小学数学教科书中数学文化的体现及分析.doc

小学数学教科书中数学文化的解读分析内容摘要：作为学生数学学习的重要资料，教科书承担着向学生传递数学文化的重要职责。小学数学教材中常以显性或隐性的形式来体现数学文化。立足实际,我从数学文化的角度对人民教育出版社出版的1-12套小学数学教材进行分析，整理发现教材中数学文化主要通过数学思想、数学应用、数学史料、数学美四种方式进行系统有序的渗透。关键词：数学文化 教材分析作为学生数学学习的重要资料，教科书承担着向学生传递数学文化的重要职责。目前，小学数学教材中是以显性与隐性两种形式来体现数学文化，显性形式有“你知道吗”、“数学游戏”、“数学阅读”等栏目，隐性形式有 “数学在自然科学和人文中多方面的应用”等。张维忠.文化是促进学生理解的载体N.中国教育报,2009年3月6日（6）为了对教材有个全方面的理解和把握，笔者以人民教育出版社编写的义务教育课程标准小学数学实验教科书1-12册（以下简称教科书）为研究对象，对教材中的数学文化渗透情况进行了统计分析。一、通过数学思想方法的渗透体现数学文化课标明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)M.北京:北京师范大学出版社,2001.6.数学家张景中也曾提到:“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”张景中.感受小学数学思想的力量J.人民教育,2007(18):32-35深入分析教科书，可以发现数学思想方法无处不在，主要有：1.集合思想所谓集合思想，就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。韩炜.新“课标”对小学数学思想的渗透J.教育科研论坛,2004 (1):17-18具体表现为集合概念，集合关系，集合运算的渗透。集合概念的渗透。教科书中常把具有某种属性的一些对象（物体、人、数、几何图形等等），用封闭的曲线圈起来看作一个整体，这个整体就是一个集合，圈内的对象就是集合的元素。集合图中对象的个数，有的是有限个，有的是无限个，有的是一个也没有，这便渗透了有限集、无限集和空集的概念。如一年级教材中6的认识（图1），便把 6个小朋友看成一个整体，也就是一个集合，然后把6个小朋友抽象成 6个点，即意味着集合的元素有 6个。又如一年级上册0的认识（图2），第三幅图中盘子里没有桃子，该集合中没有元素，也就是空集。图1 6的认识识图2 0的认识图4 三角形的分类图3 同样多集合关系的渗透。教科书以直观的形式渗透集合之间的等价关系和包含关系的情况也是屡见不鲜的。如，在一年级上册第67页（图3），通过比较小兔和砖引出“同样多”的概念，渗透了集合之间的等价关系。而在讲解几何图形之间的关系时，教科书利用图形间的关系向学生渗透集合之间包含关系。如四年级下册三角形分类（图4）。教科书中对子集的思想渗透也是很多，如四边形、长方形、正方形、平行四边形的关系，等腰三角形与等边三角形的关系，长方体和正方体的关系。图5 四边形的关系集合运算的渗透。在一年级数学书中，并集被用来说明加法的意义，差集被用来说明减法的意义。如一年级上册加法的主题图（图6），一年级下册20以内的减法主题图（图7）。三年级下册数学广角（图8），则是通过集合图非常清晰地表示出有 3个人是重复的，体现着交集思想的渗透。教科书中涉及交集思想的还有公因数，公倍数等。图6 加法的意义图7 20以内的减法图8 数学广角2.符号化思想英国著名数学家罗素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号化思想即是指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)去表述研究的对象。王建,程宏.符号化思想与小学数学,学科探索研究,2006(10):41-43符号化思想主要从以下几个方面作了渗透。数学符号的引入。根据小学生的年龄、思维特点一步步，教材有层次的引入了一些常用数学符号。（表1）变元思想。教科书在不同阶段，对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透，以便让学生逐步了解变元思想。如，一年级上册加法的练习在算式中用( )代表变元符号x (图9)。二年级下册思考题中，用、表示数字，让学生求解(图10)。这些都是变元思想的体现。图10 数学思考题图9 加法的练习用字母表示数的思想。教科书在第一学段简单渗透的基础上，从第二学段开始接触用字母表示数，还特别编排了一个单元让学生系统学习。主要体现在以下几个方式。（表2）列方程解应用题的思想。五年级上册的教科书有一个独立的单元让学生系统学习列方程解应用题的方法，并且在六年级的分数应用题及一些数学广角中得到具体应用。例如，五年级上册较复杂的方程的学习(图11)，六年级上册用方程解决问题。(图12)图11 稍复杂的方程 图12 解决问题3.转化思想转化思想是将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，它是解决数学问题的基本思路和途径之一,是一种重要的数学思想方法。张茹华.小学数学思想方法及其教学研究J,内蒙古师范大学学报教育科学版,2009(2): 97-98它在教科书中有以下三种体现。计算教学中体现。比如，多位数乘多位数的法则，实质上是把多位数乘多位数转化为一位数乘多位数（图13）；而一位数乘多位数的法则，则是将其与表内乘法进行沟通；把小数加减法转化成整数加减法；小数乘法则利用积的变化规律转化为整数乘法。可以这么说，教材中后续计算知识的学习，都是通过将其转化成原来的知识进行迁移的。图13 多位数乘多位数 公式推导中体现。平面图形的面积公式的推导，往往是利用面积的可加性和全等形等积这两个公理。如，利用剪拼法将平行四边形的面积计算问题转化为长方形的面积计算(图14)；将三角形和梯形的面积计算归结为平行四边形的面积计算。 图14平行四边形的面积推导数学广角中安排。作为一种重要的思想方法，教材还专门安排了数学广角的内容，以引导学生转化的思想解决实际问题。如三年级下册的等量代换（图15），解决这个问题里学生通过转化，建立1头牛和（ ）只羊的联系，进行解决这个问题。如果说这是以图式方式渗透，那么六年级上册的鸡兔同笼则通过文字结合。（图16）图16 鸡兔同笼图15 等量代换4.极限思想极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，是用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。朱秀英.例谈小学数学中的思想方法J，中国教育技术装备，2009（7）：109教科书中极限思想主要体现如下。数与计算的无限多。教科书中数与计算领域的很多知识都会涉及到数量无限多的情况。如在学习“自然数”（图17）、“循环小数”（图18）这些概念时，让学生体会自然数是数不完的，循环小数的小数位数有无限多个。图17 自然数图18 循环小数几何图形的无限延伸。许多几何概念中都具有无限性的，如直线 、射线、角的边（图19）、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。图19 直线、射线和角图20圆的面积问题解决方法上的无限逼近。主要表现在推导圆面积公式（图20）的过程中，通过“化圆为方”，拼成近似的长方形，推出圆面积公式。“如果分的份数越多，每一份就分越小，拼图形越来越逼近边长方形后。”简单的文字，引导学生在“有限分割”的基础上想象“无限细分”，领会“将圆无限细分后拼成的是真正的长方形”。5.数形结合的思想数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体。刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透（下）J,小学数学数学版,2008(5):44-46有以下三种表现形式。数轴。数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化。教材中从第一册开始就渗透引导了数轴。如认识了小数之后，利用数轴找小数的位置，借助形理解小数的意义（图21）。图21 利用数轴认识小数图22 分数应用题线段图。线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具，教材中很多问题的解决都是依托线段图进行分析。例如求差、求和两步应用题，分数应用题（图22）。 面积模型。在分数的认识，分数的大小比较及分数运算，教材中总是将分数与图形结合起来。例如三年级上册的分数的大小比较（图23），教材呈现分数对应的图形，再让学生比较大小。六年级上册的分数乘法的运算（图24），也是通过逐步呈现图形理解分数，乘号所表示的意义。 图24 分数乘法图23 分数的大小比较 直角坐标系。这部分的内容，只在六年级的教科书有涉及。如六年级上册学习“数对”时（图25），将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，这是学生进第一次真正和直角坐标系面对面。对直角坐标系的初步认识，是学生在学习“正比例关系”时（图26），借助于形象的图象，来深入理解抽象的函数关系。图25 位置与方向 图26 正比例函数 6.函数思想函数思想，是指用函数的观点建立变量之间的关系，进而运用函数的性质去分析问题、转化问题和解决问题。刘加霞.函数思想在小学数学教学中的渗透(上)J,小学数学数学版,2008（1):41函数思想在小学阶段强调的是“渗透”,让学生感受到“于变化之中寻求不变,并把握规律的重要性”。小学阶段所涉及的函数主要有：和、差不变时，两个“加数”之间是特殊的一次(线性)函数关系。例如，在“数的组成与分解” （图27）中，两个加数之间之间是线性函数关系：y=-x+4(即x+y=10)。图27 数的组成正比例函数(y=kx，其中k是大于零的常数)。除了六年级专门的正比例函数学习，其他年级在探讨变化规律或数量关系时都有涉及。例如，当商不变时，被除数就是除数的正比例函数（图28）；单价不变时，总价就是数量的正比例函数；正方形的周长是边长的正比例函数；按比(比值不变)分配时，一个量就是另一个量的正比例函数；等等。图29 积的变化规律图28 商的变化规律反比例函数(特殊的幂函数)。和正比例函数的渗透一样。当两个数的乘积不变时，一个因数是另一个因数的反比例函数。例如，积不变时，两个因数之间的关系（29）；路程不变时，速度和时间是反比例关系；总量一定时，工作效率和工作时间是反比例关系等等。一元二次函数(y=a2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a0)。例如，在正方形面积，圆的面积公式中，面积是边长(半径)的二次函数。可以说,函数思想无处不在,只要蕴藏着变化的规律,也即蕴涵着函数关系。7.统计思想数学课程标准首次将“统计与概率”作为一个完整的知识板块纳入小学数学课程体系，于是统计教学得到了更多地关注，教科书中也更多地渗透了统计思想。小学数学中统计思想体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图。学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现一些相关的问题，得出一些结论。（详见表3）8.模型化思想数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，是数学自身发展的阶梯。研究模型可以帮助学生探索数学的作用，产生对数学学习的兴趣。孔企平，张维忠等.数学新课程与数学学习M.北京:高等教育出版社,2003在小学阶段，数学模型是数学学习内容中的重要部分。小学生学习这些数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。教科书中数学模型的表现形式为一系列的概念、算法、性质、定律及公理等。例如，五年级下册质数和合数（图30），先让学生写出120各数的因数。再根据它们的因数的个数有什么规律进行分析，完成表格。最后，抓住本质的东西再进行概括，并用数学语言进行描述“一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数)” 、“一个数，如果除了1和它本身两个因数还有别的因数，这样的数叫做合数”。这样就建立起了质数、合数这几个概念的模型。图30质数和合数二、通过数学应用体现数学文化 数学课程标准在总体目标中提出“要使学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)M.北京:北京师范大学出版社,2001.6教材也顺应了数学课程改革的需要，注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其它科学的联系。1.生活中的数学小学数学必须密切儿童的现实生活，这在课标中己有明确体现，当然，这一理念也凸显在现行教科书中的例题设计，练习设计，综合实践，阅读材料之中，可以说颇为丰富。比如，五年级下册在 “分数的意义”时（图31），为让儿童在生活中“亲历”数学，引入“把桌上的东西平均分给2个小朋友，每人分到 个苹果, 块月饼, 包饼干,你能用学过的整数来表示吗?”从而引出“在进行测量、分物和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。”这样的处理，让抽象的意义变得贴近学生，就拉近了数学与儿童的距离。再比如，四年级下册“小管家”（图32），让学生调查家里每一天的每一笔开支，制成统计表折线统计表，并根据变化向爸爸妈妈提出意见，将学习延伸到社会生活的方方面面，不但学到了知识，也提高了应用意识和解决实际问题的能力。此外，“你知道吗”栏目提供的阅读材料，还有相当比例是介绍社会常识与生活常识的内容（表4）。图32 小管家图31分数的意义 2.其它学科中的数学实际上，数学是受特定情境限制最少的学科，数学应用的触角很容易延到社会的各个领域之中。对此，恩格斯曾十分精辟地说：“正因为数学可以暂脱离物质形式而进行研究，所以它在这里提出，却可以在另外的地方应用。”严士健.数学思维与数学意识、创新意识、应用意识-数学进行素质教育的一点看法Z., 2005-9-24/2010-2-24数学已经进入了文学，进入了历史学，进入了考古学，进入了生物学等。数学可谓无处不在，无处不有，它广泛渗透在各个领域。下面的表格反映了教材中数学与其他学科的联系（表5）。3.数学游戏马丁·加德纳曾经对数学游戏的教育价值作了如下相当正确的评价：“唤醒学生的最好办法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”张维忠.文化视野下的数学教育M.北京:人民教育出版社,2005我们的教科书在编写中就充分关注了这点，引进了一些游戏素材(详见表6)为一线教师的教学提供了广阔的创造空间。三、通过数学史料体现数学文化数学发展的历史继承性是数学之所以成为文化的一个重要特征。从文化的角度来看小学数学教材，其必须体现数学是一个不断发展的历史过程。这一过程部分地映射在数学文化史料当中。1.小学教材中数学史料内容选择及呈现方式分析翻阅112册教科书，不难发现，数学史料的知识还是相当丰富，涉及面广。为了叙述方便，我将12册教材中有关数学史的内容选择与呈现方式列成表格如下（见表7）。从整体分布上看，除了一年级和二年级第一学期没有安排数学史，其他均有涉及。从内容上看，数学史料的内容不一，较为丰富。有介绍中外数学成就的，有反映中华优秀传统文化和人类文化的，有歌颂做出重大贡献的数学家的，也有展示数学文化的发展是一个漫长的历史过程的。从呈现方式上看，我们可以看出教材中数学史料大体上有4种呈现方式： “文字”（图33）仅用文字一种方式介绍的占41.9%， “文字为主”（图34）用文字作为主要的呈现方式穿插少量图片占35.5%、“图片为主”（图35）图片作为主要的呈现方式辅以少量的文字占9.7%、“连环画”（图36）通过一组图片来讲述一个完整的小故事占12.9%。 图34 几何学和欧几里得图33 方程的发展史图36 阿拉拍数字发展史图35 数的发展2.教材史料存在的主要问题及建议通过梳理和分析，我们不难发现小学数学教科书中数学史料存在以下几个问题。（1）数学史料内容单一。在数学史料内容的选择上，教科书中的数学史料主要展示了我国古代数学的伟大成就，对国外数学知识的介绍较少。偶有介绍，也大多是附带在中国数学文化介绍之后。内容也主要是以发展史为主。建议增加数学家介绍，数学名题，数学轶事趣闻、数学小故事等，不仅有助于了解数学文化，学习思维方法，更重要在于让学生感到数学是好玩的。（2）数学史料呈现方式单一。教科书中数学文化的专题内容有以图，以文，图文结合或连环画等形式呈现，但若一味地采用同一种阅读形式对学生而言，时间越久越引不起兴趣。在高年级，可以向学生提供有关资料的来源、数目、网址等，以丰富呈现形式，加大信息量，满足不同年龄段学生的需要。（3）编排位置单一。数学文化在教科书中总是被安排在练习后，而且大多用方框框起来，很容易让师生忽视对数学文化史料的学习。建议可根据内容相关的知识我们可以插于新授内容或练习编排中；也可以就某个专题的内容以单独的形式(正文简介、阅读材料)呈现出来，本套教材只有2个内容（六年级上册P114鸡兔同笼和六年级下册P73斐波那契数列）以阅读材料的形式出现感觉太少；亦可增加“数学史引出学习内容”模式是用数学史引领数学知识的学习，使儿童置身于历史境遇中，与文本达成视界融合，形成对数学知识的历史性理解。四、通过数学美体现数学文化古代数学家普洛克拉斯经说过：“哪里有数学，哪就有美。”吴振奎,刘舒强.数学中的美M.天津:天津教育出版社,1997可见，数学中充了美。数学美不同于艺术美、自然美，它是数学科学本质力量的感性与理性的呈现，是一种人的本质力量通过宜人数学思维结构的呈现，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。我们的教材中蕴含的美真是俯拾即是。1.数学的语言美数学语言是一种符号化的、由精确术语与关系语句所构成的语言，以其高度的抽象简洁地描述了客观事物的发展规律，为科学的发展提供精确的工具。数学语言美表现在符号语言的简洁之美、文字语言的严谨之美、以及图形语言的结构之美。首先，数学语言简洁、严谨，又富于形象化、理想化。如10个阿拉伯数字是当今世人共识的最简洁的文字，但它却能记录无限多的数。四则运算符号中，“+”是基本运算，“一”是“+”的逆运算，“x”是连续地“+”的简洁化，“÷”是“x”的逆运算。其次，数学概念的概括、明确，数学定理的简洁、深奥，数学公式的简明、醒目，也是其他学科无法与之相比的。数学中的概念可以说是人们精心“雕琢”的，每一句简单的话语都展示了数学语言独特的魅力。如“对边平行的四边形叫做平行四边形”，这个定义仅用了八个字就将最近的属与属差都表述得清清楚楚。还有，数学证明定理、推导公式的过程中，通过数学语言借助于数学方法和数学符号把思维、运算过程扼要地表现出来。语言精当，文字简约，逻辑严谨，达到了不可随意增删一字的极高境界。也是体现了数学语言的形式简洁、内容深刻。数学教材中的图形具有数学所特有的形体美。小学数学的几何图形中，正方形、等腰三角形、圆等都是优美的图画；这些基本图形经过重组（图37），或经过平移、旋转、翻折后产生的图案（图38），更是让人眼花缭乱，留连忘返，使人乐在其中。图38图形的拼组图37 设计镶嵌图形 2.数学的结构美数学的公理体系，虽然每个各不相同，但它们同时又是相对相容的，它们脉络的清晰、结构的严谨，相反相成的互为补充，使得整个数学理论协调、统一。如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形，虽有各自的面积公式（图39），但它们的推导方法却有着紧密的联系，而且最后可以归结为一个面积公式，就是梯形的面积公式。还有加减乘除的运算意义和计算法则，也构成一个整体之间相依、相反的关系，从横向分析，加与减、乘与除之间存在着互逆的关系；从纵向分析，加与乘、减与除之间又存在着互相转换的关系。分数除法可以转换成乘法，乘法也可以转换成除法。以至于蕴含在数学知识背后的思想方法也充满了这一特性，如分析法与综合法、直接法与反证法、逻辑思维与逆向思维等等。图39 空间与图形的整理复习3.数学的过程美数学的过程美体现在数学的逻辑推理过程中数学概念和规律的推导过程，既是思维能力的培养和训练的过程，也是审美愉悦的感受和体验的过程。牛学平.浅谈小学数学中的美J,学科教学,2009(4):101数学的过程美体现在数学推理的严密，数学定义准确解释概念的本质属性，数学结构系统的协调完整等。例如，乘法口诀表就是那样有规律，每一句的内容是那么简洁严密形式整齐，增一字嫌多余，减一字感不足读起来朗朗上口，其节奏感与音乐性可与诗歌相比美。数学的过程美体现在数学中新颖的结论，巧妙的解题方法。如一题多解，一图多变的练习都体现出一种奇异美，可以化繁为简，化难为易，化未知为已知，显示出异曲同工之美，体现了数学思想和方法的奇异和灵巧。如何让学生感受数学文化，认识到数学文化的价值所在，我们一线的小学数学教师就必须要提升自己对数学文化认识，充分认识或挖掘数学文化在教科书中的体现，在教学过程中运用多种方式积极渗透数学文化的教学，从而更好让学生体会到数学文化的价值,进而内化为学生的数学文化素养。