高考数学总复习精品课件（苏教版）：第三单元第二节 指数与指数函数.ppt

第二节 指数与指数函数,基础梳理,1.整数指数幂(1)整数指数幂概念:.;.,1,(2)整数指数幂的运算性质=.=.,=(m,nZ,a0);=(nZ).,a的n次实数方根.,2.分数指数幂一般地,如果一个实数x满足，那么称x为.当n是奇数时,.当n是偶数时.=.,a,3.有理指数幂的运算性质,其中s,tQ,a0,b0.,5.指数函数的图象与性质,增函数,减函数,y1,0y1,0y1,y1,R,(0,1),(0,+),典例分析,题型一 指数的运算【例1】化简或计算下列各式.,(3)已知a,b是方程 的两个根，且ab0，求 的值,分析 有理指数幂的运算应注意“化小数位分数”、“化根式为分数指数幂”的原则。,解(1)原式=,(2)原式=,（3）由条件知a+b=6，ab=4,又ab0，所以,学后反思（1）当条件给出小数或根式形式时，一般要化小数为分数，化根式为分数指数幂。(2)对于计算结果，如果条件用分数指数幂给出，结果一般,也用分数指数幂的形式给出；如果条件用根是形式给出，结果也往往采用根是形式。(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。,举一反三,1.计算：(1)(2)(3)若，求 的值。,解析（1）原式=（2）原式=,(3),题型二 指数函数图象的应用,【例2】已知函数,(1)作出函数图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求值域.,分析 本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和最值.,举一反三,2.指数函数 的图象如图所示,则二次函数 的顶点横坐标的取值范围是_,解析 由图可知指数函数 是减函数,所以0 1,而二次函数 的顶点横坐为,所以,即二次函数的顶点横坐标的取值范围是,答案：,题型三 指数函数性质的应用,【例3】求下列函数的定义域和值域。,分析 指数函数 的定义域为R，所以 的定义域与f(x)定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则。,解（1）定义域为R，因为-x+10,所以，所以值域为,（2）因为 恒成立，所以定义域为R，又因为，而，所以，所以，因此值域为（0，1）,(3)由，解得-4x 1，所以函数y=的定义域为-4,1,设 易得u在 是取得最大值,在x=-1或1时，取最小值0，,即。所以函数 的值域为，即函数的值域为即函数 的值域为,学后反思 弄清复合函数的复合过程，利用“同增异减”结论，准确判断其单调性。,举一反三,3.下列函数中值域为正实数集的是。,解析 对，的值域为正实数集，而1-xR,的值域为正实数集;中，当x=0时，中，y取不到1；的值域为0,1),答案：,题型四 指数函数性质的综合应用,【例4】(14分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时(1)求f(x)在-1,1 上的解析式;(2)求证:f(x)在(0,1)上是减函数.,分析 求f(x)在-1,1 上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0上的解析式,再去关注x=1,0三点时的函数值,要注意应用奇偶性和周期性;利用单调性定义来证明.,解(1)当x(-1,0)时,-x(0,1),f(x)是奇函数,2由f(0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(1)=0.4在区间-1,1 上,有,6,学后反思 本题以指数运算、指数函数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质.第(1)问求f(x)的解析式时,易漏掉对x=-1,0,1的讨论;第(2)问对 的证明易忽视.,举一反三,4.(2009无锡质检）已知函数 是奇函数（aR)（1）求实数a的值；（2）试判断函数f(x)在(-,+)上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的tR，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.,解析（1）由题意可得 f(x)是奇函数，f(-x)=f(x),即，整理得a-2=-a,即a=1f(x)=1-,(2)设 是区间（-，+）内的任意两个值，且则，即 f(x)是（-，+）上的增函数。（3）由(2)知，f(x)是(-,+)上的增函数，且是奇函数。,即 对任意tR恒成立只需解得-6m-2,错解 设，则3，故，从而 的值域为-3,+),考点演练,10.求函数 的单调递增区间,解析 设当x(-,3时，u(x)为减函数，又 为减函数所以函数 在(-,3上为增函数,11.函数 的定义域为集合A，关于x的不等式 的解集为B，求使AB=A的实数a的取值范围,解析 由，得1x 2,即A=x1x2 是R上的增函数，,12.（2010昆明调研）已知函数（其中a0且a1，a为实数).(1)若f(x)=2，求x的值（用a表示）；,（2）若a1，且 对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围（用a表示).,解析（1）当x0时 f(x)=0，当x0时,f(x)=由条件可知，=2 即 解得,（2）当t1,2时，即a1,t1,2,第三节 等比数列,基础梳理,1.等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an=a1qn-1,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3.等比中项如果 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项.,4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am qn-m(n,mN*).(2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal=aman.(3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则(bn0)仍是等比数列.,5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn=a1+a1q+a1qn-1，即,6.等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论.解若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81.将代入，得q=1+2a1.又q0,qn=81,q1,an为递增数列.an=a1qn-1=27.由、得q=3,a1=1,n=4.a2n=a8=137=2 187.学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析:a9+a10=a,a9(1+q)=a,又a19+a20=b,a19(1+q)=b,由 得则a99(1+q)=x,由 得答案:,举一反三1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中,(a0),则=_.,题型二 等比数列的判定【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证：数列an+1是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比数列的定义证明 为非零常数即可.解(1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1)an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有：(1)定义法:(q是不为0的常数，nN*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*);(3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*);(4)前n项和公式法：是常数，且q0,q1).,举一反三2.(2010合肥质检)已知数列 的前n项和为,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列,即,n=1,n=1,n2,n2显然，当n2时，充分性:当 时，,所以对nN*,都有,即数列 是等比数列.必要性:因为 是等比数列，所以,即,解得,题型三 等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一个等比数列的前四项之积为,第2、3项的和为,求这个等比数列的公比.,分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三3.(1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析：（1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，a17+a18+a19+a20=S424=124=16.（）a3a5=a24,a3a4a5=a34=8,a4=2.又a2a6=a3a5=a24,a2a3a4a5a6=32,题型四 等比数列的最值问题【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式;(2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析（1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三4.（2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn=（nN*）.(1)判断an是何种数列，并给出证明；(2)若a8+a13=m,求b1b2b20;(3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值.解析:(1)证明:设bn的公比为q,bn=3an,3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q,an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m,由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m.(3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010临沂质检)已知数列 中，,前n项的和为,对任意的自然数n2，是 与 的等差中项.（1）求 的通项公式;(2)求,错解(1)由已知得,又,得,两式相减得,故,又,故(2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列，故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证 是否等于，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时，.又,由、得(n2),上两式相减得,成等比数列，其中,即,当n2时，,即,n=1（2）当n2时，当n=1时，也符合上述公式.,【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解依题意，设这四个数为,aq,则,由得,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则 解得 或,考点演练,10.各项均为正数的等比数列 的前n项和为，若,求,解析：由等比数列性质得，,成等比数列，则 由 得,又 解得,11.(2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为,已知,(1)求首项 和公比q的值；（2）若，求n的值.,解析(1),解得(2)由,得 n=10.,12.(2009全国)设数列 的前n项和为,已知,(1)设,证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.,解析：(1)由 及,得,即,当n2时，.-得=,又,是首项为,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得=3,数列 是首项为,公差为 的等差数列,即,