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第5章 刚体的定轴转动,（Motion of Rigid Body）,实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。,一、何谓刚体,在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。,二、刚体运动的两种基本形式,1)平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动,选取参考点O，则：,对（1）式求导：,结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道-质心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映物体平动规律。,2）转动:定轴转动和定点转动,刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。,定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。,3）刚体的一 般运动,三、刚体定轴转动的角速度和角加速度,在p点取一质点，,刚体作匀角加速度定轴转动,刚体的平动动能,其平动动能应为各质元动能和。,vc为质心的速度,一、转动动能,刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小的质元,任取一质元 距转轴，则该质元动能：,故刚体的动能：,刚体绕定轴以角速度旋转,质量不连续分布,质量连续分布,I转动惯量,二、决定转动惯量的三因素,3）刚体转轴的位置。（如细棒绕中心、绕一端）,1）刚体的质量；,2）刚体的质量分布；（如圆 环与圆盘的不同）；,例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量：,转轴通过棒的中心o并与棒垂直,转轴通过棒的一端B并与棒垂直,转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直,X,已知：L、m,求：IO、IB、IA,求：IO,求：IB,求IA,注意：,或：,注意：,平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Ic有如下关系：,为轴A与轴C之间的垂直距离,正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）（zx、y，xy轴在刚体平面内Iz绕垂直其平面的转轴的转动惯量，Ix，Iy在转动平面内两个正交轴的转动惯量。,例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。,解：（1）细圆环,（2）薄圆盘,解：已知薄圆盘C轴的I:,例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。若要求出对通过A轴或B轴的转动惯量,则任何计算?,由平行轴定理,可得:,解：已知薄圆盘C轴的I:,例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。若要求出对通过A轴或B轴的转动惯量,则任何计算?,由正交轴定理,可得:,例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Z,例3 系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。,练习九(1,2,3),一）力矩,中学时学过的力矩概念,注意：,方向：,的方向,单位：米.牛顿,1）大小：,2）力 必须在转动平面内：,若力 不在转动平面内，分解成,3）若刚体受N个外力作用，,力是连续的,力不连续,例1，均匀细杆，在平面内以角速度转动，求M摩擦力。,r,解,力是连续的,其中：,所以,例2，现有一圆盘在平面内以角速度转动，求摩擦力产生的力矩（、m、R）。,解,取细圆环为质元,要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律转动定律。,二、转动定律,刚体可看成是由许多小质元组成，在p点取一质元，,受力：外力，与 成 角,合内力，与 成 角,-,用 左叉乘式,-,对整个刚体，对式求和,转动定律,注意：M、I、()都是相对于同一转轴而言。,说明：1）定律是瞬时对应关系；,一轴而言的。,3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。,纸风车,电风扇,例1:一质量m1为的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘上,开绐时静止,求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重物下降多高?(绳的质量与轴上的磨擦力不计).,已知:m1、m2、r,求：a、T、h,解：建立转动轴的正方向，加速度的正方向.,隔离物体分析力：,列方程：,+,m1g-T=m1a.(1),Tr=I(2),(3),a=r(4),注意:a等于常数且初速为零!,解上面五式得：,求：,受力分析：,已知：,建立轴的正向：（力矩投影的正方向）,m1,m2,列方程：,解上面五式得：,例3）一静止刚体受到一等于M0的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1，M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=k(Nm),(k为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为I,试求刚体角速度变化的规律。,已知：,M0,M1=k,I,|t=0=0,求：（t）=？,解：,1）以刚体为研究对象；,2）分析受力矩,3）建立轴的正方向；,4）列方程：,I,解：,列方程：,分离变量：,解：刚体定轴转动,1、受力分析,2、关于O轴列转动定理,【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？,由求w：,（1）平动：质心运动定理,3、求转轴受力,（2）转动：关于质心轴列转动定理,为什么？,【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l远，求冲力作用后棒的运动状态。,解（1）质心的运动,质心以vC0的初速做上抛运动。,（2）在上抛过程中棒的转动,绕过质心转轴，列转动定理：,在上抛过程中，棒以恒定角速度绕过质心轴转动。,【演示实验】质心运动（杠杆）,一、力矩的功,力矩的功,是刚体在力矩的作用下转过的角度,设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,重力矩的功,当杆到达铅直位置时重力矩所作的功,L,以杆为研究对象,受力：,mg，FN,二、刚体的重力势能,hC质心距0势能面的距离,三、刚体转动动能定理,角速度由,力矩的功定义式,考虑一个有限过程，设在力矩作用下，刚体的角位置由,此称刚体转动的动能定理,四、刚体的机械能守恒,若刚体系统，则刚体的机械能守恒E1E2。,例1 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,当杆过铅直位置时的角加速度、角速度以及此时A和C点的线速度量值。,建立OXYZ坐标系,L,解:(1)角加速度,2）=？法一：转动定律,两边积分：,C,A,两边积分：,解(二)机械能守恒定理：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从 0-：,可得,例2，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R，转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始(静止)下落到h距离时的速度？,k,解,机械能守恒,解之，可得,练习九（4）练习十(1),o,解：杆机械能守恒,比用转动定律简单！,势能零点,绕固定轴转动动能,杆动能的另一种表达：科尼西定理,势能零点,一）定轴转动的角动量定理积分形式,定轴转动的角动量定理积分形式,刚体的角动量：,角动量定理微分形式,设 时间内，刚体角速度由,角冲量,注意：1）角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定理,2）该定理也适应于刚体、变刚体和绕某一定点转动的质点：,角动量是矢量 其大小,方向由：,决定。,或：,方向如图,质点作圆周运动,质点作直线运动,例、一长为l、质量为m的均匀细杆，可绕轴O轴转动。桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始转速为，求：（1）细杆受的摩擦力矩；（2）从到停止转动共经历的时间；（3）从到停止转动共转了多少圈（如图）。,解：（1）,（2）（一）用动量矩定律：,（二）亦可用转动定律：,（3）（一）用动能定理：,（二）用运动学方法：,或,或:,（二）定轴转动的角动量守恒,若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。,注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立，而且对刚体系统以及非刚体也成立。,一般有三种情况：,A：I不变，也不变，保持匀速转动。,B：I发生变化，但I不变，则要发生改变。,C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。,直升飞机后面的螺旋浆,双浆直升飞机,子弹射入之前,子弹射入之后,M,M,已知：,求：,解：,例1：一木杆长 可绕光滑端轴O旋转。设这时有一质量为m的子弹以水平速度 射入杆端并箝 入杆内，求杆偏转的角度。,系统在子弹射入之后的角动量：,系统在子弹射入之前的角动量：,依角动量守恒定理：,子弹射入之前,M,O,以M、m为研究对象，建立轴的正方向。,子弹射入之后,O,以M、m、地球为研究对象，以杆端为势能零点,初态的机械能,末态的机械能,子弹射入之后,M,O,依机械能守恒：,联立（1）、（2）式可得,例2：质量为M20kg，半径为R2m的转台（可看作匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速0 匀速转动，今有沙粒以每秒2kg的速率（dm/dt=2kg/s）垂直落到转台上，在转台上粘附成一半径为r1m的圆环。求试写出转台的转动惯量I随时间t的变化关系式；求当沙粒落到转台上使转台转速减到0/2 时所需要的时间。,解,（1）沙粒下落使转台的转动惯量发生变化,例2：质量为M20kg，半径为R2m的转台（可看作匀质圆盘）绕中心竖直轴以匀速0 匀速转动，今有沙粒以每秒2kg的速率（dm/dt=2kg/s）垂直落到转台上，在转台上粘附成一半径为r1m的圆环。求试写出转台的转动惯量I随时间t的变化关系式；求当沙粒落到转台上使转台转速减到0/2 时所需要的时间。,解,（2）由角动量守恒，有,例3）在光滑的水平桌面上开一小孔。今有质量m的 小球以细轻绳系着，绳穿过小孔下垂，如图。小球原以速率V0沿半径R在桌面回转。在回转过程中将绳缓缓下拖，当小球的回转半径缩短为R/2时，此时小球的回转角速度（1），在此过程中外力做的功为A=（2）。,（1）,（2）,；,解,练习十(2,3,4)，,由动能定理，有,例4：质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？,已知：,求：,解：以M。m为研究对象,故角动量守恒,以地面为参照，建立轴的正方向如图：,M,m,因人和台原来都静止故角动量,（2）式dt积分：,M,m,若人和转台的角速度分别为,A,A,m,六、刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充）,1、平面平行运动,只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。,质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动,2、无滑动滚动：,任意时刻接触点P 瞬时静止,无滑动滚动条件：,【思考】下一时刻P点位置？,转动惯量小的滚得快！,【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动,质心运动定理,过质心轴转动定理,纯滚动条件（运动学条件）,【例】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？,3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴,时刻t 接触点P 瞬时静止；,在时间(tt+t)内，以P点为原点建立平动坐标系；,时间(t t+t)内，刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动。,接触点P：,瞬时转轴,瞬时转动中心,绕瞬时转轴的转动定理的形式？,虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。,下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体，接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此，关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。,惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度方向相反。,关于过p点转轴的转动惯量,轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：,证明：,p点相对惯性系的加速度,p点相对质心的加速度,按切、法向分解：,无滑动滚动：,p点加速度沿半径方向,过p点转轴惯性力矩等于零,简单多了！,七、进动（旋进，Precession）,高速自转的物体，其自转轴绕另一个轴缓慢转动的现象。,【演示实验】车轮进动,不“屈服”于外力矩作用，稳定对称轴的方向。,【思考】上述分析严格吗？,