自动控制原理学生实验：非线性系统的相平面分析.doc

非线性系统的相平面分析 实验一 典型非线性环节一实验要求1. 了解和掌握典型非线性环节的原理。2. 用相平面法观察和分析典型非线性环节的输出特性。二实验原理及说明实验以运算放大器为基本元件，在输入端和反馈网络中设置相应元件（稳压管、二极管、电阻和电容）组成各种典型非线性的模拟电路，模拟电路见图3-4-5 图3-4-8所示。1继电特性理想继电特性的特点是：当输入信号大于0时，输出U0=+M，输入信号小于0，输出U0=-M。理想继电特性如图3-4-1所示，模拟电路见图3-4-5，图3-4-1中M值等于双向稳压管的稳压值。 图3-4-1 理想继电特性 图3-4-2 理想饱和特性注：由于流过双向稳压管的电流太小（4mA），因此实际M值只有3.7V。实验步骤： （1）将信号发生器（B1）的幅度控制电位器中心Y测孔，作为系统的-5V+5V输入信号（Ui）：B1单元中的电位器左边K3开关拨上（-5V），右边K4开关也拨上（+5V）。 （2）模拟电路产生的继电特性：继电特性模拟电路见图3-4-5。图3-4-5 继电特性模拟电路 构造模拟电路：按图3-4-5安置短路套及测孔联线，表如下。（a）安置短路套 （b）测孔联线模块号跨接座号1A3S1，S122A6S2，S61信号输入B1（Y） A3（H1）2运放级联A3（OUT）A6（H1）3示波器联接A6（OUT）CH1（送Y轴显示）4A3（H1）CH2（送X轴显示） 观察模拟电路产生的继电特性：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项慢慢调节输入电压（即调节信号发生器B1单元的电位器，调节范围-5V+5V），观测并记录示波器上的U0Ui图形，如下图：由图得M=3.77V（3）函数发生器产生的继电特性 函数发生器的波形选择为继电，调节“设定电位器1”，使数码管右显示继电限幅值为3.7V。 测孔联线：信号发生器（B1）函数发生器(B5)示波器输入端(B3)幅度控制电位器（Y）B5（非线性输入）CH2（送X轴显示）B5（非线性输出）CH1（送Y轴显示） 观察函数发生器产生的继电特性：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项慢慢调节输入电压（即调节信号发生器B1单元的电位器，调节范围-5V+5V），观测并记录示波器上的U0Ui图形。实验结果如下实验二 二阶非线性控制系统一实验要求1 了解非线性控制系统的基本概念。2 掌握用相平面图分析非线性控制系统。3 观察和分析三种二阶非线性控制系统的相平面图。二实验原理及说明1. 非线性控制系统的基本概念 在实际控制系统中，几乎都不可避免的带有某种程度的非线性，在系统中只要有一个非线性环节（详见第3.4.1节典型非线性环节），就称为非线性控制系统。在实际控制系统中，除了存在着不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或简化系统的结构，还要人为的在系统中插入非线性部件，构成非线性系统。例如采用继电器控制执行电机，使电机始终工作于最大电压下，充分发挥其调节能力，可以获得时间最优控制系统；利用变增益控制器，可以大大改善控制系统的性能。线性控制系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与外作用和初始条件无关；反之，非线性控制系统的稳定性与输入的初始条件有着密切的关系。对于非线性控制系统，建立数学模型是很困难的，并且多数非线性微分方程无法直接求得解析解，因此通常都用相平面法或函数描述法进行分析。2. 用相平面图分析非线性控制系统相平面法也是一种时域分析法，它能分析系统的稳定性和自振荡，也能给出系统的运动轨迹。它是求解一、二阶常微分方程的一种几何表示法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象的转化为相平面上的一个点的移动，通过研究这个点的移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息。即用时间t作为参变量，用和的关系曲线来表示。利用相平面法分析非线性控制系统，首先必须在相平面上选择合适的坐标，在理论分析中均采用输出量c及其导数，实际上系统的其它变量也同样可用做相平面坐标；当系统是阶跃输入或是斜坡输入时，选取非线性环节的输入量，即系统的误差，及其它的导数作为相平面坐标，会更方便些。本实验把系统的误差送入虚拟示波器的CH2（水平轴），它的导数送入示波器的CH1（垂直轴），在示波器上显示该系统的相平面图。相轨迹表征着系统在某个初始条件下的运动过程，当改变阶跃信号的幅值，即改变系统的初始条件时，便获得一系列相轨迹。根据相轨迹的形状和位置就能分析系统的瞬态响应和稳态误差。一簇相轨迹所构成的图叫做相平面图，相平面图表征系统在各种初始条件下的运动过程。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，二阶非线性控制系统的相轨迹是一簇趋向于原点的螺旋线。描述函数法分析非线性控制系统可详见第3.4.3节三阶非线性系统。3 典型二阶非线性控制系统研究（1）继电型非线性控制系统继电型非线性控制系统原理方框图如图3-4-9所示，图3-4-16是该系统的模拟电路。 图3-4-9 继电型非线性控制系统原理方框图图3-4-9 所示非线性控制系统用下列微分方程表示： （3-4-3）式中T为时间常数（T=0.5），K为线性部分开环增益（K=1），M为稳压管稳压值。采用e和e为相平面座标，以及考虑 (3-4-4) (3-4-5)则式（3-4-3）变为 (3-4-6)代入T=0.5、K=1、以及所选用稳压值M，应用等倾线法作出当初始条件为 e(0)=r(0)-c(0)=r(0)=R时的相轨迹，改变r(0)值就可得到一簇相轨迹。继电型非线性控制系统相轨迹见图3-4-10所示。图3-4-10 继电型非线性系统相轨迹其中的纵坐标轴将相平面分成两个区域，（和）e轴是两组相轨迹的分界线，系统在+5V0阶跃信号输入下，在区域内，例如在初始点A开始沿相轨迹运动到分界线上的点B，从B点开始在区域内，沿区域内的本轨迹运动到点C再进入区域，经过几次往返运动，若是理想继电特性，则系统逐渐收敛于原点。（2）带速度负反馈的继电型非线性控制系统带速度负反馈的继电型非线性控制系统原理方框图如图3-4-11所示，图3-4-18是该系统的模拟电路。图3-4-11 带速度负反馈的继电型非线性控制系统原理方框图 带速度负反馈的继电型非线性控制系统相轨迹见图3-4-12，图中分界线由方程式（3-4-7）确定。 （3-4-7）式中ks为反馈系数（图3-4-12中ks=0.1）。由于局部反馈的加入，使得原开关分界线 轴逆时钟转动了度，这样便使转换时间提前。该图是系统在+5V0阶跃信号输入下得到的。显然，继电型非线性系统采用速度反馈可以减小超调量MP，缩短调节时间tS，减小振荡次数。图3-4-12 带速度负反馈的继电型非线性控制系统相轨迹三实验步骤及内容1.继电型非线性控制系统继电型非线性控制系统模拟电路见图3-4-16所示， 图3-4-16 继电型非线性控制系统模拟电路实验步骤：（1）用信号发生器（B1）的阶跃信号输出 和幅度控制电位器构造输入信号（Ui）： B1单元中电位器的左边K3开关拨下（GND），右边K4开关拨下（0/+5V阶跃），按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮，L9灯亮，调整幅度控制电位器使之阶跃信号输出（B1-2的Y测孔）为2.5V左右。（2）将函数发生器（B5）单元的非线性模块中的继电特性作为系统特性控制。调节非线性模块： 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中继电特性（继电特性指示灯亮）。 调节“设定电位器1”，使之幅度 = 3.6V（D1单元右显示）。（3）构造模拟电路：按图3-4-16安置短路套及测孔联线，表如下。（a）安置短路套 （b）测孔联线 模块号跨接座号1A1S4，S82A5S5，S7，S103A6S5，S11，S121信号输入r(t)B1（Y）A1（H1）2联接非线性模块A1（OUT）B5(非线性输入)3B5(非线性输出)A5（H1）4运放级联A5A（OUTA）A6（H1）5负反馈A6（OUT）A1（H2）（4）虚拟示波器（B3）的联接：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项。示波器输入端信号输出端CH1（选X1档）A5A单元的OUT A（Y轴显示）CH2（选X1档A1单元的OUT （X轴显示）（5）运行、观察、记录： 运行LABACT程序，选择自动控制菜单下的非线性系统的相平面分析下的二阶非线性系统实验项目，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器（B3）单元的CH1、CH2测孔测量波形。按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（+2.5V0阶跃），先选用虚拟示波器（B3）普通示波方式观察CH1、CH2两个通道所输出的波形，尽量使之不要产生限幅现象，时域图见图：然后再选用X-Y方式（这样在示波器屏上可获得e-e相平面上的相轨迹曲线）观察相轨迹，并记录系统在e-e平面上的相轨迹。继电型非线性控制系统相平面图见下图：继电型非线性控制系统的振荡次数=10。2 带速度负反馈的继电型非线性控制系统带速度负反馈的继电型非线性控制系统的模拟电路见图3-4-18。图3-4-18 带速度负反馈的继电型非线性控制系统模拟电路实验步骤： （1）用信号发生器（B1）的阶跃信号输出 和幅度控制电位器构造输入信号（Ui）： B1单元中电位器的左边K3开关拨下（GND），右边K4开关拨下（0/+5V阶跃），按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮，L9灯亮，调整幅度控制电位器使之阶跃信号输出（B1-2的Y测孔）为2.5V左右。（2）将函数发生器（B5）单元的非线性模块中的继电特性作为系统特性控制。调节非线性模块： 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中继电特性（继电特性指示灯亮）。 调节“设定电位器1”，使之幅度 = 3.6V（D1单元右显示）。（3）构造模拟电路：按图3-4-18安置短路套及测孔联线，表如下。（a）安置短路套 （b）测孔联线 模块号跨接座号1A1S4，S82A3S1，S63A4S2，S64A5S5，S7，S105A6S5，S11，S121信号输入r(t)B1（Y）A1（H1）2运放级联A1（OUT）A4（H1）3联接非线性模块A4（OUT)B5(非线性输入)4B5(非线性输出)A3（H1）5运放级联A3（OUT）A5（H1）6运放级联A5A（OUTA）A6（H1）7负反馈A5A（OUTA）A4（H2）8负反馈A6（OUT）A1（H2）（4）虚拟示波器（B3）的联接：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项。示波器输入端信号输出端CH1（选X1档）A5A单元的OUT A（Y轴显示）CH2（选X1档）A1单元的OUT （X轴显示）（5）运行、观察、记录：运行程序同1继电型非线性控制系统。带速度负反馈的继电型非线性控制系统时域图见图：带速度负反馈的继电型非线性控制系统相平面图见图：振荡次数1次实验三 三阶非线性控制系统一实验要求1 了解和掌握非线性控制系统重要特征自激振荡，极限环的产生及性质。2 了解和掌握用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性和自振荡的原理。3 观察和分析二种三阶非线性控制系统的相平面图。二实验原理及说明1 非线性控制系统重要特征自激振荡非线性控制系统在符合某种条件下，即使没有外界变化信号的作用，也能产生固有振幅和频率的稳定振荡，其振幅和频率由系统本身的特性所决定；如有外界扰动时，只要扰动的振幅在一定的范围内，这种振荡状态仍能恢复。这种自振荡只与系统的结构参数有关，与初始条件无关。对于非线性系统的稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并且可以测量得到。振幅可用负倒特性曲线-1/N(A)曲线的自变量A的大小来确定，而振荡频率由线性部分的G（j）曲线的自变量来确定。注：所得的振幅和频率是非线性环节的输入信号的振幅和频率，而不是系统的输出信号。产生自振荡的条件为： （3-4-20）产生自激振荡在三阶非线性控制系统中是常见的，因此在这里作详细说明。注：线性控制系统虽能也能产生等幅振荡，但这是在临界稳定的情况下才能产生，一旦系统系数发生微小变化，这种临界状就将被破坏，振荡将消失。2 极限环的研究 在非线性控制系统出现的自振荡现象，在相平面图中将会看到一条封闭曲线，即极限环。 极限环的类型有： 稳定的极限环 当 t 时，相轨迹从内部或外部卷向极限环。不稳定的极限环当 t 时，相轨迹从极限环向内或向外卷离。半稳定的极限环当 t 时，如果起始于极限环内（外）部的相轨迹卷向极限环，而起始于环限环外（内）部的相轨迹卷离极限环。在一些复杂的非线性控制系统中，有可能出现两个或两个以上的极限环。3 用描述函数法分析非线性控制系统 描述函数的定义非线性环节的描述函数的定义为非线性环节的输入正弦波信号与稳态输出的基波分量的复数比。描述函数法是非线性控制系统的一种近似分析法。只能用于分析无外作用的情况下，非线性控制系统的稳定性和自振荡问题。它是一种频域分析法，其实质是应用谐波线性化的方法，通过描述函数将非线性元件的特性线性化，然后用频率法的一些结论来研究非线性控制系统。描述函数表达了非线性元件对正弦（基波）的传递能力，由于大多数不包含储能元件，它们输出与输入频率无关。所以常见的描述函数仅是非线性环节输入正弦波信号幅值A的函数，用N（A）来表示。非线性控制系统典型结构图是一个非线性环节和一个线性环节串联，如图3-4-26所示 图3-4-26 非线性控制系统典型结构图由图3-4-26的结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性：= (3-4-21)从特征方程 可以得到式(3-4-22) 即 （3-4-22）称之为非线性特性的负倒描述函数。 描述函数的应用对比在线性系统分析中，应用奈氏判据，当满足G(j)= 1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然式（3-4-22）中的-1/ N(A)相当于线性系统中的（-1，j0）点，其区别在于确定系统产生等幅振荡的临界点不在是一个固定的点，而是随着输入信号幅值A的变化的一条负倒描述函数曲线。推广的奈氏判据可叙述如下：若G(j)曲线不包围负倒描述函数1/ N(A)曲线，则非线性控制系统是稳定的，两者距离越远，稳定程度越高。如G(j)曲线与负倒描述函数1/ N(A)相交，则非线性控制系统中存在着周期运动（极限环）它可以是稳定的，也可以是不稳定的。 应用描述函数法的限制条件 非线性控制系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N(A)和一个线性部份G(S)相串联的典型形式,见图3-4-26所示。 非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即y(x)=-y(-x),以保证非线性特征在正弦信号作用下的输出不包含恒定分量，也就是输出响应的平均值为零。 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能，这样当正弦波信号输入非线性环节时，输出中高次谐波分量将被大大削弱，因此闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通，致使应用描述函数法所得的分析结果比较正确。4 用相平面图分析非线性控制系统对于二阶系统，相平面图含有系统运动的全部信息，对于高阶系统，相平面图虽然不包含系统运动的全部信息，但是相平面图表征了系统某些状态的运动过程，而用实验法可以直接获得系统的相轨迹，因此它对于高阶系统的研究也是有用的，用相平面图分析非线性控制系统，详见第3.4.2节二阶非线性系统。5 典型三阶非线性控制系统研究 继电型非线性三阶控制系统继电型非线性三阶控制系统原理方块图如图3-4-27所示，图3-4-31是该系统的模拟电路。应用描述函数法分析图3-4-27所示继电型非线性三阶控制系统的稳定性，为此在复平面G(S)上分别画出线性部分G(j)轨迹和非线性元件的-1/N(A)轨迹，然后分析系统的稳定性，若存在极限环则求出极限环的振幅和频率（或周期）。图3-4-27 继电型非线性三阶控制系统三实验内容及步骤本实验把系统的误差送入虚拟示波器的CH2（水平轴），它的导数送入示波器的CH1（垂直轴），在该示波器显示界面中提供了时域显示（示波）和相平面显示（X-Y）两种方式，皆可观测继电型、饱和型三阶非线性控制系统的自激振荡（极限环），读出其自激振荡角频率A或周期T和振荡振幅值A。1)继电型非线性三阶控制系统继电型非线性三阶控制系统模拟电路见图3-4-31所示。图3-4-31 继电型非线性三阶控制系统模拟电路实验步骤： CH1、CH2选X1档！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。（2）将函数发生器（B5）单元的非线性模块中的继电特性作为系统特性控制。调节非线性模块： 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中继电特性（继电特性指示灯亮）。 调节“设定电位器1”，使之幅度 = 3.6V（D1单元右显示）。（3）构造模拟电路：按图3-4-31安置短路套及测孔联线，表如下。（a）安置短路套 （b）测孔联线1信号输入（r(t)）B1（0/+5V）A1（H1）2运放级联A1（OUT）A3（H1）3联接非线性模块A3（OUT）B5(非线性输入)4B5(非线性输出)A4（H1）5运放级联A4（OUT）A5（H1）6运放级联A5A（OUTA）A6（H1）7负反馈A6（OUT）A1（H2）模块号跨接座号1A1S4，S82A3S1，S63A4S5，S7，S8，S104A5S5，S7，S105A6S5，S11，S12（4）虚拟示波器（B3）的联接：观察时要用虚拟示波器中的X-Y选项（获得e-e相平面上的相轨迹曲线）。示波器输入端信号输出端CH1（选X1档）A5A单元的OUTA（Y轴显示）CH2（选X1档）A1单元的OUT（X轴显示）（4）运行、观察、记录： 运行LABACT程序，选择自动控制菜单下的非线性系统的相平面分析下的三阶非线性系统实验项目，弹出虚拟示波器界面，点击开始，即可使用虚拟示波器（B3）单元的观测波形。 按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（+5V0阶跃），先选用虚拟示波器（B3）普通示波方式观察CH1、CH2两个通道所输出的波形，时域图见图： 然后再选用X-Y方式（这样在示波器屏上可获得e-e相平面上的相轨迹曲线）观察相轨迹，并记录系统在e-e平面上的相轨迹；测量自激振荡（极限环）的振幅和周期。相平面图见图：