[工学]现代电力系统分析--第四章最优潮流.ppt

第四章 电力系统最优潮流,1,第四章 电力系统最优潮流,一、最优潮流问题概述二、非线性规划问题数学模型三、最优潮流算法简介四、简化梯度算法五、解耦最优潮流算法六、最优潮流的内点法七、动态无功优化的非线性原对偶内点法,第四章 电力系统最优潮流,2,通过一次潮流计算得到电力系统的一个运行状态，这种潮流计算称为常规潮流计算。它可以归结为针对一定的扰动变量（负荷情况），根据给定的控制变量（发电机的有功出力、无功出力或节点电压模值等），求出相应的状态变量（节点电压模值及角度）。,一、最优潮流问题（OPF-Optimal Power Flow）概述,最优潮流与基本潮流计算的区别,常规潮流计算的结果,满足潮流方程式或者变量间的等式约束条件。,第四章 电力系统最优潮流,3,最优潮流与基本潮流计算的区别,(1)常规潮流计算决定的运行状态，可能由于某些 状态或作为 函数的其它变量超出它们的 运行限值，因而在技术上是不可行的。对此，实际常用的方法是调整某些控制变量的给定值，重新进行基本潮流计算，这样反复进行，直到 所有的约束条件都满足为止。这样便得到了一 个技术上可行的潮流解。,常规潮流计算存在两种问题,第四章 电力系统最优潮流,4,(2)对某一种负荷情况，理论上存在众多的、技术 上都能满足要求的可行潮流解。这里每一个可 行潮流解，对应于系统的一个特定的运行方式，具有相应总体的经济上或技术上的性能指标（如系统总的燃料消耗量、系统总的网损等）。,常规潮流计算存在两种问题,为了优化系统的运行，需要从所有可行潮流 解中挑选出上述性能指标最佳的一个方案，这就 是最优潮流问题。,第四章 电力系统最优潮流,5,（1）基本潮流计算时，控制变量 事先给定；而 最优潮流中，则是待优选的变量，因此在最 优潮流模型中必然有一个作为 优选准则的 目标函数。（2）最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约 束条件之外，还必须满足与运行限制有关的 大量不等式约束条件。,最优潮流与基本潮流计算的区别,第四章 电力系统最优潮流,6,（3）基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而 最优潮流计算从数学上讲，是一个非线性规 划问题，因此需要采用最优化方法来求解。（4）基本潮流计算完成的只是一种计算功能，即 从给定的 求出相应的；而最优潮流计算 是根据特定目标函数并满足相应约束条件的 情况下，自动优选控制变量，具有指导系统 进行优化调整的决策功能。,最优潮流与基本潮流计算的区别,第四章 电力系统最优潮流,7,建立在严格数学基础上的最优潮流模型，首先是由法国学者Carpentier于20世纪60年代提出的。由于基于协调方程式的经典经济调度方法，虽然具有方法简单、计算速度快、适宜于实时应用等优点，但协调方程式在处理节点电压越界及线路过负荷等安全约束的问题上却显得无能为力。而以数学规划问题作为基本模式的最优潮流，在约束条件的处理上具有很强的能力。,最优潮流与经济调度的区别,第四章 电力系统最优潮流,8,最优潮流，能够在模型中引入能表示成状态变量u和控制变量x函数的各种不等式约束，将电力系统对于经济性、安全性以及电能质量三方面的要求，完美地统一起来。,最优潮流与经济调度的区别,最优潮流应用广泛。针对不同的应用，最优潮流模型可以选择不同的控制变量、状态变量集合、不同的目标函数，以及不同的约束条件。,主要构成,第四章 电力系统最优潮流,9,最优潮流与经济调度的区别,最优潮流，就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的性能指标或目标函数达到最优的潮流分布带约束的优化问题。,前提条件：,（1）各火电（核电）投运机组已知（不解决机组开停问题）；（2）各水电机组出力已定（由水库经济调度决定）；（3）电力网结构确定（不考虑电力网重构问题）。,第四章 电力系统最优潮流,10,一、最优潮流问题概述,最优潮流算法中的变量,状态变量,控制变量,变量,调度人员可以调整、控制的变量,通过潮流计算确定,常用的控制变量有：（1）平衡节点以外的发电机的有功出力；（2）所有发电机（包括平衡节点）及可调无功补 偿设备的无功出力或相应节点的电压幅值；（3）带负荷调压变压器/移相器的变比。,第四章 电力系统最优潮流,11,状态变量由需经潮流计算才能求得的变量组成。常见的有：(1)除平衡节点外，其它所有节点的电压相角；(2)除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点 之外，其它所有节点的电压幅值。,最优潮流算法中的变量,当采用发电机节点及具有可调无功补偿设备节点的无功出力作为控制变量时，它们相应的节点电压幅值就要改作为状态变量。,第四章 电力系统最优潮流,12,一、最优潮流问题（OPF）概述,最优潮流的数学模型,最优潮流问题的研究，除提出采用不同的目标函数和约束条件而构成不同应用范围的最优潮流模型之外，更大量的是从改善收敛性能、提高计算速度等目的出发，提出最优潮流计算的各种模型和求解算法。,第四章 电力系统最优潮流,13,最优潮流的目标函数可以是任何一种按特定的应用目的而定义的标量函数，目前常见的目标函数有：,最优潮流的数学模型,目标函数,（1）全系统发电燃料总耗量（或总费用）,发电机组的耗量特性，可以采用线性、二次或更高次的函数关系式。,系统运行成本最小（调度运行研究），不考虑机组启动和停机费用。,第四章 电力系统最优潮流,14,由于平衡节点 的电源有功出力不是控制变量，其节点注入功率必须通过潮流计算才能决定，是节点电压幅值及相角的函数，于是有:,目标函数,注入节点S而通过与节点S相关的线路输出的有功功率,节点S 的负荷功率,平衡节点S的耗量特性,第四章 电力系统最优潮流,15,采用有功网损作为目标函数的最优潮流问题，除平衡节点外，其它发电机的有功出力都认为是给定不变的。因而对于一定的负荷,平衡节点的注入功率将随网损的变化而改变，于是平衡节点有功注入功率的最小化就等效于系统总的网损最小化，即。,目标函数,（2）有功网损,所有支路的集合,第四章 电力系统最优潮流,16,除此之外，最优潮流问题根据应用场合不同，还可采用其它类型的目标函数，如偏移量最小、控制设备调节量最小、投资及年运行费用之和最小等。,目标函数,最优潮流的目标函数不仅与控制变量有关，同时也和状态变量有关，因此可用简洁的形式表示为。,无功优化潮流（在减少系统有功损耗的同时，还可改善电压质量）。,第四章 电力系统最优潮流,17,最优潮流是经过优化的潮流分布，为此必须满足基本潮流方程，这就是最优潮流问题的等式约束条件。,最优潮流的数学模型,等式约束条件,扰动变量P，即负荷一般都是给定的.,第四章 电力系统最优潮流,18,最优潮流的内涵包括了系统运行的安全性及电能质量，另外可调控制变量本身也有一定的容许调节范围，为此在计算中要对控制变量以及通过潮流计算才能得到的其它量（状态变量及函数变量）的取值加以限制。这就产生了大量的不等式约束条件。,最优潮流的数学模型,不等式约束条件,第四章 电力系统最优潮流,19,(1）有功电源出力上、下限约束；(2）可调无功电源出力上、下限约束；(3）有载调压变压器/移相器变比调整范围约束；(4）节点电压幅值上、下限约束；(5）输电线路或变压器等元件的最大电流或最大 视在功率约束；(6）线路的最大有功或无功潮流约束；(7）线路两端节点电压相角差约束；(8）并联电抗器/电容器容量约束等。,不等式约束条件,第四章 电力系统最优潮流,20,电力系统最优潮流的数学模型可表示为,最优潮流的数学模型,在网络结构和参数以及系统负荷给定的条件下，确定系统的控制变量，满足各种等式约束、不等式约束，使得描述系统运行效益的某个给定目标函数取极值。,第四章 电力系统最优潮流,21,电力系统最优潮流 数学模型,最优潮流的数学模型,目标函数、等式约束、不等式约束 中的大部分约束都是非线性函数，因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题。,第四章 电力系统最优潮流,22,以除去平衡节点以外的所有有功电源出力及所有可调无功电源出力（或用相应的节点电压），还有带负荷调压变压器的变比作为控制变量，就是对有功及无功进行综合优化的通常泛称的最优潮流问题。,具有不同应用目的的最优潮流问题,最优潮流的数学模型,（1）目标函数采用发电燃料耗量（或费用）最小,第四章 电力系统最优潮流,23,（2）目标函数采用发电燃料耗量（或费用）最小,具有不同应用目的的最优潮流问题,仅以有功电源出力作为控制变量而将无功电源出力（或相应节点电压幅值）固定，则称为有功最优潮流。,(3）目标函数采用系统的有功网损最小,将各有功电源出力固定，而以可调无功电源出力（或相应节点电压幅值）及调压变压器变比作为控制变量，则称为无功优化潮流。,第四章 电力系统最优潮流,24,电力系统调度运行中常用的最优潮流数学模型,最优潮流的数学模型,耗量特性 多项式,第四章 电力系统最优潮流,25,电力系统调度运行中常用的最优潮流数学模型,电源有功出力上下限约束,无功电源出力上下限约束,节点电压上下限约束,节点集合,线路潮流约束,支路集合,第四章 电力系统最优潮流,26,如果，则称不等式约束为积极的；如果，则称不等式约束为非积极的。,二、非线性规划问题(Non linear Programming)数学模型,基于数学规划原理的非线性规划潮流算法,数学模型,目标函数：,约束条件：,最优化问题（1）,第四章 电力系统最优潮流,27,假设 为问题（1）的局部最优点，且线性独立约束限制(LICQ)在点 成立，则存在拉格朗日乘子 和，满足KKT条件。,拉格朗日乘子,非线性规划问题的一阶最优性条件,最优化问题（1）的拉格朗日函数定义为：,最优化问题（1）的一阶最优性必要条件是：,第四章 电力系统最优潮流,28,KKT条件(分别由3位科学家提出):,非线性规划问题的一阶最优性条件,第四章 电力系统最优潮流,29,非线性规划问题的一阶最优性条件,例题1,拉格朗日函数定义：,求非线性规划问题的解,无等式约束条件,有：,第四章 电力系统最优潮流,30,例题1,求非线性规划问题的解,无等式约束条件,第四章 电力系统最优潮流,31,例题1,求非线性规划问题的解,无等式约束条件,第四章 电力系统最优潮流,32,例题1,求非线性规划问题的解,无等式约束条件,第四章 电力系统最优潮流,33,假设 为问题（1）的局部最优点，且 LICQ在点 成立，和 为存在满足KKT条件的拉格朗日乘子，则：,基于数学规划原理的非线性规划潮流算法,非线性规划问题的二阶最优性条件,最优化问题（1）的二阶最优性必要条件是：,其中：,第四章 电力系统最优潮流,34,假设对 存在满足KKT条件的拉格朗日乘子 和，且则 为问题（1）的严格局部最优解。,非线性规划问题的二阶最优性条件,最优化问题（1）的二阶最优性充分条件是：,第四章 电力系统最优潮流,35,根据KKT条件，已解出，,接例题1,求非线性规划问题的解,因为：,显然 是正定的，且,故，为严格局部最优解。,第四章 电力系统最优潮流,36,因最优潮流计算模型中包含的变量数及等式约束方程数大，不等式约束的数目更多，且变量之间又存在着复杂的函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身于极其困难的大规模非线性规划的行列。,三、最优潮流算法,各种类型的大规模最优潮流计算问题的求解，就是要寻找能够快速、有效，特别是能够满足实时应用的方法。,第四章 电力系统最优潮流,37,非线性规划法（NLP-Nonlinear Programming）,三、最优潮流算法,求解在等式/不等式约束条件下目标函数的最优解。其目标或约束变量呈现非线性特性，约束条件由等式和/或不等式约束组成，分无约束规划和有约束规划。常见的有简化梯度法、转移罚函数法、改进牛顿变矩阵法等。,第四章 电力系统最优潮流,38,非线性规划法（NLP-Nonlinear Programming）,二次规划法（QP-Quadratic Programming）仅适用于求解目标函数为二次形式、约束条件为线性表达式的问题。可求解目标函数为费用的经济调度问题。该方法比较精确可靠，但计算时间随变量和约束条件数目的增加而急剧延长，它不适合求解临界可行问题（可能导致不收敛）。,特殊形式 二次规划法,第四章 电力系统最优潮流,39,线性规划法（LP-Linear Programming）,三、最优潮流算法,在一组线性束条件下，寻找线性目标函数的最大/最小值，是最优潮流问题的另一大类求解方法，应用最为广泛。通常把这个问题分解为有功功率和无功功率两个子优化问题，或进行交替迭代求解，或分别求解。,第四章 电力系统最优潮流,40,线性规划法（LP-Linear Programming）,常见的有单纯形法、对偶线性规划法（修正单纯形法）、内点法等。,求解安全约束的经济调度问题将成本目标函数和约束条件线性化后，用单纯形法求解。对偶线性规划技术，采用修正单纯形法求解最优潮流问题，与非线性规划相比，显示出非常有前途的计算性能。,第四章 电力系统最优潮流,41,人工智能方法,三、最优潮流算法,适合于离散变量的处理，寻找全局最优解。,进化规划、遗传算法（GA）,模仿生物进化过程得到的优化方法，适合于无功优化，擅长处理离散变量。,模拟退火算法,对常规寻优算法的修正做调整，允许一定概率的比前次解稍差的解作为当前解。,第四章 电力系统最优潮流,42,人工智能方法,模糊集理论,描述不确定性以及处理不同量纲、相互冲突的多目标优化问题，可解决具有可伸缩约束的多目标优化问题。,一般把约束分为硬约束和软约束，对软约束和目标函数模糊化。当最优解处于模糊区外时等效于无约束，采用逐次线性规划求解。,第四章 电力系统最优潮流,43,因最优潮流计算模型中包含的变量数及等式约束方程数大，不等式约束的数目更多，且变量之间又存在着复杂的函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身于极其困难的大规模非线性规划的行列。,四、简化梯度法（Reduced Gradient）,各种类型的大规模最优潮流计算问题的求解，就是要寻找能够快速、有效，特别是能够满足实时应用的方法。,第四章 电力系统最优潮流,44,简化梯度法在最优潮流领域内具有重要地位。它是以极坐标形式的牛顿潮流算法为基础，独立变量取系统的控制变量，用罚函数处理违约的函数不等式约束，用拉格朗日乘子法判别是否已到边界。,四、简化梯度法,第四章 电力系统最优潮流,45,简化梯度法是最优潮流问题被提出后，能够成功求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第一个（1968年）算法，它直到现在仍然还被看成是一种成功的算法而加以引用。,四、简化梯度法,第四章 电力系统最优潮流,46,对于仅有等式约束的最优潮流问题可表示为 应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束 中方程式数同样多的拉格朗日乘子，则构成无约束优化问题的拉格朗日函数为,四、简化梯度法,仅有等式约束条件时的算法构成,问题,第四章 电力系统最优潮流,47,采用经典的函数求极值的方法，可求得非线性规划问题的最优解。,仅有等式约束条件时的简化梯度算法构成,最优潮流的解必须同时满足,方程数目?,等于向量的维数,第四章 电力系统最优潮流,48,联立采用迭代下降算法，其基本思想是从一个初始点开始，确定一个搜索方向，沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后由新的点开始，再重复上述步骤，直到满足一定的收敛判据为止。,仅有等式约束条件时的简化梯度算法构成,最优解必须是同时满足求极值的三个非线性方程组的,第四章 电力系统最优潮流,49,这个迭代求解算法的基本要点如下。（1）令迭代计数；（2）假定一组控制变量；（3）由式（潮流方程求得相应的；（4）式中，（牛顿法潮流法的雅可比矩阵），可求出；,仅有等式约束条件时的简化梯度算法构成,第四章 电力系统最优潮流,50,（5）将求得的 及 代入式，则有（6）若，则说明这组解是最优解，计算结束。否则，转入下一步；（7），需按照能使目标函数下降的方向对 进行修正，然后回到步骤（3）。,仅有等式约束条件时的简化梯度算法构成,关键,第四章 电力系统最优潮流,51,重复上述过程，直到满足 为止，这样便求得了最优解。可以证明：是在满足等式约束条件即潮流方程的情况下，目标函数在维数最小的控制变量 空间上的的梯度向量，也称为简化梯度。,仅有等式约束条件时的简化梯度算法构成,第四章 电力系统最优潮流,52,梯度的概念,原意：,设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为W，在与其垂直距离的dy处该参数为W+dW，则dW称为该物理参数的梯度（变化率）。,（1）对单变量的实数函数，梯度只是一个导数；（2）对一个线性函数，梯度指函数曲线的斜率；（3）在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。,第四章 电力系统最优潮流,53,梯度的概念,标量场中某一点上的梯度，是指标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个方向最大的变化率。,梯度有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。,数学中引入梯度的作用，就是反映量变化的剧烈程度。在多元微积分中，还反映在哪个方向上变化最剧烈，梯度的方向表示，若朝梯度方向走，将会得到最快的下降速度。,第四章 电力系统最优潮流,54,若沿着函数在某点的负梯度方向前进时，函数值下降最快，即取负梯度作为每次迭代的搜索方向。,梯度法（最速下降法）,步长因子，其选择参见书42页图2-10,步长因子的选择对算法的收敛过程有很大影响，选得太小将使迭代次数增加，选得太大则将导致在最优点附近来回振荡。,第四章 电力系统最优潮流,55,自变量或控制变量的不等式约束，如,简化梯度算法中不等式约束条件的处理,状态变量 以及可表示为 和 的函数，如,超过其限值的控制变量强制在相应的限值上,罚函数法,第四章 电力系统最优潮流,56,在最优点 的简化梯度应满足,自变量或控制变量的不等式约束,第四章 电力系统最优潮流,57,罚函数法的基本思路是将不等式约束条件以惩罚项的形式引入目标函数而形成一个新的函数（惩罚函数），将有约束最优化问题求解转化成一系列无约束最优化问题求解（求极值方法），使最终求得的解点在满足约束条件的前提下能使原来的目标函数达到最小。,函数不等式约束,第四章 电力系统最优潮流,58,对于状态变量 的惩罚项为,状态变量x的不等式约束不满足时,惩罚项,构造惩罚函数,第四章 电力系统最优潮流,59,式中：为函数不等式约束数；为指定的正常数，称为罚因子，其数值可随着迭代而改变。,函数不等式约束 不满足时,构造惩罚函数,惩罚项,第四章 电力系统最优潮流,60,惩罚项的意义,对于一定的越界量，罚因子 值取得越大，惩罚项 的值也越大，从而使相应的越界约束条件重新得到满足的趋势也越强。,罚因子 在迭代过程中按该不等式约束被违规的次数，以一定的倍数（5-10倍）递增并逐渐趋于无穷大。,第四章 电力系统最优潮流,61,在采用罚函数法处理函数不等式约束以后，构造的拉格朗日函数为,简化梯度最优潮流算法的原理,相应 的极值条件,第四章 电力系统最优潮流,62,简化梯度最优潮流算法的原理,第四章 电力系统最优潮流,63,(1)算法原理简单，程序设计比较简便。,简化梯度最优潮流算法分析,(2)采用梯度法或最速下降法作为求最优点的搜索方向，最速下降法前后二次迭代的搜索方向总是互相垂直的，因此迭代点在向最优点接近的过程中，走的是曲折的路，即通称的锯齿现象。而且越接近最优点，锯齿越小，因此收敛速度很慢。,第四章 电力系统最优潮流,64,简化梯度最优潮流算法分析,(3)过大的罚因子可能导致海森矩阵呈现病态条 件，会使计算过程收敛性变坏。修正：使用Fletcher-Powell算法修正步长，在优化过程的每一步都要检查收敛性，使其得到一定改善。但由于梯度法本身的局限，优化过程仍存在振荡现象，影响效率。,第四章 电力系统最优潮流,65,许多文献提出了改进算法，如在求无约束极小点的搜索方向上，提出采用共轭梯度及拟牛顿方向。另外，每次迭代用牛顿法计算潮流，耗时很多，为此提出可用快速解耦法进行计算。,第四章 电力系统最优潮流,66,常规潮流汁算中快速解耦算法的成功促使人们联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有功、无功解耦技术，从而产生另一类最优潮流计算模型，称之为解耦最优潮流。即把最优潮流问题分解成为有功优化和无功优化两个子优化问题，这两个子优化问题可以独立地构成并求解，实现单独的有功或无功优化；也可以组合起来交替地迭代求解，实现有功、无功的综合优化。,五、解耦最优潮流算法（Decoupled OPF）,第四章 电力系统最优潮流,67,除上述 中所列的节点以外的其余节点电压模值。,按照与有功及无功问题的关联，首先将控制变量 分成 及 两组，状态变量也分成 及 两组,约束条件也分为 和 两组。除平衡节点外，其它发电机的有功出力。除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。,五、解耦最优潮流算法,所有发电机（包括平衡节点）及具有无功补偿 设备节点的电压模值，还有调压变压器变化。,第四章 电力系统最优潮流,68,无功子优化问题可以有不同的目标函数。如以节点电压偏离其规定值为最小，或者以无功备用在系统中的均匀分布以能够较好地应付可能受到的扰动为目标；也有侧重于经济性的考虑。目前，用得较多的是后者，以系统的有功损耗即以 作为目标函数。,有功子优化问题,第四章 电力系统最优潮流,69,与无功有关的控制变量 及状态变量 均作为常数处理，为。,有功子优化问题的数学模型：,有功子优化问题,目标函数通常为全系统发电燃料总耗量或总费用最小,第四章 电力系统最优潮流,70,等式约束表示节点有功功率方程组；不等式约束可包括以上提到的有关控制变量 及状态变量 的不等式约束，另外还可以包括能表示成 函数（如平衡节点的有功功率以及线路有功潮流等）的不等式约束条件。,有功子优化问题,第四章 电力系统最优潮流,71,无功子优化问题的数学模型：,无功子优化问题,等式约束表示节点无功功率方程组；不等式约束中包括以上提到的有关控制变量 及状态变量 的不等式约束，另外还可以包括能表示成 函数（如平衡节点的无功功率以及线路无功潮流等）的不等式约束条件。,第四章 电力系统最优潮流,72,（1）通过初始潮流计算，设定。（2）令，迭代计数。,有功、无功综合优化的解耦最优潮流计算，要交替地迭代求解这两个子问题，其步骤如下：,有功无功综合优化的解耦最优潮流求解步骤,（3）保持 及 不变，解有功子优化问题，得到 的最优值 及相应的。（4）令，。,第四章 电力系统最优潮流,73,（5）保持 及 数值不变，解无功子优化问题，得 的最优值 及相应的。（6）检验，是否 满足。（7）若满足收敛条件，计算结束；否则令，。（8），转向步骤（3）。,有功无功综合优化的解耦最优潮流求解步骤,第四章 电力系统最优潮流,74,通过解耦或分解，优化过程变为两个规模近似减半的子问题串行迭代求解，这样的算法能在内存节约以及减少计算时间方面取得相当的效果。因此，在考虑具有实时运行要求的，特别是大规模电力系统的最优潮流算法时，采用这种解耦的最优潮流计算模型是一种很好的选择。,有功无功综合优化的解耦最优潮流算法分析,第四章 电力系统最优潮流,75,从子优化问题的数学模型可见，它和最优潮流的一般模型完全相似，因此求解最优潮流的各种方法都能在这里应用。如采用非线性规划、二次规划以及线性规划的各种算法模型。解耦最优潮流还容许根据两个子优化问题的特性采用不同的求解算法，进一步提高算法的性能，这也是采用解耦最优潮流的一个重要理由。,有功无功综合优化的解耦最优潮流算法分析,第四章 电力系统最优潮流,76,线性规划的求解过程十分稳定可靠，计算速度快，容易处理各种约束条件。而电力系统的有功分量和有功潮流方程有着良好的线性关系，线性化程度较高，为此实用的有功优化潮流往往采用线性规划方法来求解，如单纯形法、对偶线性规划法（修正单纯形法）、内点法等。,有功无功综合优化的解耦最优潮流算法分析,第四章 电力系统最优潮流,77,因此，解耦最优潮流的算法可以按照有功子优化问题采用线性规划（LP-Linear Programming），而无功子优化问题采用非线性规划的方式来组成，进一步提高计算效率。,有功无功综合优化的解耦最优潮流算法分析,第四章 电力系统最优潮流,78,六、最优潮流问题的内点法,大规模线性规划问题可将其转化为非线性规划问题，内点法作为其重要代表已成为求解线性规划问题的经典优化方法之一。内点法求解大规模系统的优化问题时，计算速度较快，已推广到非线性规划领域。,第四章 电力系统最优潮流,79,六、最优潮流问题的内点法,最初的基本思路,希望寻优迭代过程始终在可行域内进行，故初始点应取在可行域内，并在可行域的边界设置“障碍”使迭代点接近边界时，其目标函数值迅速增大，从而保证迭代点均为可行域的内点。,第四章 电力系统最优潮流,80,对大规模实际问题，因寻找可行“初始点”困难，该方法致力于对内点算法“初始”内点条件的改进。,跟踪中心轨迹内点法（Path Following）,只要求在寻优过程中松弛变量和拉格朗日乘子满足简单的大于零或小于零的条件，即可迭代原来必须在可行域内求解的要求，使计算过程大为简化。,基本思想,第四章 电力系统最优潮流,81,非线性等式约束条件（即潮流方程）：,非线性不等式约束条件：,数学模型,跟踪中心轨迹内点法,含不等式约束的优化问题,第四章 电力系统最优潮流,82,（1）将不等式约束转化为等式约束,松弛变量（r 个）：,原优化问题转化：,求解方法,优化问题 A,含不等式约束,第四章 电力系统最优潮流,83,（2）将优化问题A转化为只含等式约束的优化问题,扰动因子 或障碍常数（r个）,障碍函数,使障碍函数在可行域内接近于原目标函数，而在边界时变得很大 最优解（极小值）不在边界上。,优化问题B,等式约束,第四章 电力系统最优潮流,84,（3）利用拉格朗日乘子法求解优化问题B,构建拉格朗日函数：,拉格朗日乘子：,第四章 电力系统最优潮流,85,拉格朗日函数L极小值存在的条件,条件,条件,条件,条件,条件,条件,需同时满足,第四章 电力系统最优潮流,86,式中：,对偶间隔,条件,条件,第四章 电力系统最优潮流,87,式中：中心参数，一般取,对偶间隔():,将每次迭代中Gap变化情况绘成曲线，可显示出内点法最优潮流的收敛特性。,建议采用,使收敛性变好,可行域,到边界,已在可行域找到最优解,第四章 电力系统最优潮流,88,（4）利用牛顿法求解极值的必要条件（非线性方程组）,将必要条件线性化，得修正方程组：,式中：,(4r+m+n)(4r+m+n),第四章 电力系统最优潮流,89,修正方程变形为：,式中：海森矩阵,常数矩阵,第四章 电力系统最优潮流,90,步长为：,（5）解修正方程组，得修正量迭代公式,第四章 电力系统最优潮流,91,例题2 求简单电力系统的最优潮流,系统接线示意图,第四章 电力系统最优潮流,92,1、线路传输功率边界（SB=100MVA）,2、母线电压上、下限分别为1.1和0.9,例题2 求简单电力系统的最优潮流,第四章 电力系统最优潮流,93,3、发电机出力边界及耗量特性（SB=100MVA）,状态变量：,控制变量：,其中：,例题2 求简单电力系统的最优潮流,第四章 电力系统最优潮流,94,一、数学模型,1、目标函数 耗量最小,2、等式约束条件,发电机节点：,接于节点 i 的第 k 台发电机,第四章 电力系统最优潮流,95,2、等式约束条件,非发电机节点：,（共10个）,第四章 电力系统最优潮流,96,3、不等式约束条件,（共14个）,式中：,第四章 电力系统最优潮流,97,二、形成修正方程的系数矩阵,1、等式约束雅可比矩阵,其中：,第四章 电力系统最优潮流,98,其中：,1、等式约束雅可比矩阵,第四章 电力系统最优潮流,99,1、等式约束雅可比矩阵,第四章 电力系统最优潮流,100,2、不等式约束雅可比矩阵,第四章 电力系统最优潮流,101,3、不等式约束雅可比矩阵,对发电机有功出力约束：,对发电机无功出力约束：,第四章 电力系统最优潮流,102,对节点电压的约束：,对线路常数功率的约束：,3、不等式约束雅可比矩阵,第四章 电力系统最优潮流,103,式中：,3、不等式约束雅可比矩阵,对线路常数功率的约束：,第四章 电力系统最优潮流,104,3、不等式约束雅可比矩阵,对线路常数功率的约束：,第四章 电力系统最优潮流,105,4、对角矩阵,5、海森矩阵,式中：,目标函数的海森矩阵,等式约束的海森矩阵,不等式约束的海森矩阵,拉格朗日乘子,第四章 电力系统最优潮流,106,由不等式约束雅克比矩阵 和对角阵，可求出,5、海森矩阵,第四章 电力系统最优潮流,107,目标函数的海森矩阵,5、海森矩阵,第四章 电力系统最优潮流,108,等式约束雅克比矩阵 与拉格朗日乘 子 的乘积,5、海森矩阵,式中：,第四章 电力系统最优潮流,109,其中：,第四章 电力系统最优潮流,110,第四章 电力系统最优潮流,111,其中：,第四章 电力系统最优潮流,112,第四章 电力系统最优潮流,113,于是，可表示出 中各元素，如：,第四章 电力系统最优潮流,114,不等式约束雅克比矩阵 与拉格朗日乘子 的乘积,第一项+第二项+第三项+第四项,5、海森矩阵,第四章 电力系统最优潮流,115,第一项+第二项+第三项+第四项,第一项为：,5、海森矩阵,第四章 电力系统最优潮流,116,第二项为：,第一项+第二项+第三项+第四项,第四章 电力系统最优潮流,117,第三项为：,第一项+第二项+第三项+第四项,第四章 电力系统最优潮流,118,第四项为：,第一项+第二项+第三项+第四项,第四章 电力系统最优潮流,119,6、形成常数项,至此，拉格朗日函数L极小值存在条件可方便地求出来了。,目标函数的梯度矢量：,第四章 电力系统最优潮流,120,三、寻优过程说明,1、设优化问题各变量的初值：,平衡节点电压,其他节点电压,发电机出力,无功电源的无功出力,第四章 电力系统最优潮流,121,2、设置松弛变量，保证：,松弛变量,拉格朗日乘子,3、设置拉格朗日乘子，满足：,4、给定计算精度，迭代次数初值，最大迭代次数50次：,第四章 电力系统最优潮流,122,三、寻优过程说明,5、迭代求解17次，第一次迭代值（表1-表4）及 迭代过程中各变量变化情况（表5-表7）为：,表1 Lx 在第一次迭代后的取值,第四章 电力系统最优潮流,123,三、寻优过程说明,表2 Ly 在第一次迭代后的取值,表3 LZ 在第一次迭代后的取值,第四章 电力系统最优潮流,124,三、寻优过程说明,表4 Lw 在第一次迭代后的取值,第四章 电力系统最优潮流,125,1、由于1机组比2机组的燃料耗费曲线系数小，故1号 机组有功出力增加，2号机组的有功出力减少。2、系统的无功出力增加。？,四、OPF计算结果与常规潮流计算结果比较,表5 各有功电源的有功出力及无功电源的无功出力,结论：,体现了优化,网损增加,第四章 电力系统最优潮流,126,表6 各节点电压相量,3、系统的网损、无功出力都有所增加的原因是：要将1节点电压抬高至其下限以满足不等式约束要求 而产生的副作用。,结论：,四、OPF计算结果与常规潮流计算结果比较,第四章 电力系统最优潮流,127,结论：,表7 各支路有功功率,4、优化后各支路潮流值改变，但所有支路功率均未越限。,四、OPF计算结果与常规潮流计算结果比较,第四章 电力系统最优潮流,128,表8 各有功电源的有功出力及无功电源的无功出力(固定1号发电机有功出力),优化了系统无功，无功出力减少0.2339，即减少了23.39Mvar。,网损减少了1.78MW，使整个系统的燃料费用减少了27.27。,四、OPF计算结果与常规潮流计算结果比较,第四章 电力系统最优潮流,129,节点1的电压提高至0.9129，使整个系统无功出力减少23.39Mvar。,表9 各节点电压相量(固定1号发电机有功出力),四、OPF计算结果与常规潮流计算结果比较,第四章 电力系统最优潮流,130,七、求解动态无功优化问题的非线性原 对偶内点法（内嵌罚函数）,动态无功优化问题是指在网络结构参数、未来一天各负荷母线的有功和无功电源出力给定的情况下，通过调节发电机和无功补偿设备（如并联电容器组）的无功出力以及有载调压变压器的分接头，在满足各种物理和运行约束的条件下，使整个电网的全天电能损耗最小。,第四章 电力系统最优潮流,131,动态无功优化过程中需解决的两个难点：(1)实现电容器组无功出力和变压器变比的离散化，才能准确地计及控制设备动作次数，并将其反映到优化计算过程中，使动作次数约束起作用。(2)核心问题准确计及并联电容器组和有载调压变压器分接头动作次数的约束，有效解决方法可将动作次数约束用控制变量的数学表达式描述。,第四章 电力系统最优潮流,132,数学模型,将全天等分为24个时段，从而将各负荷母线的全天有功和无功变化曲线分为24段，并认为各时段中的负荷功率保持恒定。,目标函数,系统全天电能 损耗最小,t时段离散有约束变量向量,t时段连续有约束变量向量,t时段无约束变量向量,第四章 电力系统最优潮流,133,数学模型,p=u+r,第t时段可投切电容器组的无功出力列向量,第t时段有载调压变压器变比列向量,装设可投切电容器组的节点数,有载调压变压器台数,第四章 电力系统最优潮流,134,数学模型,q=m+n,第t时段发电机的无功出力列向量,第t时段节点电压幅值列向量,系统节点数,可调发电机台数,第四章 电力系统最优潮流,135,数学模型,第t时段由平衡节点有功出力和其他节点电压相角构成的列向量，其中设节点1为平衡节点。,等式约束,第t时段节点功率平衡方程组，,第四章 电力系统最优潮流,136,数学模型,不等式约束,各控制设备各个时段的动作次数为：该时间段末端和首端的无功出力（变比值）之差的绝对值除以其调节步长。,控制设备全天24小时内的动作次数约束方程,第四章 电力系统最优潮流,137,数学模型,不等式约束,控制设备全天24小时内的动作次数约束方程,第四章 电力系统最优潮流,138,优化算法,(1)引入松弛变量，将不等式约束条件转变为等式约束条件,较好地处理了电容器组无功出力 和变压器变比 的离散化；,松弛变量,第四章 电力系统最优潮流,139,优化算法,(2)引入对数壁垒函数消去松弛变量的非负性约束，并对等式约束引入拉格朗日乘子，针对离散变量引入二次罚函数，构造拉格朗日函数；,罚因子,壁垒参数,离散有约束变量,离散有约束变量 的邻域中心,拉格朗日乘子列向量,第四章 电力系统最优潮流,140,优化算法,(2)构造拉格朗日函数：,其中：,拉格朗日乘子列向量,第四章 电力系统最优潮流,141,优化算法,(3)KKT条件：,为 的雅可比子矩阵,为 的雅可比子矩阵,以各罚因子为对角元素对角矩阵,离散有约束变量x1(t)相应的邻域中心列向量,分析见后面,第四章 电力系统最优潮流,142,优化算法,(3)KKT条件：,第四章 电力系统最优潮流,143,优化算法,(3)KKT条件：,单位列向量,单位列向量,第四章 电力系统最优潮流,144,优化算法,(4)对满足KKT条件的非线性方程组在初始点附近进行Taylor 级数展开，忽略二阶及以上项，可形成分块矩阵形式的 修正方程，对其求解可得各变量的修正方向：,第四章 电力系统最优潮流,145,局部原变量 采用一个步长,优化算法,(5)迭代步长：,全局原变量 采用一个步长,第四章 电力系统最优潮流,146,优化算法,(5)迭代步长：,局部对偶变量 采用一个步长,全局对偶变量 采用一个步长,第四章 电力系统最优潮流,147,，且相邻两次迭代的离散变量变化值小于其 调节步长的1/8；,(6)罚函数：,对应离散变量惩罚，引入离散二次罚函数，其条件是：,离散变量（电容器组无功出力和变压器变比）不越界；,前面的迭代中已经引入罚函数。,条件,条件或条件,置罚因子=0,置罚因子的惩罚值,第四章 电力系统最优潮流,148,优化算法,(7)收敛精度：,最大潮流偏差的收敛精度设为 补偿间隙的收敛精度设为,补偿间隙的收敛精度取得过大，如取