江西省南昌市教研室命制高三交流卷（十）理科数学试题及答案.doc

南昌市教研室命制2014届高三交流卷（十）数学（理）试题 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） （A） （B） （C） （D）3.设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若 且则”为真命题的是 ( )A. 为直线,为平面 B. 为平面 C. 为直线,为平面 D. 为直线4. “”是“”成立的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6.定义在上的函数，则 （ ）A1 B2 C D7.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知函数，则的图像大致为 9.函数在区间上单调递增，则的取值范围（ ）A B C D 10.在平面上，,.若，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D 第卷选做题（共5分）11.(1)在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A4 B. C2 D211(2)已知动圆方程x2y2xsin 22·ysin()0(为参数)，那么圆心的轨迹是()A椭圆 B椭圆的一部分C抛物线 D抛物线的一部分第三卷（共85分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 13 已知，则的展开式中的常数项是 （用数字作答）.14已知中，角，,所对的边分别为，外接圆半径是,且满足条件,则的面积的最大值为 .15已知分别为双曲线（ ）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，为双曲线左支上的任意一点，若存在最小值为12a，则双曲线离心率的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示 （I）求该班学生参加活动的人均次数；（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 （III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望 17(12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）（1）求V关于的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由（第17题） 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，是以为底边的等腰三角形，平面平面，分别为棱、的中点（1）求证：平面；（2）若到面的距离为整数，且与平面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值19数列an是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且1) (I)求数列an的通项公式及的值； ()比较+与了Sn的大小20已知椭圆C的方程为，m为正数，如图，在平面直角坐标系xoy中，的三个顶点的坐标分别为B（2,0），A（0,1），C(2,1)（1）求随圆C的离心率；（2）若椭C与无公共点，求m的取值范围；（3）若椭圆C与相交于不同的两点，分别为M、N，求面积S的最大值。21已知函数（1）求函数的单调区间；（2）试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由。（3）若，且在上恒成立，求实数a的取值范围。答 案 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） （A） （B） （C） （D） 3.设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若 且则”为真命题的是 ( )A. 为直线,为平面 B. 为平面 C. 为直线,为平面 D. 为直线4. “”是“”成立的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6.定义在上的函数，则 （ ）A1 B2 C D 7.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A.1B.2 C.3 D.4 8.已知函数，则的图像大致为 9.函数在区间上单调递增，则的取值范围是 （ ）A B C D10在平面上，,.若，则的 取值范围是（ ）A、B、 C、 D第卷选做题（共5分）11.(1)(2010·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A4 B. C2 D211(2)(2010·佛山模拟)已知动圆方程x2y2xsin 22·ysin()0(为参数)，那么圆心的轨迹是()A椭圆 B椭圆的一部分C抛物线 D抛物线的一部分11.(1)C4sin 化为普通方程为x2(y2)24，点(4，)化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为2，故选C.11(2)D圆心轨迹的参数方程为即消去参数得y212x(x)，故选D.第三卷（共85分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 13 已知，则的展开式中的常数项是 （用数字作答）.14已知中，角，,所对的边分别为，外接圆半径是,且满足条件,则的面积的最大值为 .15已知分别为双曲线（ ）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，为双曲线左支上的任意一点，若存在最小值为12a，则双曲线离心率的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示 （I）求该班学生参加活动的人均次数；（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 （III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望 网 的分布列：012的数学期望： 17(12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）（1）求V关于的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由（第17题） 解：（1）梯形的面积=， 2分体积 3分（2）令，得，或（舍） ， 5分当时，为增函数；当时，为减函数 7分当时，体积V最大 8分（3）木梁的侧面积=， =，10分设，当，即时，最大 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大 14分18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，是以为底边的等腰三角形，平面平面，分别为棱、的中点（1）求证：平面；（2）若到面的距离为整数，且与平面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值19数列an是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且1) (I)求数列an的通项公式及的值； ()比较+与了Sn的大小20已知椭圆C的方程为，m为正数，如图，在平面直角坐标系xoy中，的三个顶点的坐标分别为B（2,0），A（0,1），C(2,1)（1）求随圆C的离心率；（2）若椭C与无公共点，求m的取值范围；（3）若椭圆C与相交于不同的两点，分别为M、N，求面积S的最大值。、解 () 由已知可得, ,即椭圆的离心率为(4分)() 由图可知当椭圆在直线的左下方或在椭圆内时,两者便无公共点(5分) 当椭圆在直线的左下方时将:即代入方程整理得,由即<0解得由椭圆的几何性质可知当时, 椭圆在直线的左下方(7分) 当在椭圆内时,当且仅当点在椭圆内可得,又因为, 综上所述,当或时,椭圆与无公共点(8分)() 由()知当时, 椭圆与相交于不同的两个点(10分)又因为当时, 椭圆的方程为,此时椭圆恰好过点, 当时, 在线段上,显然的,此时,当且仅当分别与重合时等号成立, (11分)当时,点分别在线段,上, 易得, = (12分)令,则所以= 综上可得面积的最大值为1. (13分)21已知函数（1）求函数的单调区间；（2）试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由。（3）若，且在上恒成立，求实数a的取值范围。解：（1）由(1分) 当时，则有函数在区间单调递增；(2分) 当时，,函数的单调增区间为，单调减区间为。(4分)综合的当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为。(5分)（2）函数定义域为(6分)又令则(7分)故函数在上单调递减，在上单调递增。(8分)有由（1）知当时，对，有即当且趋向0时，趋向随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向。得到函数的草图如图所示(9分)故当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(10分)（3）由（2）知当时，故对，先分析法证明：要证只需证即证构造函数故函数在单调递增，则成立。(12分)当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立。 (13分)当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意。综合得，满足题意的实数的取值范围。(14分)