四级 奥数 讲义 366学子 教案库 第7讲.精英班.教师版染色与操作问题.doc

第七讲 染色与操作问题教学目标1. 掌握染色问题的分析思路和典型的染色方法；2. 理解操作问题的解题方法。经典精讲染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。【例1】 六年级一班全班有名同学，共分成排，每排人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【分析】 划一个的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有个黑格，个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。【例2】 右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达到，为什么？【分析】 采用染色法。如右下图，共有个展览室，对这个展览室，黑白相间地进行染色，从白室出发走过第扇门必至黑室，再由黑室走过第扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的个展览室，再回到白室，共走过扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。 现在，走过扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室。巩固 有一次车展共个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?分析 如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多个，而实际上白格、黑格都是个，故不可能做到不重复走遍每个展室。【例3】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【分析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22个和23个。因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它个点，要跳步，是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）。因为步跳过的点与点各个，所以起点必是，终点也是。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。【例4】 右图是由个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形？【分析】 将这个小方格黑白相间染色（见右下图），有个黑格，个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么个格应当是黑、白各个，与实际情况不符，所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形。巩固 右图是由个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成个相同的长方形？分析 将个小正方形剪裁成个相同的长方形，就是将图形分割成个的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有黑，白，黑、白格数目不等，而的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。【例5】 能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？【分析】 不能。将的棋盘黑白相间染色（见右图），有个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是或者，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住个黑格。巩固 如右图，缺两格的方格有个格，能否用个图不重复地盖住它且不留空隙?分析 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格个，白格个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。【例6】 用个和个能否盖住的大正方形？【分析】 如右图，对的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住白黑，个则盖住白黑。则盖住了白黑或黑白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的白黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住。注意：本题中每个盖白黑或黑白，个这种形状盖住的不一定是白黑或黑白，因为可能一部分盖白黑，另一部分盖黑白。这是一个容易犯错的地方。拓展 用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形？请说明理由。分析 如右图所示，将或的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有个，是奇数，所以只用和的小正方形，不可能拼成的大正方形。操作问题【例7】 对于任意一个自然数，当为奇数时，加上；当为偶数时，除以，这算一次操作。现在对连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现？为什么？【分析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到： 这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到，但也不能肯定得不到。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现。因为这一过程很长，所以这不是好方法。我们可以从另一个方面来考虑，因为和都是的倍数，而不是的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是的倍数。不是的倍数，所以不可能出现。【例8】 将一张正方形纸片，横着剪刀，竖着剪刀，裁成尽可能大的形状大小一样的张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方形边长为厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。【分析】 大正方形纸片被横着裁成份，竖着裁成份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为，若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、宽的公约数，而，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的倍，所以长方形纸片宽厘米，大正方形纸片边长为厘米。所以大正方形纸片的面积为平方厘米。【例9】 对于表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表？为什么？【分析】 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表中九个数的总和是，是个偶数。奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表。巩固 在图的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加或减，这算一次操作，经过若干次操作后变为图，问：图中的格中的数字是几？分析 将的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加或减，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图知这个差是，由图可知：白格数之和黑格数之和，所以。【例10】 能否把台电话中的每台电话恰好与其它台相连？【分析】 如果我们可以把个电话或个电话做到每台电话与个电话相连接，我们可以将分成个一组的共组以及个一组的共组。如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为台电话的情形，右图为台电话的情形。所以我们可以把台电话中的每台电话恰好与其它台相连。【例11】 下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从点穿过房间到达处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？【分析】 只有一个口，只能选择进；有两种选择，可以选择进也可以选择进，所以有种走法；依此类推，每间房间的走法种数如下：。所以从点开始有（种）。【例12】 右图是一个的方格盘。先将其中的个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？【分析】 开始时染黑个方格，这个方格的总周长不会超过，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过，而方格盘的周长是，所以不能将整个方格盘都染成黑色。巩固精练1. 右图是某套房子的平面图，共个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【分析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现有个白格，个黑格。因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为才能不重复，但图中黑格比白格多个，所以无法实现不重复走遍。2. 如右图，在方格的格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中。那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到格中?【分析】 由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。所以，它由出发回到，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。而小方格为个，每格爬过一次，就应该为步，不是偶数。于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到格。3. 老师在黑板上画了个点，要求同学们用一笔画出一条通过这个点的折线(只许拐三个弯)。你能办到吗?【分析】 大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定在这个点的范围之内。我们把折线的范围冲破图中个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如右图。4. 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着。然后转动圆盘，每次可以转动的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是？【分析】 不可能。因为每次加上的数之和都是，所以黑板上的四个数之和永远是的整数倍。而，不是的倍数，所以黑板上的四个数不可都是。 篮球运动起源于年，由美国的体育教师詹姆士·奈史密斯博士发明。年柏林奥运会上，男子篮球比赛第一次被列为正式比赛项目。女子篮球到年蒙特利尔奥运会上才被正式纳入。奥运会上只设男子和女子团队两块金牌。在过去的届男子篮球和届女子篮球奥运会比赛中，美国男篮获得了次冠军，苏联男篮获得次冠军，南斯拉夫和阿根廷男篮各获得次冠军；美国女篮获得次冠军，苏联女篮获得次冠军，独联体女篮获得次冠军。中国在奥运会上取得的最好成绩是男子第八名（第届亚特兰大和第届雅典奥运会），女子为第二名（第届巴塞罗那奥运会）。宋朝的范仲淹从小就懂得立志，有一次他去算命，他问那个算命先生说，“你帮我看一看，我能不能当宰相”，这位算命先生一辈子从来没有见过一个小孩居然开口就说要当宰相，吓了一跳，跟范仲淹说，“小小年纪，怎么口气这么大？”范仲淹有点不好意思，又跟他说，“不然这样好了，你再看看，我能不能当医生”。算命先生觉得纳闷，怎么会有两个差别这么大的志愿，就问他，“你为什么挑这两个志愿?”范仲淹说，“因为只有良相跟良医可以救人”。算命先生听完后很感动，一个孩子竟然念念不忘想着要救人，所以他马上跟范仲淹说，“你有这样一颗心，叫真正的宰相之心，你以后一定可以当宰相”。后来范仲淹果然当了宰相。因为他从那时就在做准备了，从小他的志向就很坚定，勇往直前。越是高远的志向，越是有一颗无私的心。超越一己之私的理想信念能产生不同寻常的动力，激励人们前进。1、心灵选择志向，志向选择人生。2、无私的人离成功更近。1. 用户明确同意其使用道客巴巴网络服务所存在的风险将完全由其本人承担；因其使用道客巴巴网络服务而产生的一切后果也由其本人承担。道客巴巴对用户及任何第三方不承担任何责任。2. 道客巴巴不担保或保证网络服务一定能满足用户的要求，也不担保网络服务不会中断，对网络服务的及时性、安全性、准确性也都不作任何担保或保证。3. 道客巴巴不保证为向用户提供便利而设置的外部链接的准确性和完整性，同时，对于该等外部链接指向的不由道客巴巴实际控制的任何网页上的内容，道客巴巴也不承担任何责任。4. 对于因不可抗力或道客巴巴不能控制的原因造成的网络服务中断或其它缺陷，道客巴巴不承担任何责任，但将尽力减少因此而给用户造成的损失和影响。5. 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