平面的方程.ppt

1 平面的方程,解析几何 Chapter 3,Contents,一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程,二、平面的一般方程,三、平面的法式方程,一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程,1.平面的向量式参数方程,2.平面的坐标式参数方程,3.平面的点位式方程,4.平面的三点式方程,5.平面的截距式方程,1.向量式参数方程,2.坐标式参数方程,3.平面的点位式方程,平面的点位式方程为或,例1 已知不共线三点，求通过三点 的平面 的方程。,4.平面的三点式方程,其向量式参数方程,其坐标式参数方程,或,或,或,5.平面的截距式方程,若已知三点为平面与三坐标轴的交点，其中则平面的截距式方程为,二、平面的一般方程,定理1 空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量 x,y,z 的一次方程；反过来，每一个关于变量 x,y,z 的一次方程都表示一个平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程。,几种特殊情形讨论：,）当且仅当 D0 Ax+By+Cz=0 平面通过原点,）当A,B,C 中有一为0 当且仅当 C=0,D0时,Ax+By+D=0 平面平行于z 轴 D0时，Ax+By=0 平面通过z 轴 A=0,D0时,By+CzD=0 平面平行于x 轴 D0时，ByCz=0 平面通过x 轴 B=0，D0时,Ax+CzD=0 平面平行于y轴 D0时，AxCz=0 平面通过y 轴,）当A，B，C 中有两个为 0 时 当且仅当 B=C=0，D0,平面平行于 yOz 平面 D0，即为 yOz 平面 A=C=0，D0,平面平行于 xOz 平面 D0，即为 xOz 平面 A=B=0，D0,平面平行于 xOy平面 D0，即为xOy平面,例2 求通过，且平行于 z 轴的平面方程,三、平面的法式方程,取空间直角坐标系，设点 的向径为，平面上的任意一点 的向径为，则平面的点法式方程,若设 那么有平面的点法式方程：,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 的系数A，B，C 有简明的几何意义，它们是平面的法向量的一个分量,若平面上的一点 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足，而 的法向量取单位向量，设，那么由点 和法向量 决定的平面的向量式法式方程为：,平面的坐标式方程，简称法式方程为,平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化,取 乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程 在取定符号后叫做法式化因子,选取的符号通常与常数项 相反的符号,例3 已知两点，求线段 的垂直平分面 的方程,例4 把平分面 的方程 化为法式方程，求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离,例5 求过三点 的平面方程（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，法式）,