大学概率论课件ppt多维随机变量及其分布.ppt
习 题 课,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。4 要理解随机变量的独立性。5 要会求二维随机变量的和及多维随机变量的最 值分布和函数的分布。,第三章 习题课,返回主目录,设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e，设 X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e),1 二维随机变量的定义,返回主目录,第三章 习题课,注 意 事 项,返回主目录,第三章 习题课,2 二维随机变量的联合分布函数的定义,返回主目录,第三章 习题课,二维分布函数的几何意义,y,o,(X,Y),返回主目录,第三章 习题课,一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),第三章 习题课,分布函数具有以下的基本性质：,F(x,y)是变量 x,y 的不减函数，即对于任意固定的 y,当 x1 x2时，对于任意固定的 x,当 y1 y2时，,对于任意固定的 Y,对于任意固定的 X,2),1),且,返回主目录,第三章 习题课,3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),4),F(x,y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,第三章 习题课,说 明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；如果某一二元函数具有这四条性质，那么它一定是某一二维随机变量的分布函数,返回主目录,第三章 习题课,3 n 维随机变量,返回主目录,第三章 习题课,n维随机变量的分布函数,返回主目录,第三章 习题课,4 二维离散型随机变量,第三章 习题课,二维离散型随机变量的联合分布律,返回主目录,第三章 习题课,二维离散型随机变量联合分布律的性质,返回主目录,第三章 习题课,二维离散型随机变量的联合分布函数,返回主目录,第三章 习题课,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 如果存在非负实函数 使得对于任意的实数 有,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,5 二维连续型随机变量,返回主目录,第三章 习题课,按定义，概率密度 具有以下性质：,40 设 G 是平面上的一个区域，点(X,Y)落在 G 内 的概率为：,返回主目录,第三章 习题课,在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积,返回主目录,第三章 习题课,二维均匀分布,返回主目录,第三章 习题课,二维均匀分布几何意义,返回主目录,第三章 习题课,二维正态分布,返回主目录,第三章 习题课,6 边缘分布的定义,边缘分布也称为边沿分布或边际分布,(一)已知联合分布函数求边缘分布函数,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,(二)已知联合分布律求边缘分布律,返回主目录,第三章 习题课,已知联合分布律求边缘分布律,返回主目录,第三章 习题课,(三)已知联合密度函数求边缘密度函数,返回主目录,第三章 习题课,7 离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：,返回主目录,第三章 习题课,定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j,若PY=yj 0,则称,为在Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X=xi|Y=yj 0；,返回主目录,第三章 习题课,定义：给定 y，设对于任意固定的正数，Py0,若对于任意实数 x，极限,存在，则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，写成 P X x|Y=y，或记为,返回主目录,8 条件分布函数和条件密度函数,第三章 习题课,在条件Y=y下X的条件分布函数为：,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,条件密度函数的性质,返回主目录,第三章 习题课,9 随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,注,（1）离散型随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,联合分布律,返回主目录,第三章 习题课,（2）连续型随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,注,(3)n维随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,n维随机变量的独立性,2.若 X,Y 独立，f(x),g(y)是连续函数，则 f(X),g(Y)也独立。,返回主目录,第三章 习题课,注,（1）连续型随机变量和的分布,返回主目录,10 连续型随机变量函数的分布,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,返回主目录,第三章 习题课,结 论,返回主目录,第三章 习题课,2）,3）,返回主目录,第三章 习题课,结 论,解题步骤,(2)其它的分布,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,例1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为,（1）求边缘概率密度函数,.,（2）求,第三章 习题课,解：,第三章 习题课,第三章 习题课,例2 设(X,Y)在区域D=(x,y)|0 x 1,0 y 2 上服从均匀分布，（1）求X和Y的联合概率密度。（2）设含有a的二次方程为,试求a有实根的概率。,解:,由题意知,方程有实根的条件为,因此,第三章 习题课,例3,在一简单电路中，两个电阻,串联连接。,相互独立，概率密度函数均为,设,求总电阻,的概率密度函数,解：,的概率密度函数为,上述积分的,第三章 习题课,被积函数不等于零。参考图可得,10,10,20,当0 r 10,第三章 习题课,当10 r 20,第三章 习题课,例4,某箱装有100件产品，其中一、二、三等品数目分别是80，10，10件，现在从中不放回地依次取两件，令,i=1,2.试求：,（1）,和,的联合分布率；（2）说明,是否独立.,和,解：,第三章 习题课,是不独立。,与,第三章 习题课,例5 设随机变量,与,相互独立，,服从区间,上的均匀分布，,服从,的指数分布求,（1）X和Y的联合密度；（2）设含有a的二次方程为,试求a有实根的概率；,（3）又设随机变量,试求随机变量,的概率密度函数.,第三章 习题课,解：由已知易得,（1）,由于X,Y独立，,因此X和Y的联合密度为,（2）方程有实根，则,即,，,.,P(方程有实根)=P(),第三章 习题课,(3)利用公式,当且仅当,.,当0z1时，,当,时，,.,.,第三章 习题课,故,或利用公式,当且仅当,当0z1时，,当 时，,.,.,第三章 习题课,设二维随机变量有密度函数：,练 习,第三章 习题课,（1）求常数,（2）求边缘概率密度,（3）,是否相互独立。,解:(1),第三章 习题课,则,（2）,（3）,所以,相互独立.,
