，火鸡头位于岛的西南端，高度168米的摺钵山雄踞鸡头，是全岛制高点，一个鸡嘴状的岬角一直伸进滚滚波涛中北部从鸡背一直到东北部鸡尾部分，是一片错落起伏的高地，由一系列小山岗和陡峭的峡谷构成小山岗高程大多百米左右，地形复杂，可伏重兵南部鸡脖子和鸡胸部位，地势低平，有一小片被梯状台地逼住的海滩，勉强可作登陆场除此以外，全岛没有任何可供船舶停靠的锚地或港湾,硫磺岛虽是弹丸小岛，却处在战略要津它正当东京与美军新占领的塞班岛之间，距二地各约1200公里美军占领塞班岛以后，一直以塞班岛为基地空袭东京但因硫磺岛的报警作用，美军对东京的空袭一直效果不佳驻硫磺岛的日军战斗机还不时升空拦截，冲散美国机群为总攻日本，美军势必要夺占硫磺岛而为东京安全，日军也势必要死守硫磺岛结果，这座杳无人迹的小小火山岛，在太平洋战争后期，就成为日美必争之地,美军在控制菲律宾后，于1945年1月3日开始，对硫磺岛实施轰炸 2月16日开始硫磺岛战役，美军出动舰艇200多艘次，飞机400多架次，对硫磺岛日军3个机场和滩头阵地进行炮击和轰炸 19日，美海军陆战第4师和第5师在600多架次飞机和舰炮火力掩护下，以250多艘登陆艇和500多辆水陆坦克、装甲车组成5个登陆波，在硫磺岛东南部登陆经过两周激战，残余的3000多日军退进山洞死守 3月8日，日军师团长栗原中将与800余名残兵在山洞内集体自杀 此战役日军被击毙2.2万人，被俘1000人；美军为攻占该岛阵亡7000人，负伤1.9万人,二战结束60周年之际,美军老兵在硫磺岛纪念阵亡将士.,二战结束60周年之际,日本总统小泉在硫磺岛祭奠亡灵.,传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。,4.5 传染病模型,医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,将传染病流行范围内的人群分成三类：,R类：移出者（Removal），指被隔离，或具有免疫力的人。他们既非感病者，也非易感者，实际上他们退出了传染病系统,S类：易感者（Susceptible），指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染；,I类：感病者（Infective），指染上传染病的人；,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为，称为该疾病的传染强度,模型1,假设,建模,?,此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染.,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 分别为,2）每个病人每天能传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为,建模,传染强度,SI 模型,模型2,i(t)t曲线如下图,t=T,di/dt 最大,T传染病高潮到来时刻,(传染强度)T,模型2,病人可以治愈！,?,最终人人都将被传染，与实际情况不符,模型3,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的人数分别为,2）传染病的传染强度,建模,需建立 的方程,3）每天治愈的人数与当时病人数成正比，比例系数（治愈系数）.,模型3,SIR模型,其中 通常是一个与疾病种类有关的较大的常数.,下面对 进行讨论,如果，则有，此疾病在该地区根本流行不起来.,如果，则开始时，i(t)单增但在i(t)增加同时，伴随地有s(t)单减.当s(t)减少到小于等于 时，i(t)开始减小，直至此疾病在该地区消失.,鉴于在本模型中的作用，被医生们称为此疾病在该地区的阈值 的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人,综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：,（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阈值时，疾病才会流传起来。,（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。,（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。,模型的应用,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(传染强度)卫生水平,(治愈系数)医疗水平,传染病不蔓延的条件s0,的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值(=/),模型4,传染病有潜伏期,SEIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为,2）传染强度,治愈系数,建模,建立 方程,3）单位时间内潜伏者以比例常数 转为染 病者,模型4,SEIR模型,在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题.根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）.,房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布,4.6 药物在体内的分布与排除,药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计,药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学,建立房室模型药物动力学的基本步骤,房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移,本节分别讨论单房室和二室模型,单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：,假设药物均匀分布,*药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：,情况1 快速静脉注射,在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：,其解为：,药物的浓度：,易见：,情况2 恒速静脉点滴,药物似恒速点滴方式进入体内，即:,则体内药物总量满足：,（x(0)=0）,这是一个一阶常系数线性方程，其解为：,或,易见：,情形3 口服药或肌注,口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中于身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为k1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足：,因而：,所以：,解得：,三种常见给药方式下的血药浓度C(t),由三种情况下体内血药浓度的变化曲线可看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）.,我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案.,以下再讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),上述是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型,右图表示的是一种常见的两房室模型，其间的k12表示由室I渗透到室II的变化率前的系数，而k21则表示由室II返回室I的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况,当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房室系统，即N房室系统,I中心室(心、肺、肾等)和II周边室(四肢、肌肉等),模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程通解,模型建立,几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t)和初始条件,2.恒速静脉滴注,t T,c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零,3.口服或肌肉注射,相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室,吸收室药量x0(t),以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水深为300英尺的海里,1 问题（这是一场笔墨官司）:,生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？,美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）,又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？,美国原子能委员会：决不会,4.7 放射性核废料处理问题,圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？,若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂,这几位工程师通过大量的实验证明:,通过建立数学模型来解决这一问题,一些参数及假设：,假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即,受力分析：,2 建模与求解,根据牛顿第二定理,可解得：,极限速度为：,如果极限速度不超过40英尺/秒，那么工程师们可以罢休了。然而事实上，和40英/秒的承受能力相比，实际极限速度竞是如此之大，使我们不得不开始相信，工程师们也许是对的。,由于,代入：,为了求出圆桶与海底的碰撞速度，首先必须求出圆桶的下沉时间t,然而要做到这一点却是比较困难的。为此，我们改变讨论方法，将速度 v 表示成下沉深度 y 的函数v(y)，,其解为：,仍未解出 v 是 y 的显函数。,由近似公式,3 结论：,若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。,这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。工程师们的猜测是正确的，他们打赢了这场官司。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。,我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。,经济学家和社会学家早就关心新产品的推销速度问题怎样建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果以指导生产呢？下面看一下第二次世界大战后日本家用电器业界建立的电饭锅销售模型,记时刻 t 已售出的电饭锅总数为 x(t),由于使用方便，己在使用的电饭锅实际上在起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客，可以假设每一电饭锅在单位时间内平均吸引k个顾客,4.8 新产品的推销与广告,模型1,新产品推销模型,（1）若取 t=0 为新产品诞生时刻，则x(0)=0.,这一结果显然与事实不符，这是因为模型只考虑了实物广告的作用，忽略了厂方可以通过其他方式宣传新产品从而打开销路.,模型建立,模型分析,Malthus模型,（2）若通过努力己有 数量的产品投入使用，则调查情况表明实际销售量x(t)在开始阶段的增长情况与模型十分相符.,但这也与事实不符.,实际上 x(t)是有上界的，因为一般讲每户只需购买12只电饭锅就够了.,模型1,(1)设需求量x(t)有一个上界，并记此上界为 K,则尚未使用的人数大致为,模型2,(2)单位时间的需求量与未使用的人数成正比,比例系数为k.,假设,模型建立,Logistic 模型,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,模型2,t0,模型分析,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度将开始下降实际调查表明，销售曲线与Logistic曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合 美国和其它一些国家的经济学家也作了大量的社会调查，并建立了完全相同的模型,模型分析与应用,基于对图中曲线形状的分析，国外普遍认为：初期应采取小批量生产并加以广告宣传，从20%用户采用到80%用户采用某一新产品这段时期，应为该产品正式大批量生产的较合适的时期，后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果,无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视。商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要.下面研究两个广告模型,广告模型,假设（1）商品的销售速度会因作广告而增加，但增加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采取哪种形式作广告，都不能阻止销售速度的下降.（2）自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减少.（3）设S(t)为 t 时刻商品销售速度；M为销售饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上限，为衰减因子(广告作用随时间增加而自然衰减的速度)，0是常数；A(t)为 t 时刻广告水平（以费用表示）.,独家销售的广告模型,由方程可以看出，当S 或当(t)=0时，都有,模型建立,其中 p 为响应系数，即 A(t)对 S(t)的影响力，p为常数.,模型求解,假设选择如下广告策略：,在 时间内，用于广告花费为,模型,广告策略：,模型,广告策略：,模型分析与应用,2在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度的水平时，增加广告所取得的效果更显著.,1生产企业若保持稳定销售，即，那么我们可以根据模型估计采用广告水平A(t)，即由,模型分析与应用,使用时，直接