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树的相关知识,雅礼 朱全民,红楼梦贾府关系结构示意图,树,树的定义：树是具有以下性质的有限结点集合：(1)有一个被称为“根”的结点。(2)根的所有孩子都是一颗子树的根。,树的相关术语,结点的度（degree）：该结点拥有的子数数目。右图中：degree(A)=3,degree(F)=0叶子（leaf）：度为0的结点双亲（parent）：拥有子树的结点孩子（child）：某个双亲结点的子树的根兄弟（sibling）：拥有同一个双亲结点的孩子祖先（ancestor）：从某一个结点往上一直到根经过的所有结点后代（descendants）：子树的所有结点层次（level）：双亲的层次+1;根的层次=1.高度（height）/深度（depth）：max levels.,树的表示（列表表示法）,(A),(A(B,C,D),(A(B(E,F),C(G),D(H,I,J),(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J),树的结点的大小将会随着其子树的数目不同而变化，这对我们来说显然不是一个很好的方法。,树的表示（双亲表示法）,双亲表示法 type tnode=record data:datatype;parent:integer;end;,每个结点都指向它的双亲，可以很方便从叶子找到祖先，但不能从根结点往下找。,树的表示（孩子兄弟表示法）,二叉树,二叉树是度不超过2的树二叉树的特性：第 i 层的最大结点数为2i1，高度为k的二叉树的最大结点数为2k1,二叉树的表示（数组表示法）,对于用数组表示的完全二叉树，对于任意结点i，有：,二叉树的表示（孩子表示法）,常用的存储结构 type bitree=node node=record data:datatype;lchild,rchild:bitree;end;,二叉树的遍历,遍历(先序遍历,中序遍历,后序遍历)Proc preorder(bt:bitree);if btNil then visit(bt)preorder(bt.lchild);preorder(bt.rchild);endP,二叉树的性质,在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点深度为K的二叉树最多有2k-1个结点在二叉树中,叶子结点的总数总比为度数为2的结点多1有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号,则对任意一结点i,有(1)如果i=1,则结点i是二查树的根，无双亲；如果i1，则双亲是i/2(2)如果2in，则结点i无左孩子，否则左孩子为2i(3)如果2i+1n，则结点i无右孩子，否则右孩子为2i+1,树与二叉树的转换,任意一棵树的孩子兄弟表示法都有唯一对应的一颗二叉树,根结点的右孩子总是为空,森林转化为二叉树,用“孩子兄弟表示法”可以将任意一棵树转化为二叉树的形式 森林转化为二叉树 如果F=T1,T2,Tm是森林，则可按如下规则转化为一棵二叉树。1)若F为空，即m=0,则B为空树 2)若F非空，即m0,则B的根root即为森林中第一棵树的根root(T1),B的左子树为从T1中子树森林F1=T11,T12,T1i转换而成的二叉树；其右子树Rb 是从森林F=T2,Tm中转换出来的二叉树,二叉排序树(Binary Sort Tree),二叉排序树又称为二叉查找(搜索)树(BST)它或者是一颗空树，或者是具有如下性质的二叉树：1)若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值2)若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值3)它左右子树分别为二叉排序树。,BST的特点,（1）二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。（2）二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的小于改为大于等于，或将BST性质(2)里的大于改为小于等于，甚至可同时修改这两个性质。（3）按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。,二叉排序树,在二叉树中，边有两种：红边：表示是父亲的左儿子蓝边：表示是父亲的右儿子,实例,BST的查找,FUNC bstsrch(t:bitreptr;K:keytype):bitree if(t=nil)or(t.key=K)then return(t)else if t.keyK then return(bstsrch(t.lchild,k)else return(bstsrch(t.rchild,k)endF,BST的插入,在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是：(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：(i)二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。(ii)keyTkey，则将它插入根的右子树中。子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。,BST插入的递归算法,PROC ins_bstree(var bst:bitree;k:keytp);采用链式存储结构 begin new(s);s.key:=k;s.lchild:=nil;s.rchild:=nil;if bst=nil then bst:=s;else if Kfkey then f.lchild:=s;else f.rchild:=send;,BST的生成为进行不断插入的过程!但在生成BST的时候,可能会由于根结点选择不好,使得树很斜,查找的效率降低,可以使用随机产生根结点的方法,使得BST较平衡,下图就是两棵关键字相同的BST树.,删除,分三种情况讨论1)删除叶子节点不破坏树的结构,修改其双亲结点:f.lchild:=NIL2)若只有左孩子Pl或者只有右孩子Pr,则只要令Pl或Pr直接为f的左孩子即可:f.lchild:=P.lchild;或者f.lchild:=P.rchild;3)左右孩子都有,设中序遍历的序列为ClC.QlQSlSPPrF,令P的左孩子为f的右孩子,而P的右孩子为S的右孩子 q:=p;s:=p.lchild;while srchildnil do q:=s;s:=s.rchild p.data:=s.data;if qp then q.rchild:=s.lchild else q.lchild:=s.lchild dispose(s),练习,写一个程序，读入n个整数，构建二叉排序树，输出二叉排序树的中序遍历结果。n=100000,样例,7-表示有7个数3265741,二叉查找树时间复杂度分析,二叉查找树(Binary Search Tree)可以被用来表示有序集合、建立索引或优先队列等。最坏情况下，作用于二叉查找树上的基本操作的时间复杂度，可能达到O(n)。某些二叉查找树的变形，基本操作在最坏情况下性能依然很好，如红黑树、AVL树等。,Splay 树,Splay树是二叉查找树的改进。对Splay树的操作的均摊复杂度是O(log2n)。Splay树与二叉查找树一样，也具有有序性。即Splay树中的每一个节点x都满足：该节点左子树中的每一个元素都小于x，而其右子树中的每一个元素都大于x。Splay树的核心思想就是通过Splay操作进行自我调整，从而获得平摊较低的时间复杂度。,Splay操作,Splay操作是在保持Splay树有序性的前提下，通过一系列旋转操作将树中的元素x调整至树的根部的操作(Zig:右旋,Zag:左旋)。在旋转的过程中，要分三种情况分别处理：1)Zig 或 Zag 2)Zig-Zig 或 Zag-Zag 3)Zig-Zag 或 Zag-Zig,Splay操作 情况1,Zig或Zag操作：节点x的父节点y是根节点。,Splay操作 情况2,Zig-Zig或Zag-Zag操作：节点x的父节点y不是根节点，且x与y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。,Spaly操作 情况3,Zig-Zag或Zag-Zig操作：节点x的父节点y不是根节点，x与y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。,Splay操作举例,Splay(1,S),Spaly树基本操作,查找：与二叉排序树查找类似，只是查找结束后要将找到的元素通过Splay操作旋转到根。插入：用查找过程找到要插入的位置，进行插入。然后将新元素旋转到根。删除：首先在树中找到要删除的元素，将他转到根节点并删去，这样原来的树就分裂成了两棵树，然后将左子树中拥有最大关键字的那一个元素转到根，由于它是左子树中的最大元素，所以他不存在有儿子，这样只要把原来的右子树作为他的右子树，就重新合并成了一棵树。可见在Splay树的基本操作中，处处要用到Splay旋转操作！,应用：Pet,宠物收养场提供两种服务：收养被离弃的宠物与让新的主人领养宠物。每个宠物有不相同的特点值。领养人所希望的特点值也不相同。如果领养人/遗弃宠物过多，则当前来的宠物/领养人选择离其特点值最近的（如果有两个特点值与其同样接近，则选择较小的）领养人/宠物，被领养/领养。并且纪录两个特点值的差值。输入N条请求(X,Y)，X=0表示宠物;X=1表示领养人，Y为特征值。任务是计算所有差值的和。（N=80000，等待的宠物/领养者数M=10000）,字典树（trie）,当关键字是串的时候，往往用trie。我们的动机是：利用串的公共前缀来节约内存，加快检索速度。例如，需要保存“computer”和“command”，由于它们的前三个字母是相同的，所以希望它们共享前三个字母，而只有剩下部分才进行分开储存。,例如，需要保存以下8个单词：becausebeforebegbeggarbelongbelowdaydead,Trie的特点,根节点不包含字母，除根节点外每一个节点都仅包含一个英文字母从根节点到某一节点，路径上经过的字母依次连起来所构成的字母序列，称为该节点对应的单词。每个节点的所有儿子包含的字母都不相同。插入和删除的时间均为O(L)L为字符串的长度,应用：最长前缀,给定n个字符串，即基元给定一个字符串T，即生物体的结构要找出字符串T由基元构成的前缀，使得该前缀的长度最大N=100,Len(T)=500000,基元长度L=20,样例基元：A，AB，BBC，CA，BA T:ABABACABAABCB最长前缀构成有三种方法 A+BA+BA+CA+BA+AB AB+AB+A+CA+BA+AB AB+A+BA+CA+BA+AB长度为11,分析,为了尽快的查找到基元，我们把基元构成一个单词树，也叫trie树。如下图为样例的单词树。该树最多为26叉树，任何单词要么是某个单词的前缀，要么为从根到叶子结点组成的单词。这样我们只需要O(L)的时间即可查找到某个单词，L为单词的长度。,动态规划,我们设前j个字符已经匹配，考虑前i个字符是否能匹配，主要看从i+1j组成的字符串是否是单词因此设f(i)表示前i个字符是否已匹配，若能匹配则为真(用1表示),否则为假(用0表示)。则有：,时间复杂度分析,每次求f(i)需要向前找f(j)，i-jL,每移动一次j需要判定word(j+1,i)是否是单词1=i=len(T),1=i-jL查找单词时间复杂度为O(L)因此总时间复杂度为O(len(T)*L2)。因为T=500000,L=20,因此,5*105*202=2*108,并查集引例,写一个数据结构，支持一下两种操作：现有若干个队伍，1、询问两个人是否属于同一个队伍2、合并两个人所在的队伍,输入样例,第一行 n m 表示有n个人（用1到n表示），在开始时没有两个人是属于同一个队伍。接下来m行，表示m次操作。每行操作有2种可能：1 x y 表示询问x和y是不是在同一个队伍2 x y 合并x和y所在的队伍（如果x和y已经在同一队伍，不做任何操作）,样例,4 51 1 32 1 31 1 32 3 41 4 1n=100000m=100000,NOYESYES,分析,每个队伍实际上是一个集合，两个操作相当于：1、询问两个元素是否在同一个集合2、合并两个集合尝试用树结构表示一个集合A与B是父子关系表示A与B 在同一个队伍,问题一,如何知道两个节点是否在同一颗树中？,问题二,怎样合并两颗树？,用双亲表示法存储树结构,若两种操作都解决了，如何储存这颗树呢？n-表示一共n个节点father1,father2,fathern表示每个节点的父亲节点是谁。如果t为根，则fathert=0,如何寻找根节点？,function find(t:longint):longint;var f:longint;begin f:=t;while fatherf0 do f:=fatherf;find:=f;end;,int find(int t)int f;f=t;while(fatherf!=0)f=fatherf;return(f);,启发式合并,如何合并？,procedure unionxy(x,y:longint);begin x:=find(x);y:=find(y);if xy then fatherx:=y;end;,voidunionxy(int x,int y)x=find(x);y=find(y);if(x!=y)fatherx=y;return;,效率分析,不断询问红色节点所在的根节点,路径压缩！,路径压缩,f为根节点while fathert0 do begin p:=fathert;fathert:=f;t:=p;end;,f为根节点while(fathert!=0)p=fathert;fathert=f;t=p;,并查集的时间复杂度,可以证明，经过启发式合并和路径压缩之后的并查集，执行m次查找的复杂度为O(m(m)其中(m)是Ackermann函数的某个反函数，你可以近似的认为它是小于5的。所以并查集的单次查找操作的时间复杂度也几乎是常数级的。,应用1：friend,有一个镇有N个居民。当然其中有许多人是朋友的关系。根据有名的谚语：“我朋友的朋友也是我的朋友”，所以如果A和B是朋友，B和C是朋友，那么A和C也是朋友。你的任务是算出在这个镇中最大的朋友集团为多少人。【输入文件】输入文件的第一行有2个正整数 N 和 M。N代表镇上居民的数目（1=N=30000），M 代表这些居民中朋友关系的数目（0=M=30000）。接下来的M行每行有2个整数A，B（1=A,B=N,A不等于B），代表A，B为朋友关系。这M行中可能有的会重复出现。【输出文件】输出文件仅一行，在这个镇中最大的朋友集团为多少人。,应用2：银河英雄传说,银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成30000列，每列依次编号为1,2,30000。之后，他把自己的战舰也依次编号为1,2,30000，让第i号战舰处于第i列(i=1,2,30000)，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为M i j，含义为让第i号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。,然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。该指令意思是，询问电脑，杨威利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。,分析,由于我们要得到的信息除了某条战舰在哪个队列，还要知道它在该队列中的位置。因此需要对并查集进行扩充。定义：ai：战舰i暂时标记为属于以战舰ai为首的队列，称战舰ai为战舰i的父节点bi：战舰i到战舰ai（包括战舰ai）之间的战舰数量，称bi为战舰i到战舰ai的深度。ci：战舰i所属队列后方（包括战舰i本身）的战舰数量（注意：此变量只有当ai=i时才有意义），称ci为队列长度。,分析,初始时：ai=i，bi=0，ci=1对于每个M i j命令，需要进行如下操作：对战舰i,j进行查找和路径压缩设ai=r1,aj=r2且r1r2，则：ar1=r2，br1=cr2，cr2=cr1+cr2对于每个C i j命令，需要进行如下操作：对战舰i,j进行查找和路径压缩判断是否有ai=aj，如是则表示他们是同一队列，输出|bi-bj|-1；如果不是则输出-1,引例,写一种数据结构，完成以下3种操作：(操作的总次数不超过100000)1、插入一个数2、询问最小值3、删除最小值要求是这3种操作都要快。,输入输出,输入每行一次操作，有如下三种：1 x：表示插入X这个数2：表示询问当前最小值3：表示删除最小值输出对于每个询问最小值操作，输出一行，每行仅一个数，表示当前的最小值。,输入：9-9次操作1 2021 301 1023232,输出：20102030,样例,用线性表作为数据结构,无序表：插入操作 O（1）询问最小值 O（n）删除最小值 O（n）有序表：插入操作 O（n）询问最小值 O（1）删除最小值 O（1）,二叉堆,定义堆是一棵完全二叉树，对于每一个非叶子结点，它的权值都不大于（或不小于）左右孩子的权值，我们称这样的堆为小根堆（或大根堆）。描述如下:n个元素的序列k1,k2,kn，当且仅当满足 ki=k2i 并且 ki=k2i+1 二叉堆肯定是一颗完全二叉树,在堆中插入元素x,首先将元素x放到堆中的最后一个位置（即最底层最右边的位置），然后不断地把x往上调整，直到x调不动为止（即大于它现在的父亲，或者x处于根结点）。,定义一个堆:Var st:array1.maxn of longint;/存储堆 n:longint;/堆中元素个数,插入(实际上是不断向上调整的过程),PROC up(k:longint);把第k个结点上调begin while k1 do begin i:=k div 2;i是k的父亲 if stistk then begin swap(i,k);k:=i;交换结点i和k end else exit;end;end;,在堆中删除任意一个元素,这里说指的删除任意一个元素，是指在当前堆中位置为w的元素。过程如下：首先把位置w的元素和最后一个位置的元素交换，然后删去最后一个位置，这样w上的元素就被删除了。接着把位置w上的新元素不断下调，直到满足堆的性质。,删除(实际上是不断向下调整的过程),PROC down(k:longint);把第k个结点往下调begin while k+k=n do begin i:=min 2k,2k+1;如果2k+1不存在直接返回k+k否则返回2个中间的值较小的元素 if stistk then begin swap(i,k);k:=i;end else exit end;end;,堆的构造就是不断插入到堆的过程,堆的插入.删除,PROC add(x:longint);添加一个值为x的元素begin inc(n);stn:=x;up(n)end;PROC del(x:longint);删除一个值为x的元素begin an:=ax;down(x)end;,给定m个实数w1,w2,wm,(m=2),要求一个具有m个外部节点的扩充二叉树，每个外部ki节点有一个wi与之对应，作为它的权,使得带权外部路径长度 最小，其中li是从根到外部节点的路径长度。,应用1：哈夫曼树,算法,1.构造m个只有1个节点的树2.找两个最小的权3.以这两个节点为左右儿子构造一个二叉树，并将该数的根节点权之为左右儿子权值之和4.继续第二步，直到剩下一棵树为止,应用2：任务,有n个任务，每个任务有一个截止完成的时间Ti和完成需要的时间Ci。现在你一个人希望从0时刻开始完成尽量多的任务。问最多能完成多少任务？,引例：数列操作,假设有一列数Ai(1in)，支持如下两种操作：将Ak的值加D。（k,D是输入的数）输出As+As+1+At。（s,t都是输入的数，ST）输入：第一行一个整数n，第二行为n个整数，表示Ai的初始值。第三行为一个整数m，表示操作数 下接m行，每行描述一个操作，有如下两种情况：ADD k d(表示将Ak加d，1=k=n，d为整数)SUM s t（表示输出As+At）输出：对于每一个SUM提问，输出结果,如果按题目要求直接模拟：每一个ADD操作的复杂度是O(1)每一个SUM操作的复杂度是O(N)可见对于M次SUM询问，复杂度是O(NM)有没有更好的方法呢？这里我们提出一种称之为线段树的数据结构。,用队列直接模拟,线段树的定义,线段树是一棵二叉树，记为T(a,b)，参数a,b表示区间a,b，其中b-a称为区间的长度，记为L。线段树T(a,b)也可递归定义为：若L1:a,(a+b)div 2为 T的左儿子；(a+b)div 2,b为T 的右儿子。若L=1:T为叶子节点。,表示区间1,10的线段树样例：,线段树的建立,我们知道，对于长度为n的线段建立的线段树，至多只有nlogn个节点，故建立线段树的复杂度是O(nlogn),Procedure MakeTree(a,b)Var Now:LongintBegin tot tot+1 Now tot TreeNow.a a TreeNow.b b If a+1 b then TreeNow.Left tot+1 MakeTree(a,)TreeNow.Right tot+1 MakeTree(,b)End,回到原问题,我们用线段树来维护序列。给线段树的每个节点增加一个域Treei.S，表示该区间内所有值的和。对于ADD k d操作，只需要从根节点开始遍历线段树中每个包含了k的区间节点，然后修改S域。由于这样的区间至多只有logn个，所以一次ADD操作的复杂度是O(logn),SUM操作,对于待计算的区间s,t：Function getsum(v):integer;if(s=Treev.a)and(Treev.b=t)then getsum:=Treev.S else begin tot:=0;if s,t和Treev.Left表示的区间相交 then tot:=tot+getsum(Treev.Left);if s,t和Treev.Right表示的区间相交 then tot:=tot+getsum(Treev.Right);getsum:=tot end;我们不难发现这个过程中所遍历到的区间数（节点数）和线段树的深度同阶，因此时间复杂度是O(logn),问题的解决,综上，M次操作的时间复杂度为O(Mlogn)通过引入线段树的数据结构，虽然ADD操作的复杂度提高到了O(logn)。但SUM操作变得更快(O(logn)。从而也使得算法在大数据处理上更加高效。,