数学概念的教学.ppt

数学概念教学,杭州市江干区教师进修学校 朱先东,数学教学=概念教学+命题教学+解题教学,名家谈数学概念数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。李邦河“掌握一门学科就是要掌握这门学科核心的、根本的概念。”布鲁纳波利亚、奥苏泊尔等大数学家都认为数学概念是数学教育心理学研究的最主要的领域之一。（09杭州）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为。,三角函数（1）,一创设情境，猜想发现在倾斜角为300的斜面上，物体前进了20米，则它在水平方向上运动的距离为多少米？在铅垂直方向上运动的距离是多少米？学生计算，教师问：你是怎么做的？S1：先画图，再计算。T：倾斜角改为450呢？请计算T：除勾股定理外，能否用其它表述？S2:含300直角三角形的三边关系为：1：2；含450直角三角形的三边之比为1：1：。T：若倾斜角为230呢？如何求水平距离和铅直高度呢？S3：需要知道两直角边的比值或一条直角边与斜边的比值？T：投影：锐角边的比值,追问（1）含300直角三角形的三边之比都是1：2？你能得到怎样的结论？（2）含450直角三角形的三边之比与含300直角三角形三边之比不同，你又能得到怎样的结论？,二验证猜想，概括定义1.探索角与边的关系T：请同学们思考：当角固定时，比值是否会随着位置不同而改变？S4：应该不变。若向后移的话，BCAC,B1C1AC1，ABCAB1C1，对应边成比例。T:你还能得到哪些比值？S4：ACAB=AC1AB1.BC:AC=B1C1:AC1T：投影基本图形。在RtABC中，则C所对边AB称为斜边，用c表示，另两直角边分别为A的对边和邻边，分别用a，b表示。T：B的对边和邻边分别是什么？2.锐角三角函数的定义：(略)投影：（理解定义）注意：（1）当A固定时，它的三角函数值都是固定，与A的边的长短无关；（2）符号sinA是一个整体；（3）三个字母，“”不能省略，如sinCAB.,三探究性质问题：在三角形ABC中，C=900，a、b、c分别是A的对边、邻边和斜边，运用三角函数的定义，你能得到哪些性质？（学生考虑了好长时间无果。原因分析：教师问题指向不明要探求什么不清楚）T：（启发）比如比值的范围等。S5：我发现比值都大于0（教师纠正函数值都大于0）小于1。(教师未纠正学生的错误)T：板书：00，cotA0.S6：根据勾股定理可得到：sin2A+cos2A=1T：教师鼓励，还有没有？S7：经过一段时间后，发现tanA与cotA成倒数关系。T：教师板书tanAcotA=1,四小试牛刀1.如图，EHG=900，请分别表示出E，G的正弦、余弦和正切。2.例1 设RtABC中，C=900，A、B、C的对边分别为a，b，c，根据条件a=6,c=10，求B的四个三角函数值（要求规范书写）。3.练习：书本4由于时间关系无小结。,2.变式应用：（1）（逆向运用）在RtABC中，C=900，AB=200，sinA=3/5，求BC、AC的长。（2）（间接运用）在RtABC中，C=900，sinA=3/5，求cosA的值。（3）（灵活运用）在RtABC中，C=900，sinA=3/5，CDAB,求锐角DCB的余弦和正切值。,数学概念教学,一.数学概念的意义二.数学概念教学的现状三.数学概念的特点四.数学概念教与学的认知心理学基础五.数学概念教学的方法六.数学概念教学必须注意的问题,一数学概念的意义,1.意义：数学概念一般指客观世界数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。数学概念是数学知识体系的基础，同时，又是数学思维的细胞，也是知识与方法的载体。如“平行四边形”概念反映了“两组对边分别平行”这一本质属性；“圆”的概念反映了“平面内，到定点的距离等于定长的点的集合”这一本质属性；“方程”概念反映了“含有未知数的等式”这一本质属性。,一个特定数学对象在一定范围内保持不变的性质。而可变的性质是“非本质属性”,2.数学概念的组成。,一个数学概念通常包括五个方面：概念的名称、定义、符号、例子和属性。例如：“平行线”是概念的名称；“在同一平面内，不相交的两条直线”是概念的定义；“”是符号；不同位置和方向上的各组平行线可以看做正例及其变式；“两条没有公共点的直线叫做平行线”可以看做一个反例；“平行线”的属性有：传递性、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。“相反数”是概念的名称；“只有符号不同的两个数”是定义；“-”是符号；“数轴上，在原点的两侧，并且到原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数”是正例，“互为相反数的两个数都不相等”是反例；“相反数”的属性：绝对值相等，符号相反、两数之和为0等。,二数学概念教学的现状,现状1：“一个定义，几项注意”。一步到位、举例训练、反复练习、迎接考试，急功近利。重结果，轻过程。观念1:“概念教学=解题教学”式大容量训练；经典语言：“教概念不如多讲几道题目。”观念2：例题教学替代概念的概括过程，认为应用概念的过程就是理解概念的过程。现状2：概念的过度学习。任何概念学习都要进行操作、探究；钻牛角尖，导致学习的“异化”。如判断2x+3=3x-x+3是不是方程？练习4x2+3x+1=(2x-1)2是不是一元二次方程。过度学习费时费力。现状3：不知道怎样教概念。只知道“模仿+训练”,案例1 三角形的三条重要线段方案一：教师在黑板上画ABC，边画边说，取BC的中点D，线段AD就是ABC的一条中线；作A的平分线AE，则线段AE就是ABC的一条角平分线；作垂线AF，则线段AF就是ABC的一条高。然后师生进行辨认。方案二：上课开始，教师请大家拿出纸、尺和笔，和学生一同回顾上学期有关角平分线、中线、垂线的画法，让学生体会一下，再提问：如图，点P在ABC的边BC上运动，当P运动到什么位置时，会有一些“特殊的线段”？方案三：教师先提出问题：如图，给定ABC，能否在BC边上找到一点D，使得AD将ABC的面积平分？若BC上有一个动点P，当P运动到什么位置时，线段AP的长度最短？是否存在将BAC平分的线段AP？,案例2 因式分解,1.回顾旧知，引出课题师：前面我们已经学习了多项式乘法，如2x23x=6x3,2x(x2-2x+1)=2x3-4x2+2x.反过来，（2x3-4x2+2x）2x=?2.出示课题，定义概念师：今天，学习“因式分解”，即把一个多项式化为几个整式的积的形式。3.揭示目标，总结方法师：今天我们一同来学习因式分解的第一种方法：提取公因式法。（学生记笔记）师：什么叫公因式呢？就是一个多项式中各项都含有的因式。（学生记笔记）师：如6,8的公因数是2，那么2x3-4x2+2x的公因式是什么？生（齐声）：2x。教师归纳公因式包括三部分：系数、字母、指数（学生记笔记）4.巩固练习，检测反馈。,三数学概念的特点,1.数学概念具有高度的抽象性和概括性数学概念是客观事物的数与形方面的本质属性的反映。它是排除一类对象的具体物质内容（如颜色、气味、重量等）以后的抽象。数学概念通常用抽象的符号表示，这些符号使得数学较其他学科更加简明、清晰、准确。如“”从教育与发展心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学能力就是以数学概括为基础的能力,案例3：“平行线概念的形成”课本指出：“黑板相对的两条边，如把它们向两方延长，总也不会相交；立在路边的两根电线杆、横格本中的两条横线，如把它们看成直线，都是不相交的直线。”,抽象是过程，概括是目的！,思维发展心理学的研究表明：概括是人们掌握概念的直接前提；概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；概括是科学研究的关键机制；学习和应用知识的过程也是概括的过程；数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学思维能力训练的基础；概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。因此，“思维的教学”的基本方法是以数学知识的发生发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，千方百计地给学生提供概括的机会，锻炼学生的概括能力，使学生学会概括。-章建跃,2.数学概念的产生与发展有各种不同的路径:,（1）有的数学概念是从它的现实模型中直接反映得来。如几何中的点、线、面、体等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来。自然数的概念是从手指的个数，或其他单个事物集合元素的个数，或者从事物排列的次序抽象概括得来的。（2）有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物思维属性理想化、纯粹化才得来的。如，直线这个概念所反映的“直”和“可以无限延伸”是从笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的。（3）有的数学概念是从数学内部需要产生出来的。例如，为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数幂，在数学中产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理数指数等概念。,案例4 数的发展 小学学习“算术数”（含自然数、正分数、正小数），为了解决“算术数”减法中出现“不够减”的问题，必须引入负有理数概念，从而使数的外延扩展到有理数。随着学习的深入，但只有有理数已经不能解决某些数学问题，如求边长为1的正方形的对角线的长度，为了解决类似这样的问题，必须引入无理数，从而把数的概念扩充到实数。在实数范围内，方程x2+1=0显然无解。为了使它有解，就引入了一个新数i，它满足i2=-1，并且和实数一起可以按照通常的四则运算法则进行计算，于是再引入复数的概念。至此，中学的整个数系就完全建立起来。数的扩展过程中的运算律和运算法则都可以适用。,（4）有的数学概念是根据理论上有存在的可能而提炼出来的。例如无穷远点、无理数 等概念都是在一定的理论基础上提出。,（5）有的数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的。例如，多边形的顶点、对角线、内角、外角等概念。（6）数学中许多新的概念，随着数学的发展而发展成为新的概念。例如：从具有公共端点的两条射线所成的角的概念发展成为射线绕着它的端点旋转所成的角的概念。,3.数学概念具有一定的系统结构,数学是一个有机整体，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识。例如，一次函数反比例函数（有理分式函数）二次函数三角函数指数函数对数函数反三角函数等概念之间都有其内在的联系。教材特点：许多重要的数学概念、数学思想按螺旋上升的方式分散安排 例如四个二次（二次三项式、二次方程、二次不等式、二次函数分三阶段学习，用函数来统一）；代数式的最大公因式、方程组的解、直线的交点、独立事件同时发生的概率等这些貌似无关，相距很远的概念，如能用集合的交的概念来统一，它们的共同特征就一目了然。整体性教学课程标准修改稿,4.数学概念具有二重性,一是动态的算法、操作过程。如余数、通分、因式分解、配方等。二是静态的结构、对象。如三角形、四边形等。许多数学概念既表现为一种动态的算法、操作过程，又表现为一种静态的结构、对象。例如，sin，可以看作y与r之比运算，又可以作为比值。数列极限既代表序列变化趋势的过程，又代表发展变化的结果。如y=a(x-m)2+n，采用描点法求其图像，就是一种典型的过程性思维：由点成线，由局部合成整体静态；如采用先画y=x2的图像，再通过平移，则是一种结构性思维动态。,四数学概念教与学的认知心理学基础,1.学生数学学习的情感因素。数学教学应该关注学生的情感因素，创造良好的学习氛围，激发学生学习的内需，使学生的非智力因素与智力因素协调发展。如“整式加减”概念教学中的“猜出你心中的秘密”2.学生已有的经验对数学概念形成的影响前概念通常具有合理的成分，但不精确。例如“垂直”概念、“角”概念、“平方根”与“算术平方根”概念。如 的平方根是多少？有的前概念甚至是错误的。如把“-a”看成是负数。日常经验可以帮助学生理解抽象的数学概念，如把“坐标”解释为“座位的标记”，即“第几排第几号。,概念的顺应与同化！,案例：整式的加减（3）引入：猜出你心中的神秘（1）你喜欢的数+你的年龄；（2）你的年龄-2你喜欢的数（3）报出（1）-（2）的差。我就知道你喜欢的数。,案例5：“定义与命题”教学片段方案一：教师指令1：（1）举起右手；（2）拿起圆规；（3）画一个圆。（祈使句）教师分析指令2：画优弧、劣弧各一。（学生画不出来）教师分析，引出课题方案二：师：我们已经进入网络时代，网络已经走入千家万户。你看这个年轻人正在干什么？（幻灯片演示）生：正在上网师：对，他在上网。夜渐渐地深了，突然年轻人迸出一句话：“黑客。”正在此时，他爷爷奶奶刚好听到。爷爷说：“黑客是什么？是家里夜里来客人了吧。”奶奶说：“老头子，你这点都不懂，是小偷吧，应该是穿黑衣服的小偷，现在的小偷流行叫黑客。”（学生笑）同学们，他们的说法对吗？黑客是小偷吗？,我们再来看一个故事：电视里正在播放精彩的乒乓球比赛，奶奶边看边说：“打得好！可惜播音员不识数”孙子听了不解地问：“人家咋不识数？”奶奶说：“明明是两个人在打球，他却说是单打；明明是四个人在打球，他却说是双打，你说他识数不识数？”（学生哄堂大笑）可见，在平时的交流中对名称和术语要有共同的认识才行。此时，教师给出“定义”的定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做定义。（幻灯演示）师：举例请尝试说出我们上面所说的“黑客”的定义。（教师让小组讨论）生1：我认为黑客就是专门破坏别人网站的人。生2：我们认为黑客是在网络上进入别人的电脑偷东西的人师（插话）：哦，还是小偷，是高级小偷。（学生大笑）生3：我认为黑客是破坏别人电脑的系统的人，是大大的坏蛋。师：刚才这几位同学都尝试给出黑客的定义。不过我们的定义要很清楚、很规范，又要科学，不能让别人在理解上产生歧义。所以，定义很严格的。老师在网上查了黑客的定义，让我们一起来看看,3.新旧概念之间的不同关系及其学习类型,（1）下位关系学习类属学习下位关系新的知识从属于学生数学认知结构中已有的、包容范围较广的知识时，则构成下位关系（内涵丰富、外延较小）。例如，学生先学习“三角形”概念，再学习等腰三角形、等边三角形，或者锐角、钝角、直角三角形的概念时就构成下位关系的学习。这种学习一般表现为通过增加条件对上位概念进行限制或补充而形成新的概念。几何概念的学习邻近的属+种差=被定义的概念同化过程如矩形的属是四边形或平行四边形，种差不唯一，关键找种差。,将新的知识纳入到学生已有的认知结构中去，形成新的认知结构。,3.新旧概念之间的不同关系及其学习类型,（2）上位关系学习总括学习上位关系当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高、包容的范围更广，可以把一系列已有知识包容其中时，即原有的观念是从属观念，而新学习的观念是总括性观念。则构成上位关系。例如，实数概念是对“有理数”“无理数”或“正数”“负数”“零”概念的发展。在上位关系学习过程中，关键是从下位概念中归纳概括出它们的共同特征。数概念学习,3.新旧概念之间的不同关系及其学习类型,（3）并列结合关系学习类比学习如果新旧知识之间既不产生下位关系，也不产生上位关系，但新的内容与学习者已有的一些观念有某种属性或结构的相似，所以我们可以利用某些客观事物的类似性，通过合理地组织这些潜在的已有的观念学习新知识，这种学习类型就成为类比学习。类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。波利亚例如，学习“直线与平面平行（或垂直）”就需要组织学生在平面几何中已获得的“直线与直线的平行（或垂直）”的知识进行学习。学习“反比例函数”“二次函数”也需组织学生在“一次函数”学习过程中所获得的知识与方法。需要先行组织者,先行组织者,奥苏伯尔提出：在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关、包容范围广但又容易使人理解和记忆的引导性材料先行组织者。这种教学策略就是“先行组织者策略”。先行组织者的作用：搭建研究框架，引导思维方向，增强思维的逻辑性、条理性。具体地说，先行组织者能激活认知结构中已具备的相关概念，使学生认识到它们之间的联系；它能为将要学习的材料提供一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法。,案例6“平行四边形”的先行组织者,开场白：我们今天开始学习四边形的有关知识。在研究三角形时，我们类比了直线及其位置关系的研究思路。类似地，在具体研究四边形之前，我们先概括一下三角形的研究问题、线索和基本方法，以便为我们找到学习本章内容的大方向。问题1.你能总结一下“三角形”一章研究的问题、过程与方法吗？通过归纳，得到：三角形的定义（概念、组成要素、角平分线、高、中线等相关元素）三角形的分类（按边的相等关系分类，按内角的大小分类）；三角形的基本性质（边的大小关系、内角和、外角和等）；三角形的全等（确定三角形的条件、判定、性质）；特殊三角形的研究，按角的特殊（直角三角形）、边的特殊（等腰三角形）分类，从性质、判定、大小度量等方面展开研究；相似三角形（主要研究性质、判定等）。,问题2.类比三角形的研究，你能勾画一下“四边形”研究的问题、过程和方法吗？通过归纳得到：四边形的定义（概念、组成要素、对角线等相关元素）；四边形的基本性质（内角和、外角和等）；四边形的全等（暂时不研究）；特殊四边形的研究，也可按角的特殊、边的特殊分类。研究的基本内容也是性质、判定、大小度量等；相似四边形（暂时不研究）。特殊的平行四边形。教师总结强调：平行四边形的特征性质是平面几何中研究平行性的主要工具，它在研究平行性问题中所扮演的角色就像等腰三角形在研究对称性中所扮演的角色一样，是基本且重要的工具，因此希望同学们重视本节课的学习。,三种关系的综合运用,案例7：一元二次方程的教学 教学问题诊断认知特点：一元二次方程是特殊方程，如果按照这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是下位学习，思维形式是演绎；一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程（组）既有联系又有区别，如果按照这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比；一元二次方程是现实问题的数学模型，如果按照这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是上位学习，思维形式是归纳.,教学问题诊断,认知基础：如果采用下位学习的形式，学生需要知道方程概念及其具有演绎的能力；如果采用并列结合学习的形式，学生需要知道一元一次方程和二元一次方程（组）的概念，需要具有一定的类比能力；如果采用上位学习的形式，学生需要具有将现实问题转化为方程问题的符号化经验和观察、比较、概括、类比的经验。认知障碍：用上位学习的形式学习一元二次方程概念，一部分学生“数学化”能力和理性思维能力弱，可能会遇到困难；用并列结合学习的形式学习一元二次方程的概念，一部分学生类比推理能力弱，也可能会遇到困难。,学法指导分析,关键之一：选择合适的教学结构结构1：回顾方程概念演绎得出一元二次方程特点抽象表示一元二次方程概念抽象表示一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种以接受式学习方式为主的呈现方式，教学效率高，但不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。结构2：回顾一元一次方程概念类比得出一元二次方程概念抽象表示一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种以发现式学习方式为主的呈现方式，有利于发展学生的类比推理能力。但同样不利于体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。,结构3：呈现若干个实际问题用方程思想建立数学模型概括得出一元二次方程特点抽象表示一元二次方程概念抽象表示一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种以发现式学习方式为主的呈现方式，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。但这种教学方式过程缓慢，对按时完成教学任务带来挑战。第三种结构最能反映内容的数学本质且最有利于学生认知的发展。,五数学概念教学的方法,（一）概念形成模式的教学过程概念形成如果某类数学对象的关键属性主要是由学生对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜想、联想、归纳等活动基础上，独立概括出来的，那么这种概念获得的方式就叫做概念形成。概念形成的心理过程依次是：（1）感知、辨别不同事例；（2）从一类相同事例中抽象出共性；（3）将这种共性与记忆中的观念相联系：（4）同已知的其它概念分化；（5）将本质属性一般化；（6）下定义。,3.概念形成模式教学一般步骤,案例8“反比例函数概念”的教学设计,问题1.我们学习过反比例概念，你能举出一些两个量成反比例的例子吗？教师追问：为什么你认为自己所举的例子中的两个量成反比例？问题2.你们所举的这些例子（匀速运动中路程固定，时间与速度的关系；总价固定，商品单价与销售量关系；长方形面积确定，长与宽的关系；等）有什么共同特征？问题3.如何用函数的观点解释上述问题？例如，按照绿化率的要求，某居民小区要种植10000m2的矩形草坪，以草坪的宽x为自变量，长y为函数，那么y随x的变化而变化，给定一个宽x，长y就唯一确定了，并且对于不同的x及其对应的y，都有相同的关系式y=10000/x(xy=10000的变形)。,问题4.请同学们阅读课本，并举例说明你对反比例函数的理解。(定义、解析式、自变量取值范围),问题5.概念辨析：用定义判断 是否关于x的反比例函数，为什么？另外，这里也包含用概念做判断的“操作步骤”第一步，看y是否随着x的变化而变化，任意一个x是否唯一对应一个y值；第二步，“自变量x与相应的函数值y是否成反比例”，也就是看x与y的乘积是否为常数。问题6.例题：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6，求函数的关系式。小结：反比例函数是一类特殊的函数，特殊在自变量与对应的函数值成反比例。,案例9“轴对称”概念的教学,第一步，列举生活中的对称实例，抽象出轴对称图形，说明通过“沿某条直线对折”可使直线两旁的部分相互重合，这里要注意例子的典型性、丰富性；第二步，以问题“你能举出与老师所举例子具有相同结构的生活实例吗？”，引导学生举出具有轴对称形象的实例。第三步，概括所举例子的共同特征存在一条直线l，沿l对折，两边的图形能够重合；第四步，下定义；第五步，辨析概念的关键词，即以正例、反例为载体，用变式推动概念的理解，如让学生举出常见的轴对称图形的例子并指出对称轴，讨论对称轴可能有多少条等；第六步，让学生制作一个轴对称图形，并要求学生说出每一步骤的目的和依据，特别要问学生“为什么要先折叠”，让学生知道折痕就是对称轴。,案例10 梯形,1.先行组织者：（1）四边形有哪些性质？（2）平行四边形是特殊的四边形，它的特殊性体现在哪些方面？我们研究了平行四边形的哪些内容？怎么研究的？2.动手操作：有一张平行四边形纸片，在这张纸片上是否存在一点，经过这一点剪一刀总能把这张纸片分成两个全等的图形？这些全等图形是什么形状的？（学生容易知道过对角线交点对称中心剪一刀，总能将这个四边形分成两个全等形）,3.分类比较特征：,4.定义：梯形及上下底5.概念辨析及特例6.概念应用7.构建知识体系,例11 教学片段“速率（一）”的研究课（香港六年级）课一开始，教师请学生教学跑步比赛，教师拿出秒表，发令让学生同时起跑。师：“停”师：谁跑得快？师：为什么他快？（追问）（学生难以回答）师：有没有同学留意我刚才按秒表的动作？（提示、启发）师：如果这两位同学走的路相同，推测谁快谁慢由什么决定？你能举例说明吗？生：由时间决定，时间短的速度快。学生最后总结获得的经验是：时间相同看路程，路程相同看时间。师：如果时间与路程都不相同怎么办？,问题：运动会上，小明的跑步成绩是8秒跑了50米，而小白的跑步成绩是7秒跑了40米，那么你会用什么方法来判断谁跑得快呢？教室非常安静。有的紧锁双眉，有的写写划划，有的翻书寻找，教师巡视教师。（有5-6分钟）师：谁来解决问题，你是怎么解决这个问题的？生：利用距离相同看时间的方法进行比较（都转化为跑200米）生：利用时间相同看距离的方法进行比较（都转化为跑56秒）生：我有一种很简单的方法：先求出小明每秒跑几米，再求出小白每秒跑了几米，然后比较它们大小。师：这三种方法都能比较谁跑得快，你们表决一下，哪种方法好？师：你们是不是很想说服对方？请发表各自的观点。,（二）概念同化模式的教学过程,1.概念的同化如果学习过程是以定义的方式直接向学生呈现概念的关键特征，实际上是新的数学概念在已有概念的基础上添加其他新的特征性质而形成，这时学生利用自己认知结构中已有的相关知识对新概念进行加工、改造，从而理解新概念的意义，这种获得概念的方式就叫做概念的同化。,2.概念同化模式教学一般步骤,案例12 特殊的平行四边形的教学,先行组织者：我们研究了平行四边形的哪些内容？怎么研究的？操作：将平行四边形绕着一个顶点旋转，使其中一个角为直角，所得四边形是什么四边形？定义：有一个角是直角的平行四边形矩形举例：请同学们举出生活中图形是矩形的例子，请说明你判断的依据。建立概念体系用类比方法研究矩形的性质与判断。,概念的精致,途径一：在概念的形成过程中，培养学生的“数学化”意识和能力 1.让学生经历从实际问题到数学问题的数学化过程 2.让学生经历从文字语言、图形语言到数学符号语言的数学化过程。途径二：通过变式教学，帮助学生领悟数学概念的内涵和外延 1.通过特殊化或一般化变式，获得对概念的进一步理解 一般化，如试在下面的横线上填上适当的内容，使前后两项构成同类项：（1）-ab与6a;(2)-5x2y3与2x2;(3)4m 与-3 n2.,2.通过探索由概念派生出的性质，获得对概念的进一步理解 如由旋转概念可以派生出许多性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转不改变图形的大小和形状；所有对应点的旋转角都相等。如由相反数概念可以引出许多性质：a+b=0;a/b=-1;数轴上位置；绝对值关系。3.通过提供适当的正例与反例，获得对概念的进一步理解。如旋转概念以后，提供轴对称和平移的例子让学生进行辨析。途径三：建立新概念和已有认知结构中相关概念的联系，形成概念体系。途径四：在概念的应用中有意识地回到概念中去。,（三）数学概念的整体性教学,整体：哲学层面上是一个结构性的概念，意思是总体的、全体的、完整的等等；美学层面上是指一个有机性的概念，它的意义不仅包含了结构上完整意思，而且更重要的，它还包含了功能上的统一一致的意思。数学整体教学法：指用整体方法优化数学教学系统的一种教学方法，它不仅关注数学知识内容和知识结构的完整性，而且还要考虑数学教学过程和教与学的方法的完整性等因素，促使受教育者的数学气质、修养和能力的整体提高。教学流程创设情境整体感知观察比较分类归纳抽象命名重点演绎（分化学习）类比教学（知识、方法）幻灯片54,案例13 2.1整式（人教版七上）教学片段,第一部分：单项式概念的学习。1.教师让学生用代数式表示：（1）a的平方的相反数：-a2；（2）x的平方与y的积的；（3）4a2-ab+b2;(4)长方形的 周长4a+2b；（5）长方形的面积2ab。2.教师：以上代数式分别由哪些运算组成？能否按照某个依据把以上代数式分成两类？3.学生交流,S1：加减法一类：4a+2b、4a2-ab+b2，乘法乘方一类：-a2，4/3x2y，2ab。S2：如果有除法怎么办？如4/3x2y，应该属于加减一类，乘法一类，还是除法一类？（除法是一个绕不过去的问题，不能采取简单回避）S3：有乘除法的-a2，4/3x2y，2ab称为单项式，有加减的4a+2b、4a2-ab+b2称为多项式。S4：4a2-ab+b2也有乘法。S5：单项式只有乘除法，多项式有乘除法，也有加减法。教师：教师给出单项式和多项式的定义，并进行判断练习。第二部分：整式概念学习。定义单项式的次数，多项式的项数与次数。对整式进行定义。,教学问题分析：,1.学生被动学习。本节课先学习下位概念再学习上位概念，这样的教学很容易使学生在不知道整体背景的情况下处于被动学习状态，只能按照教师的要求进行学习。2.学生认识的困惑问题。学生对于代数式中除法运算符号的辨析问题，是无法避免的绕不过去的问题，教师应该直面除法问题。3.教学育人价值的实现问题。虽然安排分类，由于教师的暗示以及学生的预习，使这个分类设计变得意义不大，育人资源降低。,第一环节：材料感知（创设情境、整体感知）。教师提供学生大量的感性材料：4a+2b，4a2-ab+b2，-a2，4/3x2y，2ab，1/x,a/b,放手让学生进行独立分类。,按字母个数进行分类。按字母指数进行分类。字母最高次数为2次的一类：4a2-ab+b2，-a2，4/3x2y；字母最高次数为1次的一类：4a+2b，2ab，1/x,a/b。（教师注意引导）按运算符号进行分类。加减乘除混合一类：4a+2b，4a2-ab+b2；乘法一类：-a2，2ab；乘除法一类：4/3x2y，1/x,a/b。按字母所在位置进行分类。字母不出现在分母的一类：4a+2b，4a2-ab+b2，-a2，4/3x2y；字母出现在分母的一类：1/x,a/b。,第二环节：辨析比较。分两个层次进行。第一层次：以小组为单位对不同分类标准的合理性进行讨论。第二层次：全班进行交流与讨论。教师要注意引导学生在比较中辨析和体会哪种分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。,第三环节：分类归纳，抽象命名。二级分类。一级是整式与分式，二级是单项式与多项式。第四环节：重点演绎。重点研究单项式的次数，多项式的项及次数。第五环节：类比教学。数运算（加减乘除法乘方运算）整式运算（加减乘除乘法），知识、法则、方法的类比。,案例14 全等三角形,第一部分 上位概念的学习整体感悟“两个三角形的各种关系”第一环节：材料梳理。提供学生大量成对图形（两个三角形一组），引导学生对这些材料进行辨析、比较和分类，学会透过表象发现它们的本质特点。（全班交流，阐述分类的理由：平移、翻折、旋转等）幻灯片 55第二环节：关系认识。教师捕捉学生分类过程中的半成品资源进行加工，引导学生经历逐步发现材料本质特点的过程，从而对两个三角形的各种关系形成整体认识，并板书如下：幻灯片 56,两个三角形各种关系第三个环节：抽象命名。引导学生根据各种分类结果的本质特点，对上述各种关系进行抽象命名。第二部分 下位概念的学习建立全等三角形概念，并拓展到全等形的概念。,六、概念教学必须注意的问题,1.数学概念的教学理解是概念教学的前提理解数学概念的方面和过程：从表面到本质理解概念的内涵与外延（如定义、名称、例子、属性等），把握概念的深层结构，这是对概念的核心、精髓的理解与把握的过程；从抽象到具体对概念的不同表现形式的具体把握，对抽象概念的生动形象描述，解读概念的关键词，把握了概念的细节，掌握了更多的典型、精彩的例子，这是了解概念的丰富细节，把握概念的“七十二般变化”的过程；从孤立到系统对概念之间的关系、联系的认识，通过对概念间关系的考察，从概念的联系中把握概念的核心所在，这是再概念系统中认识概念，结果是概念得到充分的整合，概念间的联系更加紧密，将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系，概念的灵活迁移能力得到加强。幻灯片62,案例15 函数概念的理解与教学,1.被扭曲的函数概念教学举例（1）只在形式化变形上下功夫。如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为3和1；a2b+c0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）（2）与平面几何知识点拼凑、叠加，成为一种“数学游戏”。如中考卷中出现大量的压轴题，涉及面积、图形的存在性等（略）,2.函数概念的教学理解,（1）说文解字函数概念是“舶来品”。我国清代数学家李善兰将“function”翻译为“函数”，据称是借用了“函信函”的意蕴：传递和交流信息的书面形式，引申为（有顺序的）对应关系。因此，函数不是一种数，而是一种对应关系。（2）函数的来源函数来源于运动，是应“科学的数学化”之需而产生的。正如M.克莱因在他的名著古今数学思想中所说的：“数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数或变量间的关系概念”，因此，如果离开现实的运动变化现象，函数的教学就将成为无源之水、无本之木。,（3）函数概念的本质 函数概念的本质：两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的基本思想：运动变化的思想；用函数概念建立模型，研究客观现实的变化规律的基本方法：用数量关系表示变量之间的依赖关系，并通过数及其运算等研究变化规律。（4）函数概念教学的核心任务 初中：体验“一个量随着另一个量得变化而变化”的过程。值得注意的是，只有数式变形、图形变换是不能有效地让学生形成这种体验。在教学中，要强调函数模型思想，强调建立函数模型 解决问题能力的培养。（5）选择有利于理解函数概念的题目,3.函数概念的教学要点 函数概念的教学，关键是要为学生铺设概括函数概念的通道。如下几方面值得特别注意：精选实际例子，以实例为载体进行函数概念的教学，在函数概念的引入、表示、性质和应用等个阶段都要注重使用实例，为学生提供理解函数概念的“参照物”；不在字面含义、形式化“应用”等方面纠缠，多让学生用函数观点解释具体问题；围绕运动变化、变量、一个量随着另一个量得变化而变化（对应关系）等，以实例为载体开展教学，加强函数思想方法，建立函数模型解决实际问题的教学。,补充案例圆锥的侧面积与全面积,教学过程：学生举生活中例子，再教师举例师生归纳概念（母线、高、底面半径）底面圆的周长与面积下面我们一起学习侧面积计算方法教师在黑板上把曲面展开（圆锥与展开图分开）公式应用。教学效果：学生只能依照公式计算，稍作变化就不会解决。原因分析：教师对教学理解。本节课让学生会用公式进行计算仅仅是教学显性目标，本节课更重要的是让学生理解如何探究曲面面积的计算？为什么要展开？化曲为直，化空间为平面，化三维为二维，这种转化思想尤为重要。本节课还为学生今后学习高中立体图形知识奠基圆台、球表面积的计算方法。要高观点定位，处理好初高中教学衔接。,2.概念（特别是核心概念）教学，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一。如平行四边形教学幻灯片66,案例16 关于“配方法”的教学思考（1）“配方法”的教学，需要明确以下三点：概念：理论依据：完全平方公式步骤：以“二次”为基点，二次项系数化1；加上或减去一次项系数一半的平分。（2）一元二次方程求根公式的推导，经历如下从特殊到一般、由单一到综合的过程：从最简单的开始：从x2=2，x2=0,x2=-2等的求解中，归纳出x2=a的解的情况：当a0时，有实数根x=;当a0时，没有实数根。,变式：从x2+2x+3=0,x2+2x+1=0,x2+x+3=0等的解答中，归纳出x2+bx+c=0的解法。这里有两个重要思想方法：一是利用配方法，化归为（x+p）2=q形式，然后求解；二是通过开方将方程降次，变成两个一元一次方程。,推广到一般情形。对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到利用配方法化归为（x+p）2=q再求解的思想方法，并让学生独立思考，自己推导出求根公式。在“一元二次方程求根公式”的教学中，要让学生体会到研究“二次问题”的一个“基本套路”：从最简单的情形开始，从特殊到一般，逐步将复杂问题化归为简单问题。在化归过程中要注意化归的条件（完备性，这是对思维严谨性的训练）。,（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质的讨论，沿用一元二次方程求根公式的“套路”：,从最简单的y=x2到y=ax2，再到y=a(x-h)2+k，到最后y=ax2+bx+c。一脉相承的思想方法：“化归”到前一种情况。研究工具：配方法。注意概括研究的基本问题，如开口、对称轴、顶点坐标、单调性、最值等，还要通过实例让学生感受到为什么要研究这些性质。十字相乘法是一种技巧，而配方法具有内在的“基本套路”，是“大巧若拙”。,3.概念得出后要对概念进行全方位辨析、解读,案例17 反比例函数概念教学设计问题4.请同学们阅读课本，并举例说明你对反比例函数的理解。解释要引导学生搞清楚以下几方面的认识：（1）两个变量成反比例，指的是两个变量能写成乘积的形式，诸如y(x+1)=2等形式均不能说是两个变量成反比例，只能说y与x+1成反比例。（2）ko,即k0或