毕业论文排列组合中易混淆的问题及应对的教学策略.doc

理工类 本科毕业设计（论文）( 2011届 )题 目： 排列组合中易混淆的问题 及应对的教学策略 学 院： 数理与信息工程学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 学号： 07170112 指导教师： 职称： 教授 合作导师： 职称： 完成时间： 2011 年 4 月 20 日 成 绩： 浙江师范大学本科毕业设计(论文)正文目 录摘要1英文摘要11 引言21.1 问题的提出21.2 研究目的和意义21.2.1 研究目的21.2.2 研究意义21.3 研究的思路与主要方法31.3.1 研究思路31.3.2 研究方法32 高中生学习排列组合的特点32.1 排列组合的主要内容32.1.1 排列32.1.2 组合32.2 高中生学习排列组合的意义32.3 高中学生学习排列组合的基本特点53 排列组合教与学的现状调查53.1 排列组合学习现状调查63.1.1 调查目的、对象、内容、方法63.1.2 调查分析63.2 排列组合教学现状调查83.2.1 调查目的、对象、内容、方法83.2.2 调查分析83.2.3 教学中常用的解题方法和策略94 排列组合教学的个案研究105 提高排列组合教学质量的途径与思考135.1 遵循学生的心理发展规律，开展有效教学135.2 激发学生学习兴趣，提高学习效率135.3 针对排列组合的不同问题，灵活选择教学策略145.3.1 指导学生学会设计145.3.2 建立数学模型，将实际问题转化为数学问题146 反思与研究展望166.1 研究存在的不足166.2 研究的前景展望16参考文献16附录一18附录二19排列组合中易混淆的问题及应对的教学策略数理与信息工程学院 数学与应用数学专业 彭敏（07170112）指导老师：沈自飞（教授）摘要：在全国推进素质教育的今天，在新一轮国家基础教育课改实施之际，对教师新的教学方法与学生新的学习方式的研究与探讨，显得十分迫切与必要。排列组合是一个古老的数学问题，与现实生活联系紧密的、重要的基础知识。高中阶段的数学教学内容中，排列组合知识一直是学生学习和教师教学中的一个难点。本文采用文献法、文献法、个案分析法、调查法、比较分析法等方法，从高中生学习排列组合的特点着手，分析高中生学习排列组合的教育价值，对高中生学习排列组合的现状、问题及高中教师排列组合教学现状进行调查分析，总结出影响排列组合学习、教学的主要因素。在相关的教育教学理论研究基础上，笔者结合排列组合案例分析研究，提出几点应对策略。主要有：遵循学生的个性发展规律，开展有效教学;激发学生学习兴趣，提高学习效率;促进排列组合知识迁移，形成良好认知结构;针对排列组合的不同问题，灵活选择教学策略等。贯彻实施这四条应对策略是提高排列组合教学质量的重要途径。关键词：高中；排列组合；数学学习；数学教学The Confusing Problem And Correspondent Teaching Study Strategy Of Permutations And CombinationsPENG Min Director：SHEN Zi-feiDept.of Science &Engineering，Zhejiang Normal University Abstract：It is quite necessary and emergent to study the new teaching methods and to prove the new learning ways as the quality education is pushed further in china and the new course reform is implemented nowadays. With a long history, permutations and combinations is an important basic knowledge which is related closely to the reality. Permutations and combinations is a key and difficult point in high school maths teaching.Employing the method of document study, investigation, comparative analysis and case analysis, the present essay analyzes the values of students learning permutations and combinations, investigates the teaching state and further summarizes the main elements which influence students learning. Meanwhile, on the basis of studying the relevant teaching theories, the present essay points out the methods and ideas of improving the teaching quality , such as teaching effectively in accordance to students psychological growing rules, evoking students interest to improve learning efficiency, promoting knowledge consolidation to form good cognitive structure, choosing inflexibly teaching strategies etc.Key Words： permutations and combinations；maths learning；maths teaching；high school；1 引言1.1 问题的提出排列组合是初等数学中，是很重要的基础知识。排列组合在中国最早的文献记载见于周易中关于卦符问题的研究。卦中六画的排列从下到上，用初、二、三、四、五、上表示位序，阳爻称九，阴爻称六，爻象共三百八十四。从现存的资料来看，中国专门系统地讨论排列组合问题的论著出现于清代陈厚耀的错综法义。明末清初，由于来华传教士的工作，西方数学传入中国，中西数学逐渐合流，其中许多内容都与排列组合的计算有关。在高中阶段的数学教学内容中，排列组合这部分知识一直是一个难点。它还是组合数学（组合论）最初步的知识，成果已被广泛应用到许多自然科学中。比如概率论，计算机科学，图论等，都用到组合论的方法结果。这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为特殊的，由于其思想方法较为独特灵活，因而它也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，可用于训练学生在计数、猜想、一般化和系统思维等方面的能力，有助于发展如等价和顺序关系等概念。高中生应重视排列组合的学习，不但要从中体会数学思想方法，提高数学能力，而且还可以与其他知识领域结合。然而，经过文献查阅发现排列组合教学方面的资料比较少，学生在学习这章知识时普遍感到困难。排列组合相对于其他章节的教学内容来说比较独立。那么学生在学习过程中哪些知识点上感到困惑?造成困惑的因素是什么?又是什么原因引起的?作为一线教师排列组合的教学的现状又怎样?是否存在问题?若有，又应该怎样改进，才能更好地把这章教好?要解决上述问题需要进一步的研究。1.2 研究目的和意义1.2.1 研究目的本研究试图在对排列组合教学研究文献的分析，教学现状调研基础上，探索提高教学质量的途径与方法，为教师提供可供参考的教学案例。1.2.2 研究意义(1)理论意义本研究可丰富排列组合教学研究的文献，为教师在排列组合教学做进一步研究提供参考、帮助;为提高高中生排列组合学习效率提供理论依据。(2)实践意义本研究对教师在排列组合的教学有所帮助促进，为实际教学提供了参考依据。教师可通过本研究找到教学中不足，从而改进教学方法、教学策略;学生可通过本研究了解自身学习中的存在的问题及原因，从而改进学习方式。1.3 研究的思路与主要方法1.3.1 研究思路本课题主要研究高中生学习排列组合的必要性、可行性、出现的问题以及教师现阶段如何教学，今后如何改进等方面内容。主要分以下几个步骤进行:(1)对排列组合教学研究的文献进行分析和整理。(2)对高中学生做问卷调查，对排列组合学习的现状进行统计、分析。了解高中学生学习排列组合的特点及存在的问题。(3)对排列组合教学现状调查、访谈所收集的材料进行分析、整理，并分析排列组合教学中存在的主要问题及原因。(4)对排列组合教学进行个案研究，对比分析研究，探求更好的教学方法，提高教学效率。(5)在以上工作的基础上针对高中学生学习中、教师教学中存在的问题，提出提高排列组合教学质量的途径与方法。1.3.2 研究方法本研究采用的研究方法主要包括: 问卷调查法;文献法;个案分析法;比较分析法。2 高中生学习排列组合的特点2.1 排列组合的主要内容2.1.1 排列排列的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;一是“按照一定顺序排列”。“一定顺序”就是与位置有关。2.1.2 组合组合和排列所研究的问题完全类似，并且组合数公式的推导要依据排列数公式。排列与组合问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点就是，对于所取出的m个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”。由于研究组合问题时，与排列一样，也是从n个不同元素中进行不重复抽取，求组合数的问题也可以从集合的角度进行解释。组合数性质:性质1:是解释从n个元素中取m个与从n个元素中取n-m个的一一对应关系为主线，由特殊延伸到一般得到结论。并利用组合数公式对性质1证明，以提高学生对组合式子的变形能力。性质2:也是从具体例题中发现并解释，再推广到一般情况。2.2 高中生学习排列组合的意义排列和组合是数学知识的重要组成部分，在实际问题和科学技术中都有广泛的应用;并且是今后学习概率统计等知识的基础。逻辑推理更是进一步学习数学的基础。在排列组合问题中充分体现了对称、分类、等价转化、整体、方程、类比、化归的数学思想。它应用性强，题型多变，条件隐晦，思维抽象，问题交错，易出现重复和遗漏以及不易发现错误等特征。让学生通过观察、操作、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙，训练数学思维，逐步形成全面思考问题的意识，同时培养他们探索数学的兴趣与欲望，发现、欣赏数学的意识，进而达到标准第一学段的要求:使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”。（1）对称思想例如:A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的站法有( )A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析: 利用对称关系(注意到A在B的左边与A在B的右边的排列情形是对称相等的)，所以共有种。（2）分类讨论思想对较复杂的排列组合问题要会用分类思想将其转化为若干个简单问题，再进行逐一解决的方法。例如:从印着0、1、3、5、7、9的六张卡片中，任意抽出3张，如允许9可以看作6用，那么可以组成多少个不同的三位数?解析:先选后排。因0与9是特殊元素，故需分类考虑，可分四类:(1)有0有9;(2)无0有9;(3)有0无9;(4)无0无9。共有个。（3）等价转化思想转化思想是解决数学问题的重要思想方法之一。排列应用题的解题方法和技巧离不开转化思想的运用，虽然有许多排列应用题表面上看似与转化无关，但其本质是相同的，仅是问题的“情境”不同而已。1、化生为熟:许多背景不同的排列组合问题都能转化为已经很熟悉的排列组合问题。2、化整为零，各个击破:将复杂问题转化为若干个简单问题。3、正难则反:逆向思维、化难为易。（4）整体思想例如:有一张节目表中原有6个节目，如果保持这些节目的顺序不变，再添加进去了3个节目，则不同的添加方法有多少种?解析:从整体考虑，就是9个位置中取出3个，排新添加进去的3个节目，剩下的6个位置就依原节目的顺序添上原有的6个节目。所以共有种。（5）类比思想例如:某校高三年级有六个班，现从中选出10人组成女子篮球队，规定每个班至少选一人，这10个名额有多少种不同的分配方法?解析:这个问题类似于用5块隔板将排成一排的10个相同的球隔开成六段，每段之间(含两头)至少有一球，为达到此目的，可在两球之间的9个位置中选择5个位置放隔板(排队中的插队问题)，得到的结果对应一种分配方案，所以共有种分配方案。(6) 集合思想例如:从5名运动员中选出4人参加接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?解析:设全集I=5人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合个数的公式得参赛方法共有n(I)-n(A)-n(B)+n()=种。2.3 高中学生学习排列组合的基本特点（1）高中生学习排列组合知识过程缺乏自己的探索高中生学习排列组合知识以掌握系统的理性的间接经验为主。间接经验是指别人或前人所积累的经验，它是人类在长期的社会实践活动中所创造的宝贵精神财富，是人类认识世界和改造世界的有利武器。掌握了间接经验，高中生就能少走弯路，尽快地适应社会生活。然而，间接经验并非高中生亲自实践得来的，理解不深刻。因而学生学习排列组合缺乏自己的探索，学后存在似懂非懂的现象。（2）高中生难以找到解决排列组合问题的突破口一方面但排列组合内容比较独立，与前后知识联系较少。问题的解决主要依据分类原理和分步原理，其本身应用的知识不多;另一方面由于题目灵活多样，比较抽象，不易切实理解、弄清问题的真实含义。而且排列组合的解题方法也多样，因而高中生难以找到排列组合问题的突破口。（3）高中生解决排列组合应用题目的结果容易出现遗漏、重复错误排列组合应用题目求解过程复杂，多数学生对做题步骤把握不准，盲目照搬公式，容易导致另人难以察觉的计数错误，而且计数结果数目较大，不易验证，很难纠正。所以高中生解决排列组合应用题目，结果容易出现遗漏、重复的错误。3 排列组合教与学的现状调查3.1 排列组合学习现状调查3.1.1 调查目的、对象、内容、方法为考察学生学习排列组合知识时的现状及在学习中存在的各种问题，希望通过学生学习的现状的调查，更清晰的了解排列组合的学习效果，并针对学生学习排列组合时出现的问题提出解决策略。我在实习的中学以及本人代课的中学对高中学生进行调查。(见附录一)其中调查对象涉及省级重点和普通中学高二理科班和文科班各一个，其中参加测试理科班159人，文科班167人，共326人参加调查。问卷收回318份，有效问卷316份。设计了十道调查题和三道应用测试题目(见附录一)。内容囊括了学生学习目的、概念掌握、原理应用等方面。调查时间是刚学完排列组合后两周，在开始总复习时进行的。在数学课堂上测试，时间15分钟。体现了调查的客观性、准确性。并在调查问卷中有部分题目前后联系，可以此观察到整个调查的真实性。除此由于样品的选择是随机的，故调查结果具有一定的可信度。3.1.2 调查分析（1）三道测试题运算类型调查分析为表示方便，记第10题的第一问为，第二问为，第二题第一问为，第二问为，第三题第一问为，依次、(下同)表1：组运算类型重复排列组合组合重复先组后排一种运算,复合运算,测试结果:对三道测试题的统计结果如表2。表2运算类型正确率（%）理科文科重复排列68.560.3重复排列23.125.4组合（一种）50.640.3先组后排47.840.5组合（复合）26.420.1组合重复25.929.7先组后排21.134.8（2）变量对解排列组合问题的影响考虑两类因素:第一类是组合运算(4个水平);第二类是元素类型(2个水平)、运算类型(2个水平)表3变量对解排列组合问题的影响调查统计表变量水平正确率理科文科组合运算重复排列436%45.2%组合37.5%34.3%组合重复25.7%26.2%先组后排32.9%37.5%运算类型一种运算34.0%36.0%复合运算36.4%32.7%从上表中可看出：在所测试的四种运算中，学生解题困难的顺序(从小到大)是:重复排列组合先组后排组合重复，说明学生解有排列运算的题要好于有组合运算的题，尤其当组合运算中有重复时学生就更困难了(如题)。因此，不同的组合运算对学生解题有影响。学生解只有一种组合运算的问题要好于有复合组合运算的问题。通过访谈得知，对于只有一种运算的问题，学生有时还可采用罗列的方法，如，而复合的组合运算就不行，学生表示想不清楚了。（3）分析主要错误类型主要错误类型:顺序错误:主要是混淆了排列和组合的区别，即对不管顺序的元素区分了顺序，对必须考虑顺序的元素又忽略了顺序。如题，由于每人3本书情况一样，故就行了，但学生以为还要再乘;而题，由于每人书本数量不同，有顺序之分，而学生又以为不必区分顺序，只要就行了，不乘。重复错误:不该重复的时候重复，该重复的时候不重复。如题,，许多学生弄不清哪些有重复，哪些无重复。混淆对象类型:认为相同的对象是不同的，或不同的对象是相同的。如题和，两者是不同对象，但学生以为是相同的。混淆单元类型:认为可以区分相同的单元或不可以区别不同的单元。如题，有些学生并不区分谁拿2本，谁拿3本和谁拿4本书。（4）调查结论调查统计发现:概念理解调查中第2题有81%的学生选择了能分清分步、分类区别，调查第3题有63%能分清排列、组合问题。但这与应用调查的结果有差距，说明学生对概念内涵掌握不透彻，实际解题时概念应用不十分准确。调查第8题有51%的学生解题先想到的是解题方法，且在第7题的调查中显示有60%的学生熟悉排列组合的解题方法，但应用测试结果的正确率不高。特别是调查第5题及第13题中显示重复与遗漏现象比较常见，基本上每位学生都出现过。通过调查分析，得到导致学生产生问题的主要原因:（1）组合运算类型的多样性。与顺序、重复有关的一些错误皆由此原因引起，尤其是复合组合运算引起的因素更大，这也与学生所认为的解题没思路和弄不清用什么知识做是相一致的。（2）组合与重复排列之间的相似性和差异性。似是而非的题目中出现的错误由此引起。这也与学生不明白相似题目的不同之处是一样的。（3）知识迁移的困难性。许多看似不同而实质一样的题目中出现的错误就是这个原因引起。学生不能很好地进行知识迁移、类比解题，也表明这章知识迁移的困难，而以前所学的知识在这儿已无用处，也就是学生所认为的不能像其他知识那样直接代公式，这也解释了为何理科相比于文科体现不出优势。3.2 排列组合教学现状调查3.2.1 调查目的、对象、内容、方法为考察教师在排列组合教学时的现状及在教学实际情况中存在的问题，我对高中教师进行调查。(见附录二)其中调查对象涉及省重点和普通中学的一线教师。调查问卷共有60份，收回58份，有效问卷56份，有效率为93%。问卷包含10道问题，其内容囊括了排列组合教学的现状、教学中存在的问题、教师教学的目的以及排列组合教学的思考等方面。可以看到整个问卷内容对高中教师教学调查还是比较全面的，并在问卷中有部分题目前后联系，可以此观察到整个调查的真实性。除此由于样品的选择是随机的，故调查结果具有一定的可信度。3.2.2 调查分析通过对高中排列组合教学现状调查的56份有效问卷的全面分析统计得到以下结果:基本所有的教师都认为排列组合知识是高中阶段的难点，有近40%的教师认为教学的主要任务是迎接高考的选拔。这与学生的调查结果相符。在教学实践中存在一下问题:（1）两个原理与概念的讲解不透彻。调查结果中有82.3%的教师认为排列组合是高中阶段的难点，教学过程中有58.6%的教师选择更注重概念讲解。但结合学生的调查结果分析表明两个基本计数原理没有透彻理解，区分排列组合的标准没有很好地辨析清楚。两个原理字面理解非常简单，学生读完后可能认为很清楚怎么做，因而不会提出疑意，教师自然认为已经交代清楚，继续做几道练习题就结束原理的讲解，与有62.3%教师认为学生的困难在原理应用相吻合。然而问题也产生了，对原理理解的不透彻，导致后面学习的困难。（2）忽视了教学过程中前后知识联系的重要性。集合是近代数学中最基本的概念，其理论与方法在数学中具有广泛的应用。有些排列组合问题，如果直接从排列组合的角度着手，很难找到解题方向，可考虑引进集合，找到解题的突破口。但调查的几位教师中，都没有利用集合解决问题。（3）教师教学研究不够，虽然有69.3%的教师认为排列组合教学需要改革，只有11.5%的教师做过教学研究。3.2.3 教学中常用的解题方法和策略（1）合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例如：五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( )A、120种 B、96种 C、78种 D、72种分析:由题意可先安排甲，并按其分类讨论:1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法;2)若甲在第二，三，四位上，则有种排法，由分类计数原理，排法共有+=78种，选C。解排列与组合并存的问题时，一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。例如:4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种?分析:因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。(1)选:从四个球中选2个有种，从4个盒中选3个盒有种;(2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有种。（2）插空法与捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。例如：7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法?分析:先将其余四人排好有种排法，再在这四个人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有种方法，这样共有种不同排法。对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个单元，与其余元素一同排列，然后再进行局部排列。例如:7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法?分析:把甲、乙、丙三人看作一个“单元”，与其余4人共5个“单元”作全排列，有种排法，而甲、乙、丙之间又有种排法，故共有种排法。（3）总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。例如：用0,1,2,3,4,5这五个数字组成三位数，其中3、5不能排在个位上，共有多少种排法？分析：五个数字组成三位数的全排列有个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有个偶数。（4）隔板法例如：方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?分析:建立隔板模型:将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的n个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有。4 排列组合教学的个案研究教学实践工作既是教学理论在具体教学环境中的运用，又是对个人理解的一种反思和不断修正的过程。它是该论文研究中必不可少的重要环节。下面本人以排列组合中的一些典型问题为例说明，希望能为学生学习、教师教学提供帮助，寻找到最优的学习方法、教学途径。例如：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图1)。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种?解法一:吴老师(24年教龄)，以区域为主计数，应先染相邻区域最多的区域，这样需分类的情况少，不易出错。由图1知1号区的相邻区域最多，其余区的相邻区域相同，故先染1号区，再依次染其他区域。解:设有A、B、C、D四种颜色，先染1号区域有4种染法;再染2号区域，只与1号区域相邻，所以染色只需与1号区域颜色不同，有3种染法。继续染3号区域，只需与1号、2号区域颜色不同，有2种染法，则共有4×3×2=24种染法。这时，剩下1种颜色，还有3个区域没有染。不妨设一种情况为1号区域染A色，2号区域染B色，3号区域染C色，此时4号区域可染B或D:若4号区域染了B色，则5号区域可以染C或D，剩下6号区域只有一种选择，得l×2×l=2种。若4号区域染D且5号区域染C色时，6号区域只能染B色;若4号区域染B且5号区域染B时，6号区域可染C或D，得l×(l×l+l×2)=3种。所以当1号区域、2号区域、3号区域染色确定时，4号区域、5号区域、6号区域有2+3=5种。总计得:4×3×2×5=120种。即得不同的栽种方法有120种。解法二:闰老师(15年教龄):以颜色为主计数。用4种颜色染6个区域，必有2个区域染单色，2对区域染重色。1号区域与其余5个区域相邻，必为单色区域，其余5个区域再选1个为单色区域，所剩4个区域两两必为重色区域。解:(1)1号区域为单色区，有4种染法。(2)从其余5个区域中再选一个单色区域:，有3×=5×3=15种染法。(3)剩余4个区域两两重色的方法是唯一的，用剩余两种染有2种染法(如:当染完1号区域、2号区域后，则3号区域、4号区域、5号区域、6号区域中必是3号区域与5号区域同色，4号区域与6号区域同色。综上，由乘法原理得4×5×3×2=120种。解法三:王老师(24年教龄)、高老师(16年教龄)以考虑区域是否能同色为主采取分类计数。分析:6个区域需用4种颜色染色，一定有区域染同样颜色。如能适当的将6个区域分成4部分，再将这4部分用给出的4种颜色染就可以了。那么重要的步骤是如何将6个区域分成4部分。高老师的分类方法;寻找可染相同区域的分类。由于1号区域与任何区域都相邻，故1号区域单独染一色。再找同色区域。分类为:12,43,5612,53,6413,54,6213,62,4514,62,53一共分成了五类，每一类都将6个区域分成了4个组，每组用一种颜色涂色有种，因此共有5×=120种。虽然同样以寻找可染同色区域，用分类计数原理为出发点。但是王老师思考过程并不完全一样。在考虑到1号区域单独涂色之外，结合图形、颜色种数分析，必有另一区域单独涂一色，由此分类方式为:123,54,6132,54,6143,62,5152,43,6162,43,5通过对于同一道题目的四种不同的教学方法、不同的思路，不同方式的讲解，结合学生学习效果结果来分析:从题意分析是6个区域用4种不同颜色的花栽种，学生的惯用思维大多会从正面考虑，在所给区域内染色，因此解法二虽然解题思路清晰，不难理解，但是从将4种不同颜色的花分配给6个区域的逆向思考方式，在解答时不容易被学生想到。解法一在实践教学中学生理解困难，解题容易出现问题。第1、2区域理解很容易，在第3区域的选色中出现了困难。3号区域可能与1号区域取相同色，也可能不同色。如必须将3号区域的染色方法总数确定下来，同学们大都拿不定主意。而此时很自然地想到分类，分类思想在初中、高一阶段的教学中被多次运用，所以在实际教学中分类讲解更贴近学生的思考方式。解法三中王老师与高老师两者的分类表格从表面上看起来一样，但从思考方式，教学方式上都是有差别的。首先都认可1号区域与任何区域相邻，1号区域单独成组。之后开始分剩余区域。前者高老师将能够涂同样颜色的区域分成一组，分完后剩余一个区域单独成组。后者王老师不但考虑了分组，而且还考虑了颜色个数。共四种颜色应将6个区域分四组，所以除了1号区域单独成组之外，根据图2还应有一个区域单独成组。所以，1号区域分开后先将另一个单独成组选出来，再分同色组这样就可以很好的避免了学生解答排列组合应用题目常出现的重复与遗漏现象。四位教师的教法都正确，都有可取之处，通过实际教学发现在分类的方法中王老师结合分析颜色的教学效果更好一些，学生更容易理解、接受。并且只要抓住问题本质，理解问题的内涵意义，善用类比思想、归纳思想都可以采用分类方法都可以解决同类题目。5 提高排列组合教学质量的途径与思考5.1 遵循学生的心理发展规律，开展有效教学学生心理发展是一贯持续不断的过程。每一个心理过程和个性心理特征都是逐渐地由较低水平向较高水平发展，连续、有序、不断地阶段性发展是学生心理发展的基本特征，他们不断地由具体形象思维向抽象思维过渡。教师要遵循学生的心理发展规律，把数学知识的传授与数学心理体系的构建结合起来，科学地指导学习活动，促进数学知识的掌握，完善学生的认知结构。5.2 激发学生学习兴趣，提高学习效率兴趣是人们探究某种事物或从事某种活动所表现出的特殊积极的个性倾向。这种个性倾向能使人们对某种事物给予优先的注意，并且具有向往的心情。一个人的兴趣愈浓，他的观察就愈仔细，感知、思维、记忆、联想等智力活动就愈有成效。兴趣是学习动机中最活泼、最持久、最强烈的心理成分，是一切智力活动的基础。教师应主要把教学问题寓于富有情趣的情境之中。从生活中的数学问题出发，解决实际应用问题，让学生体会数学在生活中的作用，通过解决实际问题让学生体会数学在生活中的作用，激发学生学好数学的热情。教师还可以在教学过程中，根据教学的内容，选用生动活泼、贴近学生生活的教学方法引起学生的兴趣，使学生产生强烈的求知欲。例如:讲解排列时，可利用有趣的、学生感兴趣的故事。例如:免费的午餐十名少年争座位，饭店老板打圆场:“大家随便来就座，免费午餐等着你。今天座序我记下，下次聚餐再变序，次次变序有时尽，那天座序如今日，免费午餐我招待，天天免费好饭菜。君子协议今执行，一诺千金兑诺言。”免费午餐吃不到，原因何在君知否?假设人数只有3人，不妨记为A，B，C，则3个人有6种座次:ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，即3个人有l×2×3=6种不同的座次。把4个人记为A，B，C，D可以排出24种不同的座序，即4个人有l×2×3×4=24种座序。依次类推，则10个人有l×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800种不同的座序。若大家一天换一种座序，也必须吃到3628800天后，才能吃到免费午餐。我们以一年365天计算，3628800天大约是9942年。根据常识判断，人不可能如此长寿，所以“免费午餐” 吃不到。类似的这些有趣的小故事增强了学生学习的兴趣。除此之外，教师语言应形象生动、富有情趣、幽默，要不断的揭示矛盾，用数学的魅力激励学生保持高涨的求知欲望。教师还可以安排既严谨又活泼的教学结构，形成热烈和谐的氛围，使学生积极主动、心情愉快地学习，充分调动学生学习的积极性和主动性。5.3 针对排列组合的不同问题，灵活选择教学策略用分类的加法原理、分步的乘法原理来解决有序的排列问题、无序的组合问题构成本章的核心内容。尽管在教学活动中，我们会一起研讨排队、排数、排课、分堆等经典问题，一起演绎捆绑、插空、排除等方法技巧，但由于这类的问题头绪繁杂，问题结果较难验证，不得不承认无论是教的还是学的都不是很放心。5.3.1 指导学生学会设计遇到新问题情景，不少学生常希望套用范例的办法应付，如问题稍有改变，往往束手无策。若能将问题解决设计一种程序，则会有很大帮助。例如:从6名运动员中选出4名参加4×100米接力，若其中甲、乙两人都不能跑第3棒，共有多少种参赛方法?分析:问题是6选4参加接力，其结果是;加上甲、乙两人都不能跑第3棒的要求后，有可能产生依照出场次序的解题思路;由于甲、乙两人中选与否没有定论，也可能由此产生根据甲、乙中选进行分类的另一种解题思路，能否先选人跑第3棒?程序设计:(1)谁跑第3棒有种方法;(2)从剩下5人中选3人跑剩余3棒，有种方法，由乘法原理共有种不同的参赛方法。5.3.2 教师还应能够创立情景，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。数学模型是联系客观世界与数学的桥梁。广义地看，一切数学概念、公式、理论体系、算法系统都可称为数学模型，如:算术是计算盈亏的模型，几何是物体外形的模型等。狭义地看只有反映特定问题的数学结构才称为数学模型。数学模型方法是针对要解决的问题来构造相应的数学模型，再通过对数学模型的研究去解决实际问题的一种数学方法。初学排列、组合时，就是让学生尽快地由“过程”转化为“对象”，要能把一个具体的事件抽象为排列模型或组合模型。例如:从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土壤的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法?就会出现两种思维:一是，一是。其运算虽然都不复杂，但前者思维较零碎，注重的是事件的过程;后者思维更整体，能把整个事件看作一个对象。例如:某单位工会活动进行文艺演出，节目单上已排好10个节目，现因为某种原因还需再增加3个节目，并要求原来排定的10个节目的相对顺序不变，节目单有多少种不同的排法?思维1:3个节目分成3种情况插入到10个节目的11个空位上。(l)3个节目不相邻，有种;(2)3个节目恰有两个相邻，有;(3)3个节目相邻，有种，三种情况的总和是最后的结果。思维2:后加进的3个节目与之前的10个节目总共13个节目作为一个整体，给3个节目在13个位置中找到3个位置后，剩下的位置就是原来10个节目的位置,共有种。同样，前者注重具体事件的过程，后者在整体上把握事件的本质。如果此问题进一步一般化:在N个己排好的元素之间任意插入M个元素，求不同的排法种数。如果只用思维模型1则无法完成任务，如果整体上把握，M个元素无顺序区别则结果为，M个元素有顺序的区别则结果为。在排列组合中有这