第3章 图形变换.ppt

第3章 图形变换,图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的几何图形。图形变换既可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化；也可以看作图形不动而坐标系变动，变动后，该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，这两种情况本质上是一样的。图形变换归结为对组成图形的点集坐标的变换。编辑修改、从各种视角观察几何实体，动画仿真、装配等操作都是通过坐标点的平移、比例、旋转、镜射和错切等的几何变换实现的,本章介绍二维、三维基本几何变换以及投影变换。,3.1 点的矩阵表示3.2二维图形的基本变换3.3 二维齐次坐标和齐次变换矩阵3.4二维图形的组合变换 3.5三维图形的变换3.6三维图形的投影变换,3.1 点的矩阵表示,在二维空间中，用坐标 表示平面上的一点。为了便于进行各种变换运算，通常把二维空间中的点表示成21列矩阵或者表示成12行矩阵。即,3.1.1 点的矩阵表示,3.1.2 二维图形的矩阵表示,点是构成图形的最基本要素。一个三维实体可以看成是由若干个面围成的，而面则是由线围成的，一条曲线可以看作是由许多短直线段拟合而成，一条直线则是由两个端点连接而成的。所以，一般情况下，可以认为图形是一个点集。因此，图形实体的变换实际上就是点集的变换，而点的几何变换则是图形变换的基础。点是构成图形的最基本要素，可用点的集合（简称点集）来表示一个二维图形，其矩阵的形式为：,3.2 二维图形的基本变换,在计算机绘图中，常常要对图形进行比例、镜射、旋转、平移、投影等各种变换，既然图形可以用点集来表示，那么，二维图形的基本变换就可以通过点集的变换来实现。点的位置改变了，图形就会随之改变。即：旧点（集）变换矩阵 新点（集）,3.2.1 平移变换,平移是指点从一个位置移动到另一个位置的直线移动，即点。令X、Y轴方向的偏移量分别为l和m，则或 平移变换如图3.1所示，图中实线图形框为原始位置，虚线图形框为沿X轴平移 和沿Y轴平移 所到达的位置。,图3.1 平移变换,3.2.2 比例变换,设a和d分别为X、Y轴方向的缩放比例系数。则点 的变换为 或 式中，称为比例变换矩阵。,比例变换如图3.2所示，图中实线图形框为原始图形，虚线图形框放大2倍后的图形。比例因子a和d分别取不同的值（a，d0）将获得不同的变换结果：恒等变换：，变换后点的坐标不变。等比变换：，当 时，变换后图形等比例放大，如图3.2所示。当 时，变换后图形等比例缩小。,图3.2 比例变换（等比例变换）,若，变换后图形产生畸变。如取，则变换 矩阵为，图形框的变换为 变换后的图形如图3.3所示，图中虚线框为变换后的图形。,图3.3 不等比例变换,3.2.3 旋转变换,设点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转 角，则点 的变换为或 式中，称其旋转变换矩阵。,?,3.2.4 镜射变换,镜射变换即产生图形的镜像，用来计算镜射图形，也称为对称变换。包括对于坐标轴、坐标原点、45直线和任意直线的镜射变换。1.对X轴的镜射变换对X轴的镜射变换应有，即变换矩阵为：T=，变换结果如下图所示。,对X轴的镜射变换,2.对Y轴的镜射变换，即 变换矩阵为，变换结果如下图所示。,对Y轴的镜射变换,3.对原点的镜射变换，即变换矩阵为：镜射变换结果如下图所示。,对原点的镜射变换,图3.4 镜射变换,4.对45线的镜射变换（1）对+45线的镜射对+45线的镜射应有：,其镜射变换为则变换矩阵为：，镜射变换结果如图3.5所示。（2）对-45线的镜射变换对-45线镜射，即则变换矩阵为：，对-45线的镜射变换结果如图3.5所示。,3.2.5 错切变换,错切用于描述受到扭曲、剪切后的几何体形状。在沿X轴的错切变换中，y坐标不变，x坐标有一增量。变换后原来平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。而在沿Y轴的错切变换中，x坐标不变，y坐标有一增量。变换后原来平行于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。式中，为错切变换矩阵，其中c和b不同时为0。,1.沿X轴向错切令错切变换矩阵 中的b=0，且c0，其变换就是沿X轴方向的错切。即当 时，错切沿着X轴的正向；当 时，错切沿着X轴的负向。错切直线与X轴的夹角为如果设，对图3.6（a）中的方形图框进行错切变换，有,沿X 轴方向错切变换的结果如下图所示：,2.沿Y轴向错切令错切变换矩阵 中的c=0，且b0，其变换就是沿Y轴方向的错切。即当 时，错切沿着Y轴的正向；当 时，错切沿着Y轴的负向。错切直线与Y轴的夹角为如果设，对图3.6（a）中的方形图框进行错切变换，有,沿Y轴方向错切变换的结果如下图所示,Y,图3.6 错切变换,注意，上面介绍的错切变换的错切方向是指第 象限而言，其余象限的点的错切方向应做相应的改变。,3.3 二维齐次坐标和齐次变换矩阵,3.3.1 二维齐次坐标,前面我们已经介绍了五种基本变换，除了平移变换以外，其余四种变换的系数都可以用一个22矩阵来表示，即。变换矩阵中a、b、c、d为变换比例因子，它们取值不同，可以实现各种不同变换。为了使格式统一，现在研究平移变换的系数矩阵。如前面所设，令X、Y轴方向的偏移量分别为l和m，考虑到上面的22变换矩阵，进一步推导平移变换：,为了统一，可以将二维基本变换矩阵的形式由22阶矩阵扩充成一个32阶矩阵，即,这样以来又出现了一个新的问题，即二维图形的点集矩阵是n2阶，而变换矩阵是32阶，二者无法相乘，不能进行图形变换运算。为此，引入齐次坐标的概念。,其系数矩阵应为。,如果,齐次坐标是将一个n维空间点用n+1维坐标，即附加一个坐标来表示。如二维点 的齐次坐标通常用三维坐标 表示，三维点 的齐次坐标通常用四维坐标 表示等。在齐次坐标中，附加的坐标h称为比例因子，由于h的取值是任意的，任何一个点可用许多组齐次坐标来表示，如二维点 可表示为 等。当h=1时，点的表示方法称为齐次坐标的规范化形式。,补充 点的齐次坐标表示,C(3,2),D(1,2),A(1,1),B(3,1),下图所示的四边形ABCD用齐次坐标可表示为：,采用齐次坐标表示点主要有以下两个优点：（1）它为几何图形的二维、三维甚至高维空间的坐标变换提供了统一的矩阵运算方法，并可以方便地将它们组合在一起进行组合变换。（2）对于无穷远点的处理比较方便。例如，对于二维的齐次坐标，当 时，表示直线 上的连续点 逐渐趋近于无穷点。在三维情况下，可以利用齐次坐标表示点在世界坐标系原点时的投影变换。,通过二维点的齐次坐标表示，把二维图形的点集矩阵扩充为n3阶矩阵。这样，点集矩阵就可以同变换矩阵进行乘法运算了：,3.3.2 二维齐次变换矩阵,为了使二维变换矩阵具有更多的功能，可将32阶变换矩阵进一步扩充为33阶矩阵，即这个33阶矩阵中各元素的功能和几何意义各不相同，可以分割成四块：,12阶矩阵 可以实现图形的平移变换；21阶矩阵 可以实现图形的透视变换；而 可以实现图形的全比例变换。,其中，22阶矩阵 可以实现图形的比例、镜射、错切、旋转等变换；,关于二维齐次坐标点集与齐次变换矩阵的变换运算可以查阅P41 表3.1,3.4 二维图形的组合变换,有些变换仅用一种基本变换是不能实现的，必须有两种或多种基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。组合变换的目的是对一个点进行一次性变换，使得变换的效率更高。1.绕任意点旋转变换 平面图形绕任意点p（x*，y*）逆时针旋转角，需要通过以下几个步骤来实现：（1）将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：,（2）将图形绕坐标系原点逆时针旋转角，变换矩阵为：,（3）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为：,因此，绕任意点的旋转变换矩阵为：,例 1,写出下面平面图形绕A点逆时针旋转90的变换矩阵及结果。,答：1）各点坐标为：A（1,1），B（1,2），C（3,1）2）此变换为二维组合变换。先将图形平移，将A点与原点重合，其变换矩阵为,3）将三角形ABC绕A点逆时针旋转90度，其变换矩阵为,4）再将图形平移回原位，其变换矩阵为,5）因此，绕A点的旋转变换矩阵为,6）旋转变换后的结果为,所以新点坐标为：A（1,1），B（0,1），C（1,3）,例2,写出下面平面图形绕A点逆时针旋转90的变换矩阵及结果。,答：1）各点坐标为：A（1,1），B（1,2），C（2,2），D（2,1）2）此变换为二维组合变换。先将图形平移，将A点与原点重合，其变换矩阵为,3）将正方形ABCD绕A点逆时针旋转90度，其变换矩阵为,4）再将图形平移回原位，其变换矩阵为,5）因此，绕A点的旋转变换矩阵为,6）旋转变换后的结果为,所以新点坐标为：A（1,1），B（0,1），C（0,2）,D（1,2）,例3,如下图所示，将矩形ABCD绕C点逆时针旋转30度。（说明：写出各点坐标，列出变换矩阵，计算出新点坐标）,答：1）各点坐标为：A（1,2），B（2,2），C（2,1），D（1,1）2）此变换为二维组合变换。先将图形平移，将C点与原点重合，其变换矩阵为,3）将矩形ABCD绕C旋转+30度，其变换矩阵为,4）再将图形平移回原位，其变换矩阵为,5）因此，绕C点的旋转变换矩阵为：,6）旋转变换后的结果为,所以新点坐标为：A（），B（），C（）,D（）,例4,如下图所示，将三角形ABC绕P（2,1）逆时针旋转30度。（请写出各点坐标、列出变换矩阵、计算出新点坐标。）,答：1）各点坐标为：A（1,2），B（2,2），C（1,1）2）此题为二维组合变换。先将图形平移，将P点与原点O重合，变换矩阵为,3）将三角形ABC的各点绕P旋转30度，其变换矩阵为,4）再将图形平移回原位，其变换矩阵为,5）因此，绕P点的旋转变换矩阵为：,6）旋转变换后的结果为：,2.对任意直线的镜射变换 基本变换中的镜射变换适用于通过坐标原点的任意直线。如果直线不通过原点，则首先将该直线平移，使其过原点，然后再沿用基本的镜射变换，即可求得相对于任意直线的镜射变换矩阵。设任意直线的方程为：Ax+By+C=0，直线在x轴和y轴上的截距分别为-C/A和-C/B，直线与x轴的夹角为，=arctan（-A/B）。如图3.7所示，对任意直线的镜射变换可由以下几个步骤来完成：,（1）平移直线，沿x方向将直线平移，使其通过原点（也可以沿y方向平移），其变换矩阵为：,（2）绕原点旋转，使直线与x坐标轴重合（也可以与y轴重合），变换矩阵如下：,（3）对于x轴进行镜射变换，其变换矩阵为：,（4）绕原点旋转，使直线回到原来与x轴成角的位置，变换矩阵为：,（5）平移直线，使其回到原来位置，变换矩阵为：,通过以上五个步骤，即可实现图形对任意直线的镜射变换。其组合变换如下：,例：求某平面图形对直线x+y+1=0的镜射变换矩阵,由直线方程x+y+1=0知直线在x轴和y轴上的截距均为-1，直线与x轴的夹角为，=arctan（-1）=135。对直线x+y+1=0的镜射变换可由以下几个步骤来完成：（1）平移直线，沿x方向将直线平移，使其通过原点（也可以沿y方向平移），其变换矩阵为：（2）绕原点旋转，使直线与x坐标轴重合（也可以与y轴重合），变换矩阵如下：,（3）对于x轴进行镜射变换，其变换矩阵为：,（4）绕原点旋转，使直线回到原来与x轴成角的位置，变换矩阵为：,（5）平移直线，使其回到原来位置，变换矩阵为：,通过以上五个步骤，即可实现图形对直线x+y+1=0的镜射变换。其组合变换如下：,3.组合变换顺序对图形的影响通过上面的变换可以看出，组合变换是通过基本变换的组合而成的，点或点集的多次变换可以一次完成，这要比逐次进行变换效率高。由于矩阵的乘法不符合交换律，即：ABBA，因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同。图3.8、图3.9显示了对T字图形进行不同顺序的基本变换的组合变换结果，图中数字表示图形变换的先后顺序。,3.5三维图形的变换,3.5.1 三维基本变换矩阵,三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，在齐次坐标系，二维变换可以用33阶矩阵表示，三维变换可以用44阶矩阵表示。三维点为，它的齐次坐标为。三维变换矩阵则用44阶矩阵表示，同样可以把三维基本变换矩阵划分为四块：,即,三维基本变换矩阵中各子矩阵块的几何意义如下：产生比例、镜射、错切、旋转等基本变换。产生平移变换 产生透视变换 产生全比例变换,由此可见，三维平移变换需要定义三个平移矢量，旋转变换需要定义三个旋转角度，比例变换需要定义三个比例因子而错切变换则涉及到 六个参数。,例 1：,写出三维基本变换矩阵，指出产生比例、镜射、错切、旋转、平移等基本变化各子矩阵块。,答：,产生比例、镜射、错切、旋转等基本变换；,产生平移变换。,3.5.2 三维基本变换,1、平移变换平移变换是使立体在三维空间移动位置而形状保持不变的变换。将空间一点（x，y，z）平移一个新的位置（x*，y*，z*）,即点令X、Y、Z轴方向的偏移量分别为。则,所以三维平移变换矩阵为：,齐次坐标的规范化形式,例,将一个三维实体沿X轴移动20mm，Y轴移动50mm，Z轴移动120mm，写出其基本变换矩阵。,答：l=20mm,m=50mm,n=120mm,所以三维基本变换矩阵为：,2、旋转变换三维旋转变换是将空间立体绕坐标轴旋转角度的变化。角的正负按右手定则确定：右手大拇指指向旋转轴的正向，其余四个手指的指向即为角的正向。三维旋转变换可分为绕坐标轴旋转变换和绕任意轴的旋转变换。可以把三维旋转变换看成是三个绕X，Y，Z轴的二维旋转变换，旋转变换方法与二维相似，但三维旋转变换要比二维复杂得多。三维旋转变换矩阵如下：（1）绕X轴旋转角空间立体绕X轴旋转角后，各顶点的x坐标不变，只是y和z坐标发生变化，即,?,称为绕X轴旋转角的变换矩阵。,（2）绕Y轴旋转角空间立体绕Y轴旋转角后，各顶点的y坐标不变，只是x和z坐标发生变化，即,称为绕Y轴旋转角的变换矩阵。,（3）绕Z轴旋转角的变换矩阵为：,空间立体绕Z轴旋转角后，各顶点的z坐标不变，只是x和y坐标发生变化，即,称为绕Z轴旋转角的变换矩阵。,几何形体分别绕X，Y，Z轴旋转90的变换结果如图3.10所示。,例,某一空间立体绕X轴旋转45，请写出三维旋转变换矩阵。,答：,3、比例变换,空间立体顶点的坐标按规定比例放大或缩小的变换称为三维比例变换。假设空间立体沿x,y,z坐标方向的比例因子分别为a、e、j，则变换后各顶点坐标为：,当a=e=j1时图形将等比例放大；当a=e=j1时图形将等比例缩小。由此可见，三维基本变换矩阵左上角的33矩阵的主对角线上的元素a，e，j的作用是使几何体产生比例变换。,称为相对于坐标原点的三维比例变换矩阵。,现在我们令三维基本变换矩阵T中主对角线元素a=e=j=1，非主对角线元素为0，则变换矩阵为：,变换后各点的坐标为：,由此可见，元素s可使整个图形按相同的比例放大或缩小。当s1时，图形等比例缩小；当0s1时图形等比例放大。,4、镜射变换,三维镜射变换包括对原点、对坐标轴和对坐标平面的镜射。在此仅讨论常用的对坐标平面的对称变换。（1）对XOY平面的镜射变换对XOY平面的镜射变换应有,因此对XOY平面的镜射变换矩阵为：,（2）对XOZ平面的镜射变换,对XOZ平面的镜射变换应有,因此对XOZ平面的镜射变换矩阵为：,（3）对YOZ平面的镜射变换,对YOZ平面的镜射变换应有,因此对XOZ平面的镜射变换矩阵为：,5、错切变换,错切变换是指三维立体沿X，Y，Z三个方向产生错切变形的变换。错切变换是画斜轴测图的基础，其变换矩阵为：,从上面变换可以看出，一个坐标的变化受到另外两个坐标变化的影响。其中d,h为沿x方向的错切系数；b,i为沿y方向的错切系数；c,f为沿z方向的错切系数。各种错切参数的选取如下：沿X含Y错切：沿X含Z错切：沿Y含X错切：沿Y含Z错切：沿Z含X错切：沿Z含Y错切：,3.5.3 三维基本变换矩阵的组合,与二维组合变换一样，通过对三维基本变换矩阵的组合，可以实现对三维几何体的复杂变换。现在用三维组合变换方法来解决绕任意轴旋转变换问题，首先设一条空间一般位置直线作为旋转轴，以下称为旋转轴直线，该直线的开始端点坐标为，方向余弦为 空间一点 绕该直线旋转角到点，即,式中 为绕任意轴的旋转变换矩阵，它是由基本变换矩阵组合而成，矩阵 的求解步骤如下：1）将点P1与作为旋转轴的直线一起平移，让旋转直线通过原点，并且该直线的端点与原点重合，其变换矩阵为：,2）旋转轴直线先绕X轴旋转角，使其与XOZ平面共面，如图3.11（a）所示。然后再绕Y轴旋转角，使其与Z轴重合，如图3.11（b）所示。其变换矩阵为：,X,Y,Z,N,M,O,（a）绕X轴旋转角,X,Y,Z,图3.11 旋转轴直线旋转变换,O,（b）绕Y轴旋转角,X,Y,Z,N,M,O,（a）绕X轴旋转角,由图3.11（a）可知,图中的矢量ON为旋转轴直线，定义ON为单位矢量，,X,Y,Z,O,（b）绕Y轴旋转角,图3.11 旋转轴直线旋转变换,由图3.11（b）可知,代入步骤2）的旋转变换矩阵中，得,3）将P1点绕Z轴（此时，旋转轴直线与Z轴重合）旋转角，变换矩阵为,4）做步骤2）的逆变换，将旋转轴直线旋转回到原来的位置，变换矩阵为,5）做步骤1）的逆变换，将旋转轴直线平移回到原来的位置，变换矩阵为,上述五步连起来，就组成了绕任意轴的旋转变换矩阵，即,投影是把空间几何形体投射到投影面上而得到平面图形。三维投影是由投影中心发射的多条投影射线通过几何形体上的每一个点，最后交于投影平面上，从而构成了三维几何形体的投影。一般情况下，三维直线段经过投影以后，仍然是直线段，直线段的投影变换实际上就是对直线段的两个端点的投影变换。因此，几何形体（可用点集表示）的投影变换也就是点集的投影变换。,3.6 三维图形的投影变换,平行投影与透视投影不同之处就在于投影中心（光源）、被投影的几何体、投影平面三者之间的位置关系不同。当光源距离被投影的几何体有限远时，从光源发出的射线发散，投影到投影平面上的图形被放大。图形本身各点也因同投影中心的远近不同而投影平面上产生变形，从而呈现较强的立体感。而当光源距离几何形无限远时，可以把光线看成是相互平行的，投影到平面上的图形反映几何形体的实形和实长，但投影图形缺少立体感。在工程设计中，产品的几何模型通常需要从各种角度将三维几何形体投影到平面上，用平面图来描述，即用二维图形表达三维几何体。其中除了三视图（即正投影）比较容易绘制外，其他投影实现起来比较困难。常用的投影法有正投影、正等测和透视投影。,3.6.1 平行投影变换,1.正投影变换 因为几何形体的一个投影不能确定其空间状态，为了准确地表达几何形体，将几何形体放在由三个相互垂直的投影面中，三个投影面两两相交，互相垂直，其三条交线形成坐标轴，也是投影方向。正投影就是利用这三个独立的二维投影图来表示一个三维几何形体。正投影变换的方法可以形成三面视图，图3.12表示物体与三个投影平面（XOZ，XOY，ZOY）的相对位置关系。,图3.12 三视图投影,由正投影变换得到的三个投影图（三视图）需要放在一个平面上，如绘图机输出、屏幕显示等。因此，需要将三个投影图再进一步变换到同一平面上。变换的方法是XOZ面不动，将XOY面绕OX轴顺时针旋转90，再将ZOY面绕OZ轴逆时针旋转90，这样就在一个平面内得到几何形体的三个投影图。,（1）正面投影将物体向正面（XOZ面）投影，即点在XOZ面上投影的坐标变换为：,因此将物体向XOZ面投影的变换矩阵为：,点在XOZ面上投影的坐标变换为,（2）水平面投影将物体向水平面（XOY面）投影，即,因此点在XOY面上投影的坐标为：,然后将所得到的投影再绕X轴顺时针旋转90，使其与XOZ面共面，再沿负Z方向平移一段距离，以使XOY面投影和XOZ面投影之间保持一段距离。,（3）侧面投影将物体向侧面（ZOY面）作正投影，即,然后绕Z轴逆时针转90，使其与XOZ面共面，为保证与正面投影有一段距离，再沿负X方向平移一段距离，这样即得到侧视图。,因此点在ZOY面上投影的坐标为：,由上所述，我们可以看到，三个视图中 均为0，这是由于变换后，三个视图均落在XOZ平面上了。这样，可用 直接画出三个视图。,2.正轴测投影变换,正轴测投影是将几何体绕Z轴旋转角，再绕Y轴旋转角，然后向ZOY面投影而得。正轴测投影变换需要如下三个变换矩阵运算：,3.斜轴测投影变换,三维错切变换是画斜轴测图的基础。斜轴测投影变换是通过将物体先沿X含Y错切、再沿Z含Y错切，最后向XOZ面投影实现。,（沿X含Y错切）（沿Z含Y错切）（向XOZ面投影）（斜轴测投影变换矩阵）,3.6.2 透视投影变换,透视投影也称中心投影,比轴测图更富有立体感和真实感。它将投影面放在光源和投影对象之间，如图3.16所示。有关术语如下：视点S：观察点的位置，亦即投影中心。画面：即投影面点P的透视：PS与画面的交点P直线的灭点：直线上无穷远点的透视。一组平行线有一个共同的灭点，若该组平行线与某坐标平行，则此灭点称为主灭点。根据主灭点的个数，透视投影可分为：,1、基本概念,一点透视，只有一个主灭点，此时画面平行于投影对象的一个坐标平面，因此也称为平行透视；二点透视，有两个主灭点，此时画面平行于投影对象的一根坐标轴（例如Z轴），而与二个坐标平面成一定的角度（一般为2030），因此也称之为成像透视；三点透视，有三个主灭点，此时画面与投影对象的三根坐标轴均为不平行，因此也叫做斜透视。,2.一点透视,如图3.16所示，空间中有一点P（x,y,z），设S为视点，并在Y轴上，画面垂直于Y轴且交与O点，即画面平行于XOZ平面。显然，画面是在一个二维坐标系中，用XOZ表示。画面据坐标系原点的距离为y1，视点距原点的距离为y2，由相似三角形的关系可有,如令OO重合，则画面就是XOZ平面，即y1=0,则有,对物体上的点都做上述处理，在画面上就可得到这些顶点的透视，顺序连接这些点，即得到物体的一点透视图。,把这种简单的透视投影变换写成矩阵的形式，有,规范化,透视变换,向XOZ面投影,一点透视投影变换矩阵,令，则主灭点在Y轴上的 处，画面上XOZ平面的一点透视投影变换矩阵为,对点进行一点透视投影变换，有,规范化,为了增强透视效果，通常将几何形体置于画面（XOZ面）后、水平面（XOY面）下，若几何形体不在该位置，应首先把物体平移到此位置，然后再进行透视投影变换。q决定了视点的位置，一般选择视点位于画面（XOZ面）前。,例：对立方体图形进行一点透视投影变换。,首先将其平移到XOZ面后、XOY面下，平移量为：然后进行透视投影变换，设q=-0.1，变换结果如图3.17所示。,3.二点透视,首先改变物体与画面的相对位置，使物体绕Z轴旋转角，以使物体上的主要平面（XOZ,YOZ平面）与画面成一定角度，然后进行透视投影变换，即可获得二点透视投影图，变换矩阵为,如果物体所处位置不合适，则需要对物体进行平移，为使旋转变换不受平移量的影响，平移变换矩阵应放在旋转变换矩阵与透视变换矩阵之间。,例：对立方体图形进行二点透视投影变换。,先对立方体图形进行旋转变换，然后再进行平移变换，最后进行透视投影变换，即可得到立方体图形的二点透视。设，平移量变换结果如图3.18所示。,4、三点透视,为了观察方便起见，现将物体放到一般位置。首先绕Z轴旋转角，再绕X轴旋转角，使物体上的三个坐标平面与画面都倾斜，然后进行透视投影变换，即可得到物体的三点透视视图，变换矩阵为,如果需要把物体平移到合适的位置，则应把平移变换矩阵放在旋转变换与透视变换矩阵之间。例：设，平移量对立方体图形进行三点透视投影变换，变换结果如图3.19所示。,思考题,1、掌握二维图形的组合变换。要求：会计算绕任意点旋转变换的变换矩阵和变换后新点的坐标值。会计算对任意直线的镜射变换的变换矩阵。2、能写出三维图形基本变换矩阵并能知道各子矩阵块的几何意义。3、掌握三维基本变换的平移变换、旋转变换、比例变换和镜射变换，能够根据题目要求进行计算。,