杭州湾跨海大桥Ⅱ合同施工栈桥第Ⅳ联力学性能计算与分析毕 业 设 计.doc

毕 业 设 计（论文）题目 杭州湾跨海大桥合同施工栈桥 第联力学性能计算与分析学院（全称） 土木建筑学院 专业 、年级 工程力学 2005级 陈 波 学 号 05980108 指 导 教 师 陈 世 民 论文评阅人 前言 栈桥是一个有极高的应用价值，形状像桥的建筑物，建在车站、港口、矿山或工厂，用于装卸货物或上下旅客。在土木工程中，为运输材料、设备、人员而修建的临时桥梁设施，按采用的材料分为木栈桥和钢栈桥。其在我国又有深厚的历史渊源，在工程中得到了广泛应用，是我国建设桥梁中具有极高的作用。由于栈桥的种类也越来越多，栈桥的施工周期短，受力明确，成本低，受到越来越多施工单位的青睐，特别是一些在修建跨海大桥的单位，给桥梁工程的发展注入了新的活力。因此，施工栈桥在我国得到迅速发展。在我国工程建造中，许多桥梁都普遍的应用了施工栈桥，在施工过程中带来了便利，特别是一些大跨径、更大规模的桥梁。但是，由于缺乏专用的设计规范和施工技术规范，施工栈桥的设计、施工只能依据建筑行业的中经验并结合桥梁设计规范的有关条文进行，这对该种桥梁实际应用带来了一定的困难。本论文希望通过对杭州湾跨海大桥合同施工栈桥进行强度、刚度、稳定性计算和分析，为栈桥的结构优化设计、成本节约提供了重要的参考因素。随着的桥梁、道路体系的不断发展和完善，施工技术的不断提高，工程设计和实践中的许多问题显现出来，而这些问题归根结底都是力学问题，于是就需要有相应的力学理论知识作为基础，再接合实际情况找出新的计算方法，来对结构进行计算和分析提出解决方案。通过力学和工程的接合，可以加深我们对本专业知识的认识。其次，通过对成桥状态力学行为的进一步分析计算，可以让我们对结构物的受力特性及其病害发生有些前瞻性的认识，相应的结论对成桥后的病害防止以及栈桥的优化设计具有一定的参考意义。本课题对施工栈桥的研究主要是分为三大部分：第一部分是根据相应的设计资料在autoCAD中创建空间模型。再将几何模型导入结构分析软件SAP2000中。在SAP2000里对其材料、截面特性、约束等做出相应的处理。做好空间模型的建立工作。第二部分是通过结构分析软件SAP2000对栈桥的空间模型进行相应的内力分析。这个过程中，主要进行了对其进行恒载，温度，移动荷载作用，得到相应的应力、轴力、弯矩值并与规范中查的数据进行分析比较，从而确定施工栈桥的强度、刚度、稳定性是否满足要求。第三部分是对通过对这次课题的研究不仅培养了我运用绘图软件autoCAD与结构分析软件SAP2000的能力，加深了对有限元数值计算方法的了解，掌握结构内力计算和分析的基本原理。而且可以更系统更综合的将个人所学到的力学、数学、桥梁等方面的理论知识运用到实践当中，解决一些实际的问题，同时也能检验自身对理论知识的掌握情况和运用能力；其次，可以提高自己发现问题、分析问题以及解决问题的能力，不断培养并发挥自身的创新能力，为以后实际工作和研究打下一个坚实的基础， 本次论文除了其理论价值外还有它积极的现实价值。首先，撰写毕业论文是实现人才培养目标的综合性实践环节，通过毕业论文的撰写，能对我大学四年所学知识进行一次全面、综合、系统的运用 ，也是对以前所学知识的进一步巩固和充实。其次，通过对毕业论文相关资料的阅读和分析，使我对桥梁力学行为分析的步骤和相应的理论有了进一步的了解，也让我注意到毕业论文撰写过程中出现的一些问题，为以后解决同类问题奠定了基础。再次，通过撰写毕业论文，我们可以提高自身检索信息 、综合运用文献解决问题的能力，也能得到一些实用的经验和技巧。目 录前言1目 录3摘 要I第一章 绪论31.1施工栈桥在桥梁工程桥的发展概况31.2栈桥的在桥梁工程中的应用31.3本课题背景介绍41.3.1工程概况41.3.2水文、地质与气候情况51.3.3栈桥功能构造51.4 本课题研究的主要内容6第二章 有限元分析方法及基本理论72.1 有限元分析方法概述72.2 基本理论72.2.1 弹性理论有关方程的矩阵表示72.2.2 虚位移原理与势能原理112.3 杆系有限元分析112.3.1平面等直杆的单元分析122.3.2 空间刚架单元刚度矩阵162.3.3 坐标变换182.4单元有限元原理192.4.1 用势能原理进行结构整体分析192.4.2 有限度单元分析时虚位移原理的表述及证明22第三章 空间模型建立233.1  杭州湾跨海大桥项目概况233.2施工栈桥第联平面图243.3空间模型的建立25第四章 空间模型的计算与分析264.1单元选取264.2材料参数确定264.3截面几何性质274.4约束条件284.5计算工况确定284.6 计算数据及结果314.7 结论与展望32致 谢1参考文献1摘 要由于栈桥的种类越来越多，施工周期短，受力明确，成本低，受到越来越多施工单位的青睐，特别是一些在修建跨海大桥的单位，给桥梁工程的发展注入了新的活力。最近十几年来，施工栈桥在我国得到迅速发展。但是目前还没有专用施工栈桥的设计规范和施工技术规范，来具体指导栈桥在工程实践研究，只能依据建筑行业的中经验并结合桥梁设计规范的有关条文进行指导实践，这对该种桥梁实际应用带来了一定的困难。本论文通过对栈桥进行空间建模，并借助结构分析软件SAP2000对该桥的刚度、强度、稳定性进行了计算分析，看是否满足要求，从而为栈桥的结构优化设计、成本节约提供了重要的参考因素。同时通过对绘图软件autoCAD与结构分析软件SAP2000的运用，加深了对有限元数值计算方法的了解，掌握结构内力计算和分析的基本原理。从而能提高自己的自学能力和解决实际问题的能力。为以后实际工作和研究打下一个坚实的基础。， 关键词：栈桥 施工栈桥 SAP2000 优化设计ABSTRACTDu to more and more the type of trestle., a short work cycle, the clear edge, low cost, which are more and more favored, especially in the construction of the bridge spanning the sea of units . Therefore, the development of bridge engineering is infused in fresh vitality with trestle. The past decade, construction of trestles in China have developed rapidly. However, there is no special construction trestle design specifications and construction specifications, to specific guidance the trestle on the engineering Practice Study. .It is only based on the experience of the construction industry combined with a bridge design specifications for the guidance of the relevant provisions of the practice, which has been certain difficulties to the practical application of a bridge .Firstly it constructs a trestle space model. Then with the help of structural analysis software SAP2000, we calculated and analyzed the trestle. Stiffness , strength and stability to see whether or not to meet the requirements, so as to optimize the structure of bridge design, The end is to provide an important reference factor for the optimal design of the structure of trestles and cost savings. Simultaneously ,through to graphics software autoCAD and the structure analysis software SAP2000 utilization, I am deepening to the finite element numerical calculus method understanding. Then , I have grasped the structure endogenic force computation and the analysis basic principle, which can thus enhance own studies independently ability and solution actual problem ability. It will build a solid foundation for the later practical work and the research.Keywords：trestle.，construction of trestles，SAP2000，optimal Design 第一章 绪论1.1施工栈桥在桥梁工程桥的发展概况栈桥是形状像桥的建筑物，建在车站、港口、矿山或工厂，用于装卸货物或上下旅客。在土木工程中，为运输材料、设备、人员而修建的临时桥梁设施，按采用的材料分为木栈桥和钢栈桥。目前世界上最长的施工栈桥宁波杭州湾跨海大桥南岸施工栈桥，全长9444米，共633跨，是海上主桥施工物资供应及交通出入的唯一通道，也是整座跨海大桥施工的基础性工程和控制性工程。在铁路轮渡中，是供机车车辆驶上和驶下渡船的桥梁建筑物。在宽阔的河流、海峡等水域中，栈桥都是相对应地建筑在两岸，渡船的航线为S形。在较狭窄的江河中，栈桥是错开设置于两岸的，渡船的航线为V形。栈桥由桥墩、桥台、钢梁、跳板梁和升降机械设备等组成。栈桥的结构形式与桥梁基本相同，不同的是桥梁的梁部结构和轨面固定不动、全部跨越河道，栈桥的梁部结构和轨面可随水位的涨落而升降，轨面坡度可随之调节。此外，栈桥只伸入水域一部分。栈桥的下部结构为混凝土或钢筋混凝土的桥墩和桥台；上部结构为钢板梁或钢桁梁。桥墩和桥台是支承桥梁上部结构和荷载的构筑物。桥台在栈桥靠岸一端，与路堤相连。跳板梁是连接栈桥和渡船的设备，它在栈桥入水的一端。中国长江上，芜湖至裕溪口间的芜湖轮渡、武昌至汉口间的武汉轮渡建有吊板式栈桥，均配用中型渡船，能渡运货车。南京至浦口间的南京轮渡建有螺杆式栈桥，配用大型渡船，能渡运客、货车辆。在冶金、煤炭、建材等许多行业中输送机栈桥是不可缺少的建筑物。栈桥的结构形式有砖结构、钢筋混凝土结构、钢桁架结构、钢网架结构等，这些结构形式的栈桥都具有各自的优缺点。钢桁架由于其比钢筋混凝土结构较易实现大跨度、且施工速度快、结构受力明确，成为近年来许多新建矿井和选煤厂中栈桥的常用形式。而钢管球节点桁架较以往型钢桁架及网架结构在运行维护中有许多优势，整个桥体没有死角，防腐优于后两种结构，这些均大大降低了运行维护的费用。通过分析及经济技术比较可知，大跨度钢栈桥采用钢管球节点桁架是技术先进、经济合理的。由于栈桥施工是临时工程结构，具有半永久性的特点，在桥梁工程中得到了广泛的使用。随着的桥梁、道路体系的不断发展和完善，施工技术的不断提高，栈桥的种类也越来越多。栈桥的施工周期短，受力明确，成本低，受到越来越多施工单位的青睐，特别是一些在修建跨海大桥的单位。我国施工栈桥在桥梁工程中的运用始于十九世纪，公元1892初建的栈桥，是青岛最早的码头。经1931年改建和1985年、1998年整修，现桥身长401.45米，其中引桥长236.1米,孔桥149.7米,。桥南端筑半圆形防波堤，堤内是一座具有民族风格的两层八角亭，金瓦朱壁，盔顶飞檐，题名“回澜阁”，回澜阁处三角形桥头长15.65米。而且我国最长的施工栈桥宁波杭州湾跨海大桥南岸施工栈桥，全长9444米，共633跨，是整座跨海大桥施工的基础性工程和控制性工程。由此可见，栈桥施工在我国工程建设中起着非常重要的作用。相对而言，国外的栈桥施工技术已得到广泛的应用，但还没有上升到计算机模拟的水平。总的来说，由于栈桥施工较易实现大跨度、且施工速度快，是临时工程结构，在国内外得到广泛的应用。通过对施工栈桥进行强度、刚度、稳定性计算和分析，在安全条件下，更加合理利用材料，减少工程的支出成本，栈桥将会越来越受大家的欢迎。 1.2栈桥的在桥梁工程中的应用随着我国投资结构的调整和公路、桥梁建设行业的市场化，施工企业的竞争愈演愈烈，全行业步入了微利时代。为了能在激烈的市场竞争中得以生存，必须有优秀的人才资源和先进技术，才能设计出经济、美观、实用性桥梁和隧道。然而目前，有些施工企业因底子薄，冗员多，施工技术薄弱，想要在这个行业中生存，节约成本成了企业的重要因素之一，于是施工栈桥应运而生。钢栈桥的施工速度快，受力明确，经济合理的，运行维护费用较低，提高了建桥的经济效益。然而在施工过程中，由于各种荷载作用和影响下，施工栈桥的强度、刚度、稳定性成了重要的控制因素。为了解决施工栈桥中强度、刚度、稳定性问题，我翻阅了各种有关栈桥的的力学分析和计算，为接下来的论文提供了重要的依据。 结构强度、刚度、稳定性是工程结构中经常遇到的问题。它们由来有悠久的历史。随着生产的发展，以及随着铁路车辆、船舶、飞机、新型建筑物和金属切削机床的发明和使用，提出了减轻构件自重、减少材料消耗量的要求。为此必须提高材料的强度。这就推动了冶金工业的发展，使高强度的金属例如刚、铝合金等材料逐渐成为主要的工程材料，从而使构件为了符合其强度要求所需要的截面尺寸有可能减少。然而，由于采用了细长的构件，荷载作用下的变形就显著地增大。因此，保证构件的刚度就成为在计算中必须加以考虑的另一个方面。此外，由于细长杆件在受压时，又出现了丧失其原有平衡形态的稳定性问题，所以对构件进行稳定性计算，也成为理论计算中不可忽视的又一个方面。由此可见，在荷载作用下的构件需要进行强度、刚度、稳定性计算，是随着生产发展中不断出现的新问题而逐渐提出来的。栈桥构件正常工作的要求不仅要满足强度、刚度、稳定性要求，还必须尽可能的合理用材料和降低材料的消耗量，以节约资金或减轻构件的自身重量，前者往往要求多用材料，后者则要求少用材料，两者之间存在着矛盾。我们任务就是合理解决这个矛盾，在安全情况下尽可能的节约成本。然而现实中桥梁因强度、刚度，稳定性不够造成事故的例子有很多。正是由于这些工程事故积累大量的经验教训，促使了桥梁体系的不断完善和进步。近年来出现大量的有关桥梁强度、刚度，稳定性的理论体系，它们指导我们在实践过程中起巨大的作用。13本课题背景介绍1.3.1工程概况杭州湾跨海大桥合同桩号K51+579K52+977，包括北航道桥和北侧高墩区引桥下构，桥长1398m，包括B1 B13共计13座桥墩。桥位处水文地质情况较复杂，潮差大，为方便水上施工，减少水上船舶施工组织管理难度，减轻水上施工安全风险，本合同段B1 B10墩采用搭设栈桥辅助施工方案，因此本合同段施工栈桥除了共用合同段已搭设到B1墩的栈桥外，需将栈桥从B1墩延伸到B10墩，新建栈桥699m。栈桥按单向行车道设计,桥面宽6.0m，会车点为B1B10各墩平台与栈桥相接处，栈桥设计使用年限4年。图1 新建栈桥总体布置图1.3.2水文、地质与气候情况1.水文潮位杭州湾属强潮河口湾，潮汐类型为不规则半日浅海潮，并有明显的日、夜潮不等现象。北航道桥潮汐特征值根据附近乍浦水文站长期验潮(19301999)资料（潮位基准面采用1985国家高程基准）统计：平均高潮位：+2.52m 平均低潮位：-2.12m平均涨潮历时：5小时27分 平均落潮历时：6小时59分平均潮差：4.65m 最大潮差：7.57m另据设计图，高潮累积频率10%的潮位+3.54m，低潮累积频率90%的潮位-2.75m，按重现期20年的计算条件，极值高潮位+5.3m。潮流杭州湾内潮流基本垂直桥轴线方向流动，为往复流，按20年重现期，乍浦站2001垂线号涨、落潮垂线平均最大流速分别为1.85m/s、2.56m/s,2002垂线号涨、落潮垂线平均最大流速分别为2.50m/s、1.88m/s， 2002垂线号可能最大流速2.81m/s。波浪全年波高平均0.2m。最大波高3.5m（台风所致）。平均波高0.5米的波浪出现最多，全年1.5m以上的波高仅占0.6。夏季平均波高略高。按重现期二十年计算条件，设计波要素见表1:表1重现期（a.）方位H1%（m）H4%（m）H13%（m）（s）20NE4.273.662.986.52ENE5.314.883.797.36E4.293.682.996.52ESE4.313.713.036.53SE4.273.652.976.51水文地质地下水主要为第四系松散岩类孔隙水，地下水对混凝土无腐蚀性，海水对混凝土具弱腐蚀性；地下水及海水对钢结构具中等腐蚀性。2.气候本地区属南亚热带季风气候，温湿多雨，是重大灾害天气多发地带。该区年平均气温16左右，累计年均降雨量为1220.2mm。夏、秋季台风为主要自然灾害，19492000年共有133个影响台风；全年平均风速3m/s,年平均大风日数16.3天。该地区雷暴频繁，全年平均雷暴日数为32.1天，全年平均雾日数35.6天，年均降雪日数9.7天，19492000年桥位周围6个县市出现39次龙卷风。3.工程地质桥位区段表层为亚砂土（厚度为1.36.6m），其下（不按顺序）主要由粘土、亚粘土、淤泥质亚粘土、粘性土、亚砂土、中细砂、粉砂、粉细砂层组成，厚约130m。栈桥海床在B1至B2墩间变化较大， 50m范围内海床面高程由-4.1m变化到-12.5m，B2至B10之间海床面较平缓，高程在-12.0m左右。*注：水文及气候方面详见：杭州湾大桥施工图设计阶段 工程地质勘察报告（第二合同段）杭州湾跨海大桥工程 施工招标参考资料杭州湾跨海大桥 标段技术交底1.3.3栈桥功能构造1.栈桥功能要求栈桥与高墩区引桥各墩及北侧主墩、辅助墩及边墩施工平台衔接，作为北航道桥及高墩区引桥施工材料、机械设备转运的主要通道，同时作为施工人员上下班便道。由于施工栈桥作为施工中的通道和平台，除承受竖向施工车辆荷载外，还受到海湾风、浪的作用，因此栈桥必须满足以下要求： 在工作状态下，栈桥应满足正常车辆通行的安全性和适用性要求，并具有足够的安全储备。 在非工作状态下，栈桥停止车辆荷载通行，此时全性的要求，允许出现局部可修复的损坏。 在栈桥施工状态下，栈桥应满足自身施工过程的安全，但6级风以上时，应停止栈桥施工。2.栈桥结构设计栈桥总长699m，按连续梁设计（每联划分见附图），根据结构形式及施工工艺分成三个区，一 区长75m包括1#7#墩；二区长486m包括8#32#墩； 三区长138m包括33#40#墩。平纵设计 栈桥桥面始点（K51+579）设计高程为+7.00m，栈桥1#33墩（K51+579K52+138）559m范围按平坡设计，33#40墩（K52+138K52+278）140m范围内按1.07%纵坡设计，终点桥面设计高程为+8.50m。栈桥按单向行车道设计，桥面宽6.0m，栈桥轴线距主桥中心线26m。栈桥与钻孔桩施工平台连成整体，提高结构的横向刚度从而增加结构的整体稳定性。基础 栈桥基础采用1000mm×12mm钢管桩，共40个墩。栈桥桩根据不同的地质条件、冲刷深度选择不同的桩底标高，详见图纸（图号H-ZQ-001）。栈桥1#7#墩（B1B2之间）钢管桩基础采用履带起重吊机配合振动锤施打，桥墩纵向间距12m，1#3#墩各墩设2条直桩，横向间距4.4m。4#7#墩设每排3条直桩，横向桩距2.2m，其中7#墩设间距为3m的双排桩加强。8#40#墩钢管桩基础采用打桩船插打，设普通墩及加强墩。8#39#墩普通墩横向每排2条钢管桩，布置为两边各设一根14°的斜桩，桩顶横向间距4.4m，钢管排桩纵向间距18m。每72m或54m在靠近桥墩承台处设双排桩作加强墩。加强墩为四边形布置的4条钢管斜桩，钢管桩竖角11°,水平扭角15°，横向间距4.0m，纵向间距3.0m。40#加强墩每排为3条钢管桩，中间1直桩，两边各1斜桩。横联 横向每排桩顶面用双拼45a型工字钢嵌钢管用作上横联及支承贝雷梁的横向承重梁。桩间下横联用426mm×6mm钢管，斜撑用双拼16#槽钢。主梁 纵向主梁采用贝雷桁架结构，由七排贝雷组成，两边各两排贝雷之间用102cm贝雷支撑架联结，中间三排贝雷用加工的204cm贝雷支撑架联结成整体，两侧与中间贝雷梁用单片10#槽钢剪刀撑联结，7排贝雷横向联结间距示意：102+45+102+102+45+102 。桥面系 贝雷梁上铺14#工字钢作分配梁，分布梁间距30cm，单根长6.0m。14#工字钢上面铺8mm钢板作行车面板。护栏高1.2m，竖杆用48mm焊管，每1.8m设置一道焊接在桥面系横梁上，水平横联用L50×50×5角钢。*栈桥详细构造详见栈桥结构设计图。1.4 本课题研究的主要内容本论文通过对杭州湾跨海大桥合同施工栈桥第联力学性能计算与分析,其中用autoCAD对其进行空间建模,然后导入到大型通用有限元软件SAP2000对其开展了计算和稳定性方面的分析，主要开展了以下几方面的工作：1 根据相应的设计资料在autoCAD中创建空间模型.。2 将几何模型导入结构分析软件SAP2000中，通过结构分析软件SAP2000对栈桥的空间模型进行相应的计算和分析。3 通过计算出的结果与规范查的结果进行分析比较，判断栈桥是否满足强度、刚度、稳定性要求。第二章 有限元分析方法及基本理论2.1 有限元分析方法概述有限元法是随着电子计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。从物理方面看：它是用在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替待分析的连续体，即将带分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元，通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特征。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于精确解。有限元法在结构分析上，是通过将结构离散，对每个单元给出满足连续条件的假定位移模式，其位移模式可通过简单的插值函数来描述，各个单元在相互连接的结点处有跨单元的连续性，这样即可模拟出复杂结构。与此同时，相应的边界约束和受力情况也可进行模拟。然后从能量原理出发，建立起整体控制方程，求解这一线性代数方程组就可以得到相应的位移场和应力场。从而为结构设计提供精确的参数。2.2 基本理论弹性理论有关方程的矩阵表示以及虚位移原理与势能原理是进行有限元分析的重要理论基础。2.2.1 弹性理论有关方程的矩阵表示1. 运动方程(内力与体积力的关系方程)由弹性理论可知,在体积V内任意一点的运动方程为 （2.1）当记 （2.2） 时，若引入如下微分算子矩阵 A （2.3）则根据矩阵乘法规则不难证明，体内一点的运动方程可用如下矩阵方程来表示：在V内 A+= （2.4）当物体在外力作用下处于平衡状态时,上式变为平衡方程在V内 A+= 0 （2.5）2. 几何方程(应变与位移的关系方程)由弹性理论可知，在微小变形情况下一点的六个应变分量可用位移表示,即 （2.6）当记应变列阵 （2.7）时,由矩阵乘法不难验证几何方程可用如下矩阵方程表示在V内 （2.8）式中： -微分算子A的转置矩阵。3. 本构方程(应力与应变的关系方程)对于各向同性均质线弹性体,由弹性理论可知,应力与应变存在如下本构关系在V内 （2.9）当记 （2.10）时，式(2.9)的本构关系可用如下矩阵方程表示在V内 （2.11）或 （2.12）上式中的D为弹性矩阵，由矩阵求逆可知 （2.13）其中 （2.14）当以拉梅系数表示本构关系时，有 （2.15）式中的拉梅系数为 （2.16） 4. 变形协调方程当以应力作为基本未知量求解弹性力学方程时，通过本构关系所得的应变尚须在体积内满足如下变形协调方程在V内 （2.17）引入协调算子矩阵C （2.18）变形协调方程可用如下矩阵方程表示在V内 C= 0 （2.19）5. 边界条件5.1 应力边界条件 在已知表面力的边界面上，体内的应力与表面力之间存在如下应力边界条件在上 （2.20）式中：、-已知表面力x、y、z方向分量；l、m、n-表面外法线方向余弦。当记表面力矩阵为 （2.21）时,表面外法线方向余弦矩阵为 （2.22）则应力边界条件可用矩阵方程表示如下在上 （2.23）5.2位移边界条件在已知位移的边界面上，体内的位移满足如下位移边界条件在上 （2.24）式中：、-已知位移沿坐标的分量。若记 （2.25）为已知位移矩阵，则（2.24）在上可改写为 （2.26）2.2.2 虚位移原理与势能原理1. 变形体虚位移原理变形体上外力的总虚功 （2.27） 变形体的总虚变形功 （2.28）任何变形连续体处于平衡状态的必要和充分条件是: 对任意虚位移，外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，即： （2.29）2. 最小势能原理某一变形可能位移状态为真实位移状态的必要和充分条件是，相应于此位移状态的变形体势能取驻值,也即是变形体势能仅对位移量所取的一阶变分恒等于零，这就是势能驻值定理。由变分法可知，泛函的一阶变分为零，而二阶变分大于零，所以对于线弹性体，某一可能位移状态为真实位移状态的必要和充分条件是，此状态的变形体势能取最小值，这就是最小势能原理。2.3 杆系有限元分析杆系是工程中常见的结构，每一个杆件都可以看作一个单元。单元分析的任务，在于建立杆端力和杆端位移之间的关系。2.3.1平面等直杆的单元分析拉压杆单元图2.1给出了拉压杆单元示意。已知等直杆件杆长l，横截面面积为A，材料弹性模量为E，所受轴向力分布荷载集度为p(x)。杆端位移分别为，杆端力分别记为，。图2.1 拉压杆单元示意设局部坐标系下杆中A点的坐标为，因为只有两个边界条件，因此杆轴任意一点（例如A点）的位移可以假设为 （1）式中 a,b-待定参数它们可由杆端位移条件来确定 （2）将（2）式代回式（1）可得杆轴A截面位移为 （2.1.1 ） 若引入如下无量纲变量 （3）则式（2.1.1）可改写为 （2.1.2）式中 （2.1.3）称为形函数，矩阵称做形函数矩阵；矩阵成为杆端位移矩阵或结点位移矩阵。由式（2.1.3）可见，形函数具有如下性质：1、 本端为1，它端为0 2、 任意一点总和为1 （2.1.4）如果采用虚位移原理给出单元特性公式，则可设杆端分别产生虚位移，由此引起的杆轴任意一点的虚位移（或单元内任意一点的虚位移）为 （2.1.5）将式（2.1.2）代入几何方程有 （2.1.6（a）式中-应变矩阵。由此可得 （2.1.6（b）将式（2.1.6（a）代入物理方程有 （2.1.6（c）将式（2.1.5）、式（2.1.6）代入虚功方程可得（2.1.6（d）式（2.1.6（d）可做如下改写 （2.1.6（e）若记 （2.1.7）则式（2.1.6（e）为 由虚位移的独立性、任意性，可得单元刚度方程 （2.1.8）式中单元刚度矩阵的显式为结果与结构力学矩阵位移法推导结果相同。只记弯曲的杆单元讨论的单元如图2.2所示，结点位移为，其边界条件为:时 时 图2.3 弯曲单元示意图中，为为平面内分布的力偶；为竖向均布荷载。由边界条件限制，设离结点x处杆轴挠度为 （4）利用杆端位移条件可求得待定常数如下 （5）把式（5）代回式（4）可得 （2.2.1）式中 （2.2.2（a） （2.2.2（b） （2.2.2（c）引入无量纲变量 （6）则 （2.2.3）式（2.2.3）即为平面弯曲单元的形函数，它们具有如下性质 1 00 10 00