教师培训课件：新课程教学设计案例.ppt

Teaching Design of HPM,运用历史的两种方式 1 历史材料的直接利用 2 历史启示下的教学方法发生教学法,Teaching Design of HPM,严格演绎的方法 更强调结果，而忽略导致该结果的问题。引入新概念、理论、证明的动机被隐藏了。（弗赖登塔尔：“违反教学法的颠倒”）严格历史的方法 主要关心“学科发展过程中起作用的思想、事件的精确记录”,Teaching Design of HPM,发生教学法 基本思想：在学生具备足够的动机后、在心理发展的适当时间讲授某个主题。让学生认识到所引入的新主题乃是解决问题需要。不强调如何运用理论、方法和概念，而强调为什么它们为特定的数学问题提供了答案。,Teaching Design of HPM,教师需要：了解该概念的历史发展过程；确定历史发展过程中的若干关键环节（步骤）一个环节发展到下一个环节的动因是什么？数学家遇到何种困难和障碍？在此基础上，重构这些环节（步骤），使其适合于课题教学；设计出一系列由易至难、环环相扣的问题（可以是历史上的问题或改编的问题）,Teaching Design of HPM,Furinghetti:将数学史用于数学教学的过程,Teaching Design of HPM,设计发生教学法时影考虑的因素：学生的学习（心理学领域）概念的历史（数学史领域）数学教材课程标准,案例1 一元一次方程概念,一元一次方程历史的重构,案例1 一元一次方程概念,例1、（1）有一块面积为240平方米的长方形空地，长为20米，求宽。（2）如果要在这块空地的一头建一座房子，要求留下72平方米做草坪，则房子地基的长应为多少？设房子的长为x米，试建立关于x的方程。(四则)例2、（1）已知电线杆的3/14部分在地下。若地下部分长为2.7米，则电线杆的总长为多少？（2）已知电线杆的3/14部分在地下。若地上部分长为10米，则电线杆总长为多少？设电线杆的总长为x，试建立关于x的方程。(四则),案例1 一元一次方程概念,例3、小强的爸爸和小强做数学游戏。爸爸让小强在心里随便选定一个数（但不要说出来），按如下步骤做计算：将这个数乘以5，再将所得乘积加上6，再将所得和乘以4，再将所得乘积加上9，最后，将所得的和乘以5。经过计算，小强得到465。小强爸爸立刻说出小强心里选定的那个数。你知道这个数是多少吗？试列出方程。(四则),案例1 一元一次方程概念,例4、（1）甲、乙、丙三人制砖，一天各能完成300、250和200块。三人合作制砖1500块，需多长时间？（2）若甲先工作一天后乙、丙加入，还需多长时间？设需x天完成，试列出关于x的方程。(合作)例5、（1）第一艘船从甲地出发，需行5天才抵达乙地；第二艘船从乙地出发，需行7天才能抵达甲地。今两船各从甲、乙两地同时出发，相向而行，问几天后相遇？（2）如果第二艘船先行2天，第一艘船才出发，那么，两船几天后相遇？设x天后两船相遇，试列出关于x的方程。(行程),案例1 一元一次方程概念,案例1 一元一次方程概念,例6、开学第一天，小明问新来的数学老师几岁了，数学老师回答说：“取我年龄的一半，加上我年龄的1/3，又加上我年龄的1/4，最后再加上我的年龄，总数刚好是100。”请问新来的数学老师多大了？试列出一元一次方程。（定和）,案例1 一元一次方程概念,例7、自从小淳上初中以来，爸爸妈妈每月都给他同样数目的零用钱，并让他把每次花钱的情况记录下来。9月份，小淳的消费记录如左表。问：小淳每月的零用钱有多少？”试列出一元一次方程。(定和),案例1 一元一次方程概念,例8、在一次课外活动中，菁菁班里有一半同学去听讲座，三分之一的同学去踢球，七分之一的同学去跑步。剩下菁菁一人在琴房练琴。请问菁菁班里共有多少人？试列出一元一次方程。（余数）例9、在意大利数学家斐波纳契所著的计算之书（1202）中，有这样一个问题：“一人经过7座大门进入乐园，摘苹果若干。当他离开果园时，他把一半苹果加上1个苹果给了第一个门卫；把剩下的一半加上一个给了第二个门卫；类似地，依次把剩下的苹果分给其他五个门卫。当他离开果园时，只剩下了1个苹果。问：此人在乐园摘了多少个苹果？”试列出一元一次方程。（余数）,案例1 一元一次方程概念,案例1 一元一次方程概念,练习：1、一个水池，有两个进水口和两个排水口。用第一个进水口注水，1天可注满；用第二个进水口注水，2天可注满。用第一个排水口排水，3天可排完；用第二个排水口排水，4天可排完。问：同时打开两个进水口和两个排水口，多长时间可注满水池？”试建立一元一次方程。（改编自九章算术、希腊选集和计算之书）2、第一艘船从甲地出发，需行5天才抵达乙地；第二艘船从乙地出发，需行7天才能抵达甲地。今两船各从甲、乙两地同时出发，相向而行，问几天后第二次相遇（假设两船到达的目的地后，各自立即返回）？试列出一元一次方程。（改编自九章算术和计算之书）,案例1 一元一次方程概念,3、在约制作于公元前1800年的巴比伦泥版上，有这样一道题：“我找到一石，但未称其重量。它的6倍，加上2 斤，再加上所得重量三分之一的七分之一的24倍，共重60斤。问：石子原重几何？”试列出关于石重的一元一次方程。4、在印度算书丽罗娃蒂（12世纪）中有这样一个问题：“某数乘以5，减去乘积的1/3，余数除以10；又加上此数的2倍、1/2、3/4，得68。求此数。”列出一元一次方程。,案例1 一元一次方程概念,5、小明花77元买4本书。第二本书的价格是第一本的2/3；第三本的价格是第二本的3/4；第四本的价格是第三本的4/5。求各本书的价格。”列出一元一次方程。（改编自计算之书）6、菁菁有苹果若干。她把其中的三分之一、四分之一、五分之一和八分之一分别给了四位好朋友。又给她妈妈10个，自己只剩下一个苹果。问：菁菁原有几个苹果？列出一元一次方程。（改编自希腊选集）,案例1 一元一次方程概念,7、成书于公元4世纪的孙子算经卷下有这样一道题：“今有器中米，不知其数。前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问：本米几何？”（注：1斗=10升）列出一元一次方程。8、斐波纳契计算之书中设题：一人临终前对他的长子说，“你们之间这样来分我的可动财产：你拿1比赞和余下财产的1/7”；又对次子说，“你拿2比赞和余下财产的1/7”；又命第三个儿子拿3比赞和余下财产的1/7。这样依次分下去，他给每个儿子比前一个儿子多1比赞以及余下财产的1/7。把剩余的最后一份财产分给最小的儿子后，恰好不再有剩余。结果，每个儿子所得恰好一样多。问此人有几个儿子，有多少财产？列出一元一次方程。,案例1 一元一次方程概念,9、自己设计一个可用一元一次方程来求解的实际问题。本设计的主要目的是让学生经历从实际问题中寻找数量关系、建立一元一次方程这一数学模型的过程，并了解一元一次方程的概念。一方面，通过历史上出现过的各类实际问题，让学生体会一元一次方程对于问题解决的必要性，从而创造学生对于该知识点的强烈的学习动机；另一方面，根据重构的历史顺序，从学生已有的知识出发，由易至难对问题进行编排，体现一元一次方程概念的可接受性，从而遵循了学生学习数学的心理规律。从下表中我们看到，发生教学法与新课程的理念或要求是一致的。,案例1 一元一次方程概念,案例1 一元二次方程的概念,案例2 一元二次方程的概念,例 1 矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃及纸草书）例 2 已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。例 3 已知矩形面积为60，长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。（巴比伦泥版）,案例2 一元二次方程的概念,案例2 一元二次方程的概念,例 4 长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？例 5 在例 3 中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。,案例2 一元二次方程的概念,例 6 如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。,案例2 一元二次方程的概念,案例2 一元二次方程的概念,（展示图片）现在大家看到的是 中世纪欧洲最伟大的一位数学家，他叫斐波纳契。他在1225年写成 一本书，叫花朵（听起来不 像数学书名）。在该书中，斐波 纳契提出了如下问题,斐波纳契,案例2 一元二次方程的概念,例7、如图2，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底边BC上的高。在AB、AC上各求一点 E、F，在BC上求两点G和H，使AEGHF是等边五边形。,案例2 一元二次方程的概念,在教师的引导下，基于已有的知识和经验，学生从例2、3、5、6、7中分别得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。,案例2 一元二次方程的概念,案例2 一元二次方程的概念,练习1、两个正方形面积之和为1000。一个正方形边长是另一正方形边长的减去10。求这两个正方形的边长。（巴比伦泥版上的问题）练习2、在某公园内一块边长为50米的正方形空地上建造一个正方形鱼池，要求水池旁边有供人观赏行走的通道，且水池占地面积为空地面积的60%。请完成你的设计。,案例2 一元二次方程的概念,案例2 一元二次方程的概念,本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。1、包含浓郁的历史文化气息，体现数学是人类的一种文化。让学生体会数学的悠久历史，数学与人类文明的密切相关性，数学文化的多元性。2、教学活动建立在学生已有的知识经验基础之上，在引出新知识的同时也巩固了旧知识（如开平方、轴对称、勾股定理、图形的相似性等）。,案例2 一元二次方程的概念,本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。3、增强学生的应用意识，让学生体会数学与现实生活的联系。4、使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，感受一元二次方程作为一种数学模型的重要性。5、使学生经历数学知识的形成过程。,案例2 一元二次方程的概念,6、利用背景知识以及古人的问题情境，激发学生的好奇心与学习兴趣，促进自主学习。7、使学生体会到不同数学知识之间的密切联系。8、创造学生的学习动机，为后面一元二次方程解法的教学埋下了伏笔。,案例3 一元二次方程的解法,1 引入教师可以从案例1中的例1和例4引入。在上节课，我们遇到过古埃及矩形面积问题以及古巴比伦的梯子问题，所得方程分别为 和我们通过直接开方得到问题的答案。但对于其他例子以及练习题中的方程，我们无法直接求平方根。怎样求这些一元二次方程的根呢？,案例3 一元二次方程的解法,从历史上看，古代巴比伦人最早给出一元二次方程的解法。对于矩形面积问题中关于矩形长的方程，巴比伦人的解法如下：“取7的一半，得；自乘，得；与 60 相加，得，开方得。将 与 相加，得12，即为矩形的长。”,案例3 一元二次方程的解法,教师可以告诉学生，古代巴比伦人列方程和解方程过程中，完全是用文字来叙述的（上面的分数完全是今天的写法），没有使用我们今天意义下的任何代数符号。接着，让学生验证答案是否正确，并把上述解法写成一个运算式子：。,案例3 一元二次方程的解法,让学生观察上述式子与方程 的一次项系数和常数项之间的关系，再让他们讨论：一般方程（b 0，c 0）的根是否可用一个公式来表示呢？在学生猜想得出 之后，教师接着问：这个猜想是否正确？,案例3 一元二次方程的解法,进一步问：一般地，方程（a、b、c可正可负）的根是否可用它的系数和常数项来表示呢？从而引出本节课的主题：怎样求一元二次方程的根？,案例3 一元二次方程的解法,2 配方法与公式法 解一元二次方程的基本思路是降次。从历史上看，婆什迦罗（Bhskara,11141185）在其丽罗娃蒂中已经表达了这一思路：在一元二次方程两边乘以某数，再在两边加上某数，使得方程一边为完全平方，另一边为常数，从而开方得方程的根。,案例3 一元二次方程的解法,由于全日制义务教育数学课程标准提出在教学中应“介绍有关代数内容的几何背景”，“注重数学知识之间的联系”，我们可以从花拉子米的平方法入手。,案例3 一元二次方程的解法,例 1、解方程。公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi,780?850?）在其代数学中解过这个一元二次方程，不过他把方程写成 的形式（在当时，人们还不能接受负数，因此，人们并不把方程写成一边等于零的形式。方程的书写往往以不出现负系数为准。）,案例3 一元二次方程的解法,花拉子米把方程左边 看作是由一个正方形（边长为 x）和两个同样的矩形（长为 x，宽为5）构成的矩尺形，它的面积为39，如图所示。于是只要在该图形上添加一个边长为5 的正方,形，即可得一完整的正方形，其面积为。于是知它的边长为8，因而得方程的正根x=3。,案例3 一元二次方程的解法,引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是：,案例3 一元二次方程的解法,教师适时地告诉学生：上述解一元二次方程的方法叫配方法：将常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方，然后直接开方。接着，让学生用配方法解一般方程（b 0，c 0）：,案例3 一元二次方程的解法,案例3 一元二次方程的解法,例2、解方程。从几何上看，方程左边就是图中边长为x的正方形中挖去一个长为x、宽为5的矩形、一个长为x-5、宽为5的矩形以及一个边长为5的正方形后所得的矩尺形，它的面积,为 39。因此，添加一个边长为5的正方形，即得边长为x-5的正方形，其面积为。于是知它的边长为8，故得方程的正根x=13。,案例3 一元二次方程的解法,引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是：,案例3 一元二次方程的解法,接着，让学生用配方法解一般方程（b 0，c 0）：,案例3 一元二次方程的解法,让学生总结首项系数为1的一元二次方程的配方法：不论一次项系数和常数项是正还是负，只要将常数项移到等式右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，如果方程右边的常数非负，就可以直接开方。例3、解下列方程：（1）(Brahmagupta,7世纪)；（2）(Ramus,16世纪)；（3）(Ghaligai,16世纪)；（4）,案例3 一元二次方程的解法,在学生掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方法之后，让学生思考：如何用配方法来解二次项系数不为1的一元二次方程？引导学生将其化为二次项系数为1的方程，然后用上面学过的配方法得到一元二次方程的求根公式：,案例3 一元二次方程的解法,在数学史上，一元二次方程的上述求根公式被称为“印度求根公式”。原来，12世纪印度数学家婆什迦罗在其著作中引用了释律达罗（Sridhara,11世纪）的解一元二次方程的方法，这种方法并不需要将二次项系数化成1。可以引导学生作这样的思考：如果不将二次项系数化成1，是否也能配方呢？需要在方程两边乘以什么数呢？,案例3 一元二次方程的解法,方法1：,案例3 一元二次方程的解法,方法2：,案例3 一元二次方程的解法,方法2的优点是配方过程中可以尽量避免使用分数。教师说明：利用上述公式来解一元二次方程的方法叫公式法。例4、解下列方程：（1）（美洲，1556年）；（2）（几何原本黄金分割作图）；（3）；（4）,案例3 一元二次方程的解法,3 因式分解法从历史上看，最早用因式分解法来解方程的是17世纪英国数学家哈里奥特（T.Harriot,15601621）。他在实用分析术（1631）中将一元二次方程（b 0，c 0）写成将方程左边分解成，得，于是求得正根。,案例3 一元二次方程的解法,哈里奧特（T.Harriot,1560-1621）：,案例3 一元二次方程的解法,笛卡儿(R.Descartes,1596-1690)几何学(1637)：將一元一次方程 x-2=0和 x-3=0相乘，得一元二次方程，它的两个根为 2 和 3。借鉴历史，教師可以先給出下面的例子。例 1 解下列方程：（1）(x-4)(x+4)=0；（2）(x-3)(x-4)=0；（3）(2x+3)(x-1)=0。,案例3 一元二次方程的解法,在得到诸方程的根之后，教师进一步问：上面三个方程是否一元二次方程？让学生將方程左边展开，得到一般形式的一元二次方程之后，让学生思考：对于一般的一元二次方程，我们能否反过来把左边分解成两个一次因式的乘积，从而得出两个根呢？例2 解下列方程：（1）；（2）。,案例3 一元二次方程的解法,教师说明：将一元二次方程写成右边等于零的形式，然后将左边分解成两个一次因式的乘积，从而求出方程的根，这种解方程的方法叫因式分解法。上例中第二个方程的解法中利用了配方法，并没有显示出因式分解法的优势。教师接着进一步举例讲述因式分解法。,案例3 一元二次方程的解法,例7、解下列方程：（1）（Fibonacci）；（2）（Pacioli）；（3）（Baskara）；（4）（Baskara）。,案例3 一元二次方程的解法,设计第一个方程的目的是告诉学生，不含常数项的一元二次方程用因式分解法最方便；设计后三个方程的目的是介绍十字相乘法。教师通过这些例子说明：因式分解法与配方法、公式法各有千秋，都是十分重要的解方程方法。,案例3 一元二次方程的解法,4 应用标准在教学建议中指出：“本学段（7-9年级）的教学应结合具体的数学内容采用问题情境建立模型解释、应用与拓展的模式展开发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望与信心。”在学习了一元二次方程的解法之后，让学生回过头来解决第一次课上遇到的各个问题。在解方程之后，强调应根据问题的实际意义，检验结果是否合理。诸问题的信息见下表。,案例3 一元二次方程的解法,案例4 二元一次方程组的概念,例1、列一元一次方程，解下列各文字题：（1）已知长方形的长和宽的倍之和等于7，长、宽之和等于10。求长和宽。（古巴比伦泥版）（2）已知两块地共1亩，第一块地亩产4担粮食，第二块地亩产3担粮食。第一块地的产量比第二块的产量多担。问：两块地的面积各为多少？（古巴比伦泥版）,案例4 二元一次方程组的概念,（3）已知每立方寸玉重7两；每立方寸石重6两。现有一块边长为3寸的立方石块，其中含有玉，总重11斤。问：这块立方石块所含玉、石的重量各为多少？（中国九章算术）（4）已知两数之和为100，差为40，求这两个数。（丢番图算术）,案例4 二元一次方程组的概念,（5）某人工作1月（30天），得7比赞（古罗马货币）；怠工一月，付给工头4比赞。月末，他从工头处得到1比赞。问：此人工作几天？怠工几天？（斐波纳契计算之书）（6）为了鼓励儿子学好算术，儿子每做对一道题，父亲给他8分钱；做错一道题，罚5分钱。做完26道题后，谁也不用给谁钱。问：儿子做对了几道题？（克拉维斯代数）,案例4 二元一次方程组的概念,教师先让学生解上述诸题，然后让学生回答：所选择的未知量是什么？另一个量是什么？如何表示？根据题意得到怎样的一元一次方程？最后，教师作出总结，如下表所示。,案例4 二元一次方程组的概念,案例4 二元一次方程组的概念,接着，教师让学生思考：上面六个问题各涉及两个量，我们在求解的时候，只设其中一个为 x，而另一个量则根据题设的其中一个数量关系，用x来表示，最后利用另一个数量关系，得到关于x的一元一次方程。如果我们把另一个量也看作未知量，并设为 y，情形又如何呢？在学生讨论之后，让他们回答：两个未知量分别是什么？根据题意可得怎样的等式？有几个等式？,案例4 二元一次方程组的概念,案例4 二元一次方程组的概念,例2、阅读下列问题，设未知数，分别列出一元一次方程和二元一次方程组：（1）有一位行人傍晚经过一个树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是一群窃贼在讨论分赃之事。只听得窃贼说：“每人6匹，则多出5匹；每人7匹，则又少了8匹。”问：共有几个窃贼，几匹赃物？（高彦休唐阙史）（2）若干人共同出钱购物，若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则又少了4元。问：共有几个人？物价是多少？（九章算术）,案例4 二元一次方程组的概念,例3、设未知数，列二元一次方程组：（1）5头牛、2只羊，共值10两（古代钱币单位）；2头牛、5头羊，共值8两。问：牛和羊的单价各为多少？（九章算术）（2）甲、乙二人各有钱若干。甲若得到乙的1/2，则有50；乙若得到甲的2/3，则也有50元。问：甲和乙各有多少钱？（九章算术）（3）9个李子、7个苹果共值107；7个李子9个苹果共值110。问：一个李子和一个苹果各值多少？（摩诃毗罗文集）,案例4 二元一次方程组的概念,例4、设未知数，列二元一次方程组：（1）骡子和驴驮着酒囊行走在路上。为酒囊重量所压迫，驴痛苦地抱怨着。听到驴的怨言，骡子给她出了这样一道题：“妈妈，你为何眼泪汪汪，满腹牢骚，抱怨的应该是我才对呀！因为，如果你给我一袋酒，我负的重量就是你的2倍；若你从我这儿拿去一袋，则你我所负重量刚好相等。”好心的先生，数学大师，请告诉我，他们所负酒囊各有几袋？（欧几里得，前3世纪）,案例4 二元一次方程组的概念,（2）甲对乙说：“如果你给我10迈纳（古希腊货币单位），那么我的钱将是你的3倍。”乙对甲说：“如果我从你那儿拿同样多的钱，那么我的钱将是你的5倍。”问甲、乙各有多少钱？（希腊选集）（3）若甲得乙之7第纳尔（古罗马金币），则甲的钱是乙的5倍多1；若乙得甲之5第纳尔，则乙的钱是甲的7倍多2。问：甲、乙各有多少钱？（计算之书）,案例4 二元一次方程组的概念,在学生深刻体会二元一次方程组知识的形成过程以及二元一次方程组作为一种数学模型的重要性、充分领略丰富多彩的数学文化之后，教师再回到例1上来，引入二元一次方程组的解的概念。,案例4 二元一次方程组的概念,练习1、先列出一元一次方程解下列各题，然后列出二元一次方程组，并说出方程组的解。（1）13世纪意大利数学家斐波纳契在计算之书第12章中设题：“将11分成两部分，使其中一部分的9倍等于另一部分的10倍。”（2）15世纪法国数学家休凯在算术三部中设题：“木匠工作一天，获酬5.5元；怠工一天，赔偿6.6元。30天后，木匠收支刚好相等。问：木匠工作了几天？”（3）九章算术赢不足问题：“若干人共同出钱买猪，每人出100，多出100；每人出90，刚好够猪价。问：有多少人？猪价为多少？”（4）程大位在算法统宗卷16中以“浪淘沙”为词牌名设题：“昨日独看瓜，因事来家。牧童盗去眼昏花。信步庙东墙外过，听得争差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借问人瓜各有几？已会先答。”,案例4 二元一次方程组的概念,练习2、阅读下列各文字题，列出二元一次方程组。（1）九章算术方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻。互换其中一只，恰好一样重。问：每只雀、燕的重量各为多少？”（2）斐波纳契在计算之书第13章中设题：“甲、乙二人各有钱币若干。甲对乙说：如果把你的钱币的1/3给我，我就有14第纳尔；乙对甲说：如果把你的钱币的1/4给我，我就有17第纳尔。问：甲、乙各有多少钱？”（3）斐波纳契在计算之书第12章中设题：“若甲得乙之7第纳尔，则甲的钱是乙的5倍；若乙得甲之5第纳尔，则乙的钱是甲的7倍。问：甲、乙各有多少钱？”,案例4 二元一次方程组的概念,（4）程大位在算法统宗卷十一中设题：“今有马三匹、牛四头，共价银一百一十四两；又马四匹、牛五头，共价一百六十二两五钱。问马、牛价各若干？”（5）程大位在算法统宗卷十一中设题：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺、绢二尺，共价六钱八分。问绫、绢各价若干？”,案例 5 全等三角形的应用,“全等三角形的判定”是初中平面几何重要内容之一，课程标准的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”。华师大版讨论了“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”四种判别法，但并没有涉及到知识的历史背景和实际应用，这与同一教材对“相似三角形”的处理并不一致，对照发生教学法，教材在体现“主题之必要性”上，做得远远不够。本文的目的是将有关历史知识融入该知识点的教学设计之中。,案例 5 全等三角形的应用,从历史上看，和相似三角形情形一样，古人对全等三角形的认识源于测量，可以上溯到古代埃及和巴比伦文明，但很难判断古人认识“边角边”、“角边角”和“边边边”三个全等条件的先后顺序。表1给出三个定理在几何原本和华师大版教材中分别出现的先后顺序以及证明方法。华师大版中的顺序也是现代教材通常采用的顺序，与美国数学史家和数学教育家史密斯（D.E.Smith,18601944）几何的教学1中安排的顺序一致。采用与几何原本不同的顺序，显然是出于证明的需要。,案例 5 全等三角形的应用,表1 全等定理的顺序与证法,案例 5 全等三角形的应用,尽管欧几里得在几何原本中利用叠置的方法来证明边角边定理，但这似乎处于无奈，因为他实际上总是尽量地避免使用这种证法。16世纪法国数学家佩勒蒂埃（J.Peletier,15171582）在注释几何原本时对叠置法提出置疑，他指出，如果可以随意把叠置当作证明方法，那么它将充斥于几何学中：作一个角等于已知角，作一个角的平分线，等等。,案例 5 全等三角形的应用,对于边边边定理，欧几里得放弃了叠置法。他先引入如下命题（卷1命题7）：过线段两端点，在线段同一侧，不可能作出两组相交直线，使得过同一端点的线段对应相等。利用这一命题，欧几里得用反证法证明：将一个三角形移到另一个三角形上，使得其中一组对应边重合，且另两组对应边在同一侧时，这两组对应边分别重合。显然，后世数学家对这一证法并不满意，拜占庭时期数学家菲罗（Philo,公元前1世纪，又译菲隆）给出新证法：移动其中一个三角形，使其一条边与另一个三角形的对应边重合，而该边所对顶点与另一三角形的对应顶点位于它的两侧。连接这两个顶点，得两个等腰三角形。故知重合边所对的角相等。于是，根据边角边定理，两个三角形全等。,案例 5 全等三角形的应用,华师大版教材即采用了这一证法。对于角边角定理，欧几里得再次采用了反证法，后人同样感到不满意。10世纪阿拉伯数学家阿尔奈里兹（Al-Nairizi）在注释几何原本时，仍采用了叠置法，但阿尔奈里兹说，这种方法很久以前已经为人们所采用。因此，尽管叠置法并不完美，但从教学上看，它比反证法更易于接受，教材的处理还是比较合理的。,案例 5 全等三角形的应用,1 边角边我们认为，历史上人们认识三种全等条件的先后顺序大致是由测量的难易程度来决定的，因此，几何原本中的顺序可能更符合历史顺序。教师可以从最简单的长度测量方法入手。,案例 5 全等三角形的应用,古人往往“就地取材”，用自己的手或脚来测量长度。在古代巴比伦和埃及，常用的长度单位为“肘尺”（cubit）从肘到中指端的长度（约53cm）；在古代希腊和罗马，常用的长度单位是“尺”（foot）脚掌的长度（从275mm到330mm不等）和“掌”（palm）四指宽（1肘尺6掌）；在中世纪的英国，据说“码”（yard）是根据亨利一世（Henry I,10681135）的手臂长确定的。我国古代的长度单位之一是“步”，荀子劝学篇云：“不积跬步，无以至千里”，按秦时的度量制度，一步等于二跬，一跬等于三尺，即单脚一次跨出的长度。介绍上述度量知识之后，教师提出如下问题：假设一个人的双腿伸直，那么在什么条件下他前后两次跨出的长度相等？,案例 5 全等三角形的应用,案例 5 全等三角形的应用,教师引导学生将这个问题转化为如下几何问题：已知两个等腰三角形的腰相等，那么，在什么条件下底边也相等？要解决这个问题，就要研究腰相等的两个等腰三角形全等的条件。通过叠置方法，引导学生得出“两个等腰三角形顶角相等”这个条件。对于两个一般的三角形，如果两边和夹角对应相等，是否全等呢？提出这个问题后，安排给定两边长度和顶角大小的三角形作图活动，引导学生得出“边角边确定了一个三角形形状”的结论，并借助圆规这一作图工具加以说明：当圆规的两脚和张角固定时，两脚尖之间的距离是固定的，所以用圆规可以画出圆来。最后利用叠置方法证明边角边定理。,案例 5 全等三角形的应用,驴桥定理 在欧洲中世纪，欧几里得的证明为几何原本第1卷命题5赢得了“驴桥定理”之名。这个名称有着双重含义：一是中世纪数学教育十分落后，该定理成了一般学生几何学习的终点，故“驴桥”意指“笨蛋难过的关卡”；二是欧几里得的图1下半部分很象一座简单的桁架桥。,案例 5 全等三角形的应用,2 边边边 教师可以从桥梁的桁架重新引出三角形“稳定性”的话题：给定三边长度，三角形的形状是固定的。接着，安排作图活动，引出“边边边”定理，并利用菲罗的方法加以证明。边边边定理的应用有着十分悠久历史。,案例 5 全等三角形的应用,古代的水准仪 在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何图形，往往被看作神圣的符号而被用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符，其中第二种显然是测水准的工具。,案例 5 全等三角形的应用,古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成。测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的。这就是“边边边”定理的应用。,案例 5 全等三角形的应用,我们有理由相信，埃及人在建造金字塔时必用到这种测量工具。,案例 5 全等三角形的应用,在古罗马土地丈量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪。中世纪和文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。,案例 5 全等三角形的应用,17世纪意大利数学家Pomodoro的实用几何一书中给出的利用水准仪测量山坡高度的方法,案例 5 全等三角形的应用,3 角边角 希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales,前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”,案例 5 全等三角形的应用,坦纳里（P.Tannery,18431904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。,案例 5 全等三角形的应用,希思（T.L.Heath,1861-1940）提出了另一种猜测：如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕 A 转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。,案例 5 全等三角形的应用,上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。,有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。,案例6 相似三角形的应用,“图形的相似”是初中数学内容之一，其中相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容。从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识。在古巴比伦泥版文献中已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）在设计隧道挖掘工程时可能已经运用了相似三角形的性质；泰勒斯（Thales）已经会运用相似三角形来进行测量。,案例6 相似三角形的应用,公元前3世纪的欧几里得（Euclid）、公元1世纪的海伦（Heron）在有关著作中都曾利用相似三角形性质来解决有关测量问题。我国汉代的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的。为了将历史知识用于课堂教学，我们选择若干史料，如表1。,案例6 相似三角形的应用,案例6 相似三角形的应用,例 1、古塔测高 如图所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，测得影长为11.3米。现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。求塔高。,案例6 相似三角形的应用,这个例子根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得光学中测量物体高度问题改编而成，原型为杭州西湖北岸宝石山上的保俶塔。教师在讲完这个例子后，可向学生介绍泰勒斯测量金字塔高度的故事，让学生明白，历史上人们对相似三角形性质的认识和应用很早，我们今天的方法早在两千五百多年前就以经为泰勒斯所用。真是“太阳底下没有新鲜事”！,案例6 相似三角形的应用,例2、隔河测距 如图所示，在A和B两点之间有一条河。在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。求A、B之间的距离。,案例6 相似三角形的应用,这个问题根据海伦Dioptra中的间接测量问题改编而成。比古塔测高问题稍为复杂一些，因为，根据相似三角形性质所得到的比例中，有两项含有未知数，不能直接求得AB。意大利HPM学者Chung Ip Fung等曾将与上述问题类似的问题与中国刘徽（3世纪）的海岛测高问题同用于教学设计，目的是让学生了解数学文化的多元性。,案例6 相似三角形的应用,例3、校园占地 如图，有一所正方形的学校，西门和北门各开在西、北面围墙的正中间。在北门的正北方30米处有一颗大榕树。一个学生从西门出来，朝正西方走750米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校占地多少？,案例6 相似三角形的应用,这个问题是根据九章算术勾股章中的“邑方”问题改编而成的，原题为：“今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？”本问题比前面两个问题稍难，需通过开方求解。教师告诉学生，中国在汉代就有这类问题，汉代的测量技术已十分高超；中国古代的几何学与测量密切相关。,案例6 相似三角形的应用,例4、勾股定理的推广（分组讨论，合作探究）我们知道，在直角三角形ABC三边上作三个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，这就是勾股定理。现在直角三角形ABC三边上任作两两相似的三个三角形BCD、ACE和ABF，如图所示。关于这三个三角形的面积，你能得到什么结论？给出你的证明。,案例6 相似三角形的应用,案例6 相似三角形的应用,这个问题要用到相似三角形的另一个性质，即面积之比等于相似比的平方。事实上，古代巴比伦人已经知道这个性质；而对于毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的，西方数学史家的其中一种推测也是基于这个性质：过直角三角形直角顶点向斜边引高线，得大小三个两两相似的直角三角形，它们的面积之比等于各自斜边平方之比，但两个小直角三角形面积之和等于大直角三角形面积，故它们的斜边平方之和等于大直角三角形斜边的平方。,案例 6 相似三角形的应用,例5、爱琴文明的遗迹,案例 6 相似三角形的应用,案例 6 相似三角形的应用,案例 6 相似三角形的应用,案例 6 相似三角形的应用,隧道全长 1036米，宽1.8米，高1.8米,案例6 相似三角形的应用,古希腊历史学家希罗多德（Herodotus,前5世纪）描述了毕 达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）。这个隧道后来被人遗忘，直到19世纪末，它才被考古工作者重新发现。20世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘。隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米。两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，考古发现，会合处误差极小。当时人们挖隧道所用的标准方法是在挖掘过程中在山的表面向下挖若干通风井，以确定所抵达的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古学家惊讶的是，该隧道挖掘过程中并未使用这一方法！人们不禁要问：欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看不到的情况下沿同一条直线向里挖的？,案