一 线性变换与二阶矩阵ppt.ppt

导入新课,一般地,在线性变换下,是否仍然由平面上的直线变成直线,三角形变成三角形呢?,1.1 线性变换与二阶矩阵,第一讲 线性变换与二阶矩阵,教学目标,了解矩阵的概念掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵,知识与能力,过程与方法,情感态度和价值观,用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换,体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系,1.二阶矩阵的概念2.线性变换及其对应的二阶矩阵,教学重难点,重点,线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系,难点,旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换,（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵,1.旋转变换,将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度.设平面内点P(x,y)经过旋转后变成点,那么如何用P的坐标(x,y)表示 的坐标?,称为旋转角为180的旋转变换的表达式P是P在这个旋转变换的像.,逆时针方向旋转180,如图,在直角坐标系xoy内,点P(x,y)绕原点O按逆时针方向旋转180,变成点,例1 在直角坐标系xoy内,将每个点绕原点O按逆时针方向旋转30的变换称为旋转角是30的旋转变换.求点A（1，0）在这个旋转变换下的像A;写出这个旋转变化的表达式.,图1,图2,逆时针方向旋转30,(2)如图2,分别连接OP,OP,设OP=OP=r,即:,即得到正方形数表:,由两角和的三角函数公式得:,其中系数a,b,c,d均为常数，则称的几何变换为线性变换.式叫做这个线性变换的坐标变换公式.,在平面直角坐标系xOy中,很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式,定义,零矩阵:,记为:,单位矩阵:,记为:,2.反射变换,平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点P的线性变换叫做关于直线l的反射.,例:在直角坐标系xOy内,任意点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P(x,y).则相应的坐标变换公式是:,对应的二阶矩阵是,3.伸缩变换,在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2,其中k1,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换.,定义,伸缩变换的坐标变换公式为:,对应的二阶矩阵:,4.投影变换,设l是一条给定的直线.对平面内任意一点P作直线l的垂线,垂足为P,称点P为点P在直线l上的投影.,平面上每一点P变成它在直线l上的投影P,这个变换称为关与直线l的投影变换.,定义,在直角坐标系xOy内,任意点P关于x轴的投影变换的坐标变换公式为:,对应的二阶矩阵:,5.切变变换,如图,在直角坐标系xOy内,将每一点P(x,y)沿与x轴平行的方向平移ky各单位变成P,其中k为常数,称这类变换为平行于x轴的切变变换.,定义,平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为:,对应的二阶矩阵:,抢答,平行于y轴的切变变换的坐标公式?,对应的二阶矩阵:,（二）变换、矩阵的相等,旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式,即:,对应的二阶矩阵:,即:,旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式,即:,即:,对应的二阶矩阵:,观察,从上例中你发现了什么相同点和不同点?,相同点：,不同点：,1.旋转变换的坐标变换公式2.对应的二阶矩阵,1.旋转角度,设,是同一直角坐标平面内的两个线性变换.若对平面内任意点P,都有（P）=(P),则这两个线性变换相等,记为=.,定义,设,所对应的二阶矩阵分别为A=,B=.若=,则a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d2.这时我们称二阶矩阵A与二阶矩阵B相等.,定义,解:由矩阵定义:,课堂小结,1.几种特殊的线性变换:旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换,(要求：理解并掌握各变换所对应的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵.),2.变换和矩阵的相等,（1）变换相等:对应坐标变换公式和二阶矩阵相等（2）矩阵相等:对应系数相等,注:两个线性变换相等当且仅当对应的 二阶矩阵相等,课堂小结,教材习题答案,1.（1）坐标变换公式为:,对应的二阶矩阵:,（2）坐标变换公式为:,对应的二阶矩阵:,3.（1）点 在这个投影变换下的像为,（2）设P(x,y)是平面直角坐标系xOy内的任意一点，则它在这个变换下的像为P(x+y,0),因此,坐标变换公式是,对应的二阶矩阵是,5.由X=Y,得x=3,y=9,z=0.,6.设P(x0,y0）是平面直角坐标系xOy内的任意一点,它关于直线l:y=2x的投影变换下的像为P（x,y).易得:过点P（x0,y0)垂直于直线的斜率为k=1/2.于是,直线方程为：,解方程组:,得直线l:y=2x与直线yy0=1/2(xx0)的坐标(（x0+2y0)/5,（2x0+4y0)/5）.,M是线段PP的中点,所以,即:,坐标变换公式:,对应的二阶矩阵:,(2)对应的坐标变换公式:,对应的二阶矩阵:,再见,