最小二乘法原理VC++实现及应用毕业设计.doc

北京信息科技大学 毕业设计（论文） 题目 最小二乘法原理，VC+实现及应用 学院 理学院 专业 信息与计算科学 学生姓名 班级/学号 指导老师/督导老师 起止时间： 年 月 日 至 年 月 日 摘 要最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法1，目前在测量学、城市道路规划、物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。本文对最小二乘法进行了深入细致的研究，利用Visual C+编制程序实现最小二乘法的界面化设计，通过实验数据的输入，实现线性和二次拟合曲线的输出，并利用设计的程序实现了一些实际问题的求解和处理。关键词：最小二乘法；曲线拟合； Visual C+Abstract The least square method (also called the least-square method) is a kind of mathematical optimization technique, and it is a calculation method minimizing the error sum of squares to find the best function matching of the data, it has been widely applied in the field of surveying , urban road planning, physics, geological exploration , science , probability theory and statistics etc. In this paper, we study the least square method carefully, and use Visual C+ program to realize the least square method of the interface design, through the experiment data input, realize the output to the linear and secondary curve fitting, and use programs designed to achieve a number of practical problems solving and handling.Key words: The least square method; The curve fitting; Visual C+; 目 录摘 要Abstract第一章 概述1.1 最小二乘法简介11.2 VC+的介绍及其应用21.3 论文的主要结构安排3第二章 基本理论42.1 线性拟合曲线42.2 二次拟合函数52.3 多元线性拟合6第三章 最小二乘法曲线拟合的VC+实现93.1 程序实现最小二乘法流程图93.2 界面设计103.3 主要函数类143.4 程序设计中的问题15第四章最小二乘法的应用164.1 测定铜丝的电阻温度系数164.2 最小二乘法在道路中心线测量中应用194.3 最小二乘法在工业纯碱中铁含量测定中的应用214.4 应用效果分析23结束语24参考文献25第一章 概述1.1 最小二乘法简介最小二乘法是法国大数学家A.M.Legendre 最先于1805年发表的，其动机是为处理一类从天文学和测地学中提出的数据分析问题。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小3。最小二乘法还可用于曲线拟合，工程施工中，我们会经常取得一些相关的数据，这些数据往往来自与施工密切相关的测量或实验中，我们可以通过作图或多段插值取得变量之间的联系，但作图和插值查图往往误差较大。这时可采用最小二乘法先拟合出一个多项式，再根据此多项式求解任一自变量所对应的因变量较精确的结果，据此绘图可得到较精确、较合理的曲线4。1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星2,经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作天体运动论中。 法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。 勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执5。 1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达6。最小二乘法作为函数逼近的一种重要方法，广泛的应用于物理学、测绘学、数值计算、大地测量学等。最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到欧洲一些国家的天文和测地学工作者的广泛使用7。据不完全统计，自1805年至1864年的60年期间，有关这一方法的研究论文约250篇，一些百科全书，包括1837年出版的不列颠百科全书第7版，都收进了有关这个方法的介绍。在研究论文中，有一些是关于最小二乘估计的计算，这涉及解线性方程组。高斯也注意了这个问题，给出了正则方程的命名并发展了解方程的消去法。但是，在电子计算机出现以前，当参数个数较大时，计算任务很繁重8。1858年，英国为绘制本国地图作了一次大型的测绘，其数据处理用最小二乘法涉及模型中，用两组人员独立计算，花了两年半的时间才完成。1958年我国某研究所计算一个炼钢方面的课题，涉及用最小二乘法解13个自变量的线性回归，30余人用电动计算机算，夜以继日花了一个多月的时间9。勒让德的工作没有涉及最小二乘法的误差分析问题。这一点由高斯在1809年发表的正态误差理论加以补足。高斯的这个理论对于最小二乘法之用于数理统计有极重要意义10。 本文介绍了最小二乘法在实际测量学中的应用，以纯碱中铁含量的测定为例，碳酸钠是钻井液中常用的添加剂之一，主要用来调节PH值和对膨润土进行增效。铁含量是评价碳酸钠质量的一项重要指标，其含量大小直接影响碳酸钠的使用效果。测试碳酸钠铁含量的主要方法是邻菲罗啉分光光度法，样品溶液的吸光度随铁含量的不同呈线性变化。在曲线绘制的过程中，人为因素对实验数据的影响较大。运用最小二乘法，对所测得的数据统计分析、处理后进行线性加归，可以较好地提高测试结果的准确性与可靠性11。 1.2 VC+的介绍及其应用Microsoft Visual C+(简称Visual C+、MSVC、VC+或VC)微软公司的C+开发工具，具有集成开发环境，可提供编辑C语言，C+及C+/CLI等编程语言。VC+整合了便利的出错工具，特别是整合了微软视窗式设计（Windows API）、三维动画DirectX API，Microsoft .NET框架 。目前最新的版本是Microsoft Visual C+ 2010。Microsoft Visual C+以拥有“语法高亮”,InteriSense（自动编译功能）以及高级出错功能而著称。比如，它允许用户进行远程调试，单步执行等。还有允许用户在调试期间重新编译被修改的代码，而不必重新启动正在调试的程序。其编译及建置系统以预编译头文件、最小重建功能及累加连结著称。这些特征明显缩短程式编辑、编译及连结的时间花费，在大型软件计划上尤其显著。Visual Studio 是微软公司推出的开发环境，Visual Studio 可以用来创建 Windows 平台下的 Windows 应用程序和网络应用程序，也可以用来创建网络服务、智能设备应用程序和Office插件。VisualStudio是目前最流行的Windows平台应用程序开发环境。目前已经开发到10.0版本,也就是 VisualStudio 201012。VC+包括了各种增强功能，例如可视化设计器（使用NET Framework 3.5加速开发）、对Web开发工具的大量改进，以及能够加速开发和处理所有类型数据的语言增强功能。Visual Studio 2008为开发人员提供了所有相关的工具和框架支持，帮助创建引人注目的、令人印象深刻并支持AJAX的Web应用程序。开发人员能够利用这些丰富的客户端和服务器端框架轻松构建以客户为中心的Web应用程序，这些应用程序可以集成任何后端数据提供程序、在任何当前浏览器内运行并完全访问ASP NET应用程序服务和Microsoft平台。 图1 VC+6.0启动界面MFC是对WindowsAPI的封装，大大简化了我们的工作；学VC+主要就是要学MFC，大约有100多个类，但常用的也就二三十个。应该像背4级单词一样将这些常用类搞懂；当然不要死记，要通过看帮助、看例子、动手练习来学会它们；而且，并非每个类的内部的所有函数都要学会，要日积月累。如果真的想成为高手，做个笔记本把自己认为重要的类、函数记下来，随时学习，也是很好的突击方法。 1.3 论文的主要结构安排论文的第二章详细介绍最小二乘法的一些算法以及它们的推导过程；第三章利用VC+实现线性和二次曲线拟合算法；第四章利用设计的程序解决了一些实际应用问题；最后为结束语。第二章 基本理论 本章将主要介绍最小二乘法曲线拟合，包括其公式的推导。对于最小二乘算法，本论文只进行一些简要的概述,简单介绍三种：线性拟合、二次拟合函数、多元线性拟合。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，主要的思想是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小13。2.1 线性拟合曲线线性拟合在统计学上称为线性回归。设,为一组已知观测数据，拟合函数为一直线，即 （1）其中为待定参数，为误差。 式（1）表示随着的增加而线性增加或减少。按最小二乘法计算步骤，得各数据点的误差平方和为 （2）对式（2）求的偏导数，并使其等于0 （3）或 （4）这个方程组称为正规方程组，用消元或克莱姆法则，可求得方程组的解 （5） 其中，分别称为数据的平均值。令 则式（5）可写成 （6） 称为数据的方差，开平方后的称为标准差：为间的协方差，当其为0时线性拟合函数不存在。求得后就可写出具体的拟合函数表达式5。2.2 二次拟合函数 已知数据,，用的二次多项式拟合变量，即 （7）其中为待定参数，为误差。为了计算方便，在解方程组时减少一个未知数，由式（7）得到 （8）代入式（7）因此，有误差平方和对求偏导数，并使其等于0 （9）整理得到正规方程组 （10）或 （11）解此方程组，得到，再代入式（8）得，因而求得在最小二乘意义下的二次拟合函数5。2.3 多元线性拟合 多元线性拟合在统计学上称为多元线性回归，它表示一个变量受多个因素的影响。设变量和有组观测数据关于的拟合函数为线性，即其中参数也是由最小二乘法确定，即要求因此应该满足 （12）由式（12）中的第一式可得 （13）将式（13）代入（12）中的第二偏导数，可得 （14） （15）称之为与，与之间的协方差，它们表示彼此间现行相关的大小。若，表示与，与为线性正相关；否则为线性负相关，表示增加而（或）减少。当时的方差，因此式（14）可写成 （16）这是由个方程求解的个未知数的方程组可用高斯-约当消去法求解方程组（16）可以写成矩阵形式 （17）其中矩阵称为协方差矩阵。由于，因此协方差矩阵是对称的。 令 ，其中为的方差， 则式（16）和（17）可以分别写成 （18）和 （19）其中 ， （20）分别称为与，与的相关系数，表现相互间线性相关的程度。，。当为正相关；当为负相关，越接近1，则线性相关越好；越接近于0，则线性关系越弱。 由方程（16）和（17）求解比较直观，计算较为简单。由方程（18）和（19）求解较为复杂，但计算误差较小，计算后由 （21）求得，再由式（13）计算，得到线性拟合函数的具体表达式 （22） 如果试验是要通过的测量来寻找经验公式，则还应判别由上述拟合所得的方程是否恰当。这可由的相关系数来判别6： 第三章 最小二乘法曲线拟合的VC+实现 在这一章，我们将把最小二乘法曲线拟合在VC+的平台上实现出来，利用其可视化界面，给曲线拟合带来便利。3.1 程序实现最小二乘算法及流程图 根据上一章2.1节总结出最小二乘线性拟合算法的具体步骤为：步1. 由方差公式求偏导获得方程组 步2.输入数据获得矩阵步3.计算A的转置矩阵步4. ，解方程组获得系数步5. 计算步6. 输出运算结果根据以上步骤总结出算法流程图如下： 开始输入拟合次数T，坐标点数N，输入x,y坐标获得矩阵A计算x，y平均值获得A矩阵的逆矩阵BB获得矩阵C计算相关系数解方程组 获得系数输出结束图2 系统流程图3.2 界面设计所有的算法是在VC+6.0下设计的，我们只需运行程序，在视图中将显示结果.所有的操作请参看下图：图3 程序界面 查看版本信息图4 帮助信息选择菜单曲线拟合下的输入参数，将弹出输入参数对话框，如图： 图5 选择功能 运行程序，点击“曲线拟合”，选择“输入参数”（必输项）。图6参数窗口 参数窗口中，“输入值”，为拟合次数，必录项（整型），即：时，拟合曲线为线性一次函数。时，拟合曲线为二次函数形式。 “输入值”，为将要进行拟合的离散点数量，必录项（整型），离散点数量越多，拟合出的曲线更加精确。 “输入坐标”，每个数据点的坐标值（浮点型），空格隔开。数量根据值确定。 “输入坐标”，每个数据点的坐标值（浮点型），空格隔开。数量根据值确定。 在输入完参数值后，点击“确定”按钮，得到返回值窗口。图7 运算结果 实际使用中，可能出现对第一次拟合结果不满意，因此添加修改值栏：图8修改T值 点击修改值，出现如下窗口：图9输入数值 此时只需输入要拟合的次数，不需要再次输入其他参数值。图10运算结果3.3 主要函数类 在VC+程序设计语言中所有程序均由函数组成，函数是VC+程序编译的基本单位。VC+函数通常分为自定义函数与库函数。主函数是用户自定义的函数，所有函数都由函数类型、名称、参数和函数体四个部分组成。 class LeastSquare public:int N;int T;float xishu;public:LeastSquare();virtual LeastSquare();float pow_n(float a,int n);/a的n次方void mutiple(float *a,float *b,float *c); /矩阵A×矩阵B=矩阵Cvoid matrix_trans(float *a,float *b);/矩阵B=矩阵A的转置void init(float *x_y,float x,float y,int n);/n组坐标点的数组void get_A(float *matrix_A,float *x_y,int n);/得到矩阵Avoid print_array(float *arr,int n);/输出矩阵void convert(float *argu,int n);/将方程组转化为上三角方程组void compute(float *argu,int n,float root);/解方程组void get_y(float *trans_A,float *x_y,float y,int n); void cons_formula(float *coef_A,float y,float *coef_form);void print_root(float a,int n);void process(float x_point,float y_point,float result);void setN(int n);void setT(int t);float getXiShu(float x_point,float y_point);/获得相关系数;变量定义用途int N离散点个数fnt T拟合次数float xishu误差系数float *a 定义afloat *b定义bfloat *c定义cfloat *coef_A系数矩阵Afloat x_pointx系数表1 函数变量声明3.4 程序设计中的问题下面我们来总结一下程序设计中的一些问题，以及未实现的算法： 修改T值之后，重复调用算法。 输入坐标点时，若输入为字母，应提示错误，功能未实现。 坐标点输入过程中，输入坐标点个数不足时，未能提示信息。 特殊形式的函数如指数函数，对数函数的拟合未实现。 程序只能完成一次、二次函数拟合可继续修改完善程序方便使用。第四章 最小二乘法的应用上一章我们介绍了最小二乘法的VC+编程实现，在这章，我们利用最小二乘法和编制的程序来处理几个实际的问题，简要展示一下程序功能。4.1 测定铜丝的电阻温度系数 以惠斯通电桥测定铜丝在不同温度下的电阻值试验为例，简要说明程序的实用性。 任何物质的电阻都与温度有关，多数金属的电阻随温度升高而增大，有如下关系：，式中、分别是t、O时金属的电阻值，是电阻温度系数，其单位是-1。一般与温度有关，但对于实验用的纯铜材料来说，在-50100的范围内，的变化非常小，可当作常数，即与呈线性关系14,下表为实验采集数据：铜丝温度-电阻数据表序号温度t / 电阻R/125.1 21.34232.021.91340.122.58447.0 23.15554.0 23.73660.8 24.27767.124.80873.725.32表2 铜丝电阻实验采集数据图11数据点示意 根据离散点分布情况判断出，曲线大致走向类似于直线，则采用直线拟合：25.121.34-24.875-2.53563.058125618.76566.42622532.021.91-19.75-1.96538.80875390.06253.86122540.122.58-9.875-1.29512.78812597.515631.67702547.0 23.15-2.975-0.7252.1568758.8506250.52562554.0 23.734.025-0.145-0.58362516.200630.02102560.8 24.2710.8250.3954.275875117.18060.15602567.124.8017.1250.92515.840625293.26560.85562573.725.3223.7251.44534.282625562.87562.088025399.8187.1-1.775-3.9170.6273752104.71715.6108表3 运算数据计算过程： 记 平均值记：则正规方程组为：其中 将上式数据代入方程组得：解得： 下面我们利用程序解决计算问题，将参数输入到程序中运算：图12参数值输入图13 铜丝电阻实验拟合结果根据程序运算结果输入的曲线，利用Maple绘图软件画出相应的曲线走向：图14 拟合曲线和离散点绘图表示试验数据线性良好。根据比较可直观的看出铜丝电阻值随温度增加的变化，程序计算出的曲线方程很好的展示出了电阻值的变化规律。4.2 最小二乘法在道路中心线测量中应用 道路中心线是由一系列线路转折点组成的,路线中线的平面集合线形由直线和曲线组成, 由于测量往往存在误差, 所以需要对测得的数据进行处理, 使所测设的曲线是一条光滑连续的曲线。一般对曲线的处理方法有插值和拟合两种11。插值是目前常用的一种方法, 利用三次样条插值法、抛物线加权平均法和张力样条函数插值法都可以很好地解决这一问题, 但计算量非常大。利用基于最小二乘法原理的曲线拟合对线性进行设计, 可达到同样的目的, 且计算结果更为简便。测量得到实际数据【16】： X0.511.522.53Y1.752.453.814.807.008.60表4实际测量数据将数据输入到程序中：图15输入参数图16 曲线拟合结果 图17 函数曲线示意道路中心勘测通过计算道路中心线各点桩号坐标，用这些离散点进行拟合大致走向，为施工带来一定的参考价值。4.3 最小二乘法在工业纯碱中铁含量测定中的应用铁含量是工业碳酸钠的一个重要质量指标, 其含量高低直接决定着纯碱质量及其使用性能。邻菲罗啉分光光度法是测定碳酸钠中微量铁含量的经典方法, 样品溶液的吸光度随铁离子浓度的增大而呈上升趋势18。平时我们在实验过程中会遇到两量如果存在的线性关系时，其中为线性函数的参数。当实验数据存在这种线性关系时，通常我们运用作图法对其参数进行处理运算、进而求出实验结果。但是作图法很难得到好的结果，而运用最小二乘法可以得到比较好的线性拟合19。对其两种方法比较可以最小二乘法的数据处理方法是比较理想的办法。本文运用作图法和最小二乘法对工业纯碱中铁含量的测定的数据进行处理，得出运用最小二乘法可以得到误差比较小的铁含量。在曲线绘制的过程中，人为因素对实验数据的影响较大。运用最小二乘法，对所测得的数据统计分析、处理后进行线性加归，可以较好地提高测试结果的准确性与可靠性【20】。根据实验数据列以下表格：序号1234567铁标准溶液体积（mL）0.01.02.04.06.08.010.0含铁质量（mg）0.000.010.020.040.060.080.10吸光度0.0000.0700.1260.2500.3750.5360.630表5 实验数据收集 要使绘制的曲线尽可能圆滑并且尽可能经过所有的点，但是根据所测数据据绘出的曲线并不呈线性回归，所以只能主观的绘制一条平滑的曲线，根据直线经过的点，代入公式中求得和。图18离散点示意图 根据刚刚绘制的离散点图,这些点大致在一条直线上，我们可以认为变量和变量的关系是线性的，由此可以设其中和 是待定系数，根据最小二乘法提供的公式我们可以将已知数据输入程序计算：图19参数输入图20 曲线拟合结果根据程序运算结果，在Maple绘图软件中画出图像：图21 实验数据拟合效果图 将所求得数据代入公式可以求出 和，得到这样给出为铁的含量，代表吸光度，由(吸光度)进而求解为0.013、0.014（铁的含量）。4.4 应用效果分析 我们选取了代表数据，初步分析 、处理代入最小二乘法的计算公式中，求得经验公式。进而求得回归方程，减小了误差，使我们的测试数据更加科学合理化。 在这里我们利用最小二乘法只是解决了几个应用实例，对于在以后的监测数据中只要两个变量成线性相关我们都可以用最小二乘法，利用最小二乘法可以把实验误差减小到最小，提高实验数据的准确度与可靠性。以此我们可以利用最小二乘法编程，设计成计算机软件，这样只需将我们测得的数据输入计算机中就可以得出经验公式，进而求得未知量。结束语当今最小二乘法已经广泛的应用于各类学科，成为了不可缺少的重要工具。目前在物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着重要的应用。而最小二乘法曲线拟合的出现，又使得图像呈现更加直观，程序代码简单，使用方便，已经成为研究人员开展科研工作的有效工具之一。在做完了这篇论文后，学习到了许多新的知识。对于最小二乘法有了深一步的认识，了解了它的计算原理以及对于现在的测量估算上的意义，并对VC+也有了重新的认识，感受到了VC+在现代科技中的重要地位。在完成论文的过程中遇到了许许多多的困难，比如程序上的不完善，算法中的疑惑。经过了一次次的更改，才逐渐的完成了这篇论文。在毕业设计的过程中，学到了许多新的知识，在查阅资料的过程中获得了不少的收获：1对于最小二乘法了解，尝试着用最小二乘法手工计算数据的时候，明显的感觉到其中的繁琐及复杂。但是通过计算机编程实现算法的时候，不管是从计算量上还是时间上，都深切的体会到了编程实现算法的效率性和实用性。2在使用Visual C+的时候，开始对其一无所知。在设计程序的过程中，许多操作无 法实现。于是开始查阅资料，从图书馆借书或者询问同学。在此过程中，提高了自己对VC+编程的理解。3对Word及Excel的使用变得更加的熟练，在设计文体结构以及布局方面上有了新的认识。 之后的论文在闻老师的逐步建议以及要求下进行修改，直到论文逻辑的严谨性渐渐地完善，经过老师指导，对论文格式的重要性有了更深刻认识。在此也要感谢我的导师闻小永老师在这几个月间对我的帮助与耐心的指导。感谢李丰同学在Maple软件图形绘制过程中给予的帮助。 但是其中还是有许多的不足之处，由于对于VC+编程的不熟练使用，在对某些特定形式的函数曲线进行拟合这一过程中无法实现，导致程序不是很完善。在今后，还是要更加的努力，争取将此部分在不久之后实现出来。参考文献1 余介石.高等数学.高教出版社D,1959.2 任雪娟.计算方法.气象出版社M,2009.3.3 兰燕娜.基于VB语言实现最小二乘法直线拟合J.南通大学理学院.长江大学学报(自然科学版).2011,(06):09-034 陈良泽.用矩阵实现曲线拟合中的最小二乘法J.传感器技术.2001.(02):030-025 邹乐强.最小二乘法原理及其简单应用J.河南工程技术学校.科技信息2010.(03):045-046 高盼.基于最小二乘法的道路平面曲线拟合J.测绘信息与工程 2011.(02):019-037 邹占勇.基于最小二乘法分析第三产业对国民总收入影响J.经济研究导刊 2011.(28):0007-028 张亚军，陈立新.最小二乘法和熔丝编程J.测绘信息与工程 2012.(02):015-049 唐妍霞.用最小二乘法解决的一个物理问题J.河北北方学院学报 2012.(01):008-0410吴建民，陶菊春.一元线性回归问题的改进方法J.甘肃农业大学学报 1992.(03):232-23611郑健，杨洪国，马婷婷.测量平差与最小二乘法在工程测量中的应用J.四川建筑，2010，30(1):177-17812贾小勇，徐传胜，白欣.最小二乘法创立及其思想方法J.西北大学学报（自然科学版），2006，36(3):507-51113米海珍，周凤玺，杨文侠.黄土湿陷系数的偏最小二乘回归分析与模型J.兰州理工大学学报，2004，30(2):110-11214罗海明.最小二乘法在伏安法测电阻实验中的应用J. 东北林业大学，2012，25(2):088-0315徐传胜，白欣.切比雪夫的最小二乘法插值理论研究J. 首都师范大学学报（自然科学版），201，32(5):7-1016任红萍，程玉民，张武.改进的移动最小二乘插值法研究J. 工程数学学报，2010，27(06):1021-102817 2012-5-2418 2012-5-2419Jinsiang Shaw，Noniterative solution of inverse problems by the linear least square method.Applied Mathematical Modelling 25(2001) 683-69620Pradova V,Walczak B,Massart DL,et al.A comparison of two algorithms for warping of analytical signalsJ.Analytical Chimica Acta,2001,450:131-141北京信息科技大学毕业设计（论文）附录题目 学院 专业 学生姓名 班级/学号 指导老师/督导老师 起止时间 至 附件A 程序源代码：算法程序：#include "stdafx.h"#include "CurveFitting.h"#include "LeastSquare.h"#include "math.h"#define W 1/权函数#define PRECISION 0.00001/精度#ifdef _DEBUG#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE=_FILE_;#define new DEBUG_NEW#endifLeastSquare:LeastSquare()LeastSquare:LeastSquare()float LeastSquare:pow_n(float a,int n) /a的n次方 int i;