华东师大版七年级数学下册 第9章 多边形 教学ppt课件.ppt

第9章 多边形9.1 三角形,1.理解三角形的有关概念.2.掌握三角形中三条重要的线段的画法以及简单应用.,由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫做三角形.,注意：1、不在同一直线上；2、首尾顺次连结.,注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作ABC，也可记作ACB.,2.三角形的表示：,三角形用符号“”表示，如上图的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”.,1.三角形的定义：,如图，ABC的三个顶点分别是：A,B,C.,3.三角形的顶点：,如图，ABC的三条边分别是：AB,BC,CA.它的三个角分别是：A,B,C.,A,B,C,a,b,c,4.三角形的边、内角：,A,B,C,a,b,c,注意：1.三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制.2.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.如：ABC的三边中，顶点A所对的边BC表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c.3.一般情况下，我们把边BC叫做A的对边，AC,AB叫A的邻边；边AC叫B的对边，AB,BC叫B的邻边；你能说出C的对边及邻边吗？,D,5.三角形的外角:,三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角,画一个ABC，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试同时想一想ABC的外角共有几个呢？,每一个三角形都有个外角,每一个顶点相对应的外角都有个,它们相等.,归 纳,A,B,C,D,E,图中,哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？,思 考,【例】图中,以BC为边的三角形共有_个；它们分别是_在ABD中,A是_边的对角,ADB是_的内角,又是_的一个外角,4,BCF，BCE，BCD，BCA,FDC 或BDC,ABD,BD,【例题】,1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念的是（）,B,A,C,C,2.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.,E,A,D,B,C,解：图中有5个三角形.分别是：ABE，DEC，BEC,ABC，DBC.,【跟踪训练】,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,（所有内角都是锐角）,（有一个内角是直角）,（有一个内角是钝角）,三角形按角分类,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,试一试,按角分,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,按边分,不等边三角形,三角形的分类,等腰三角形,只有两条边相等的三角形,等边三角形,讨论归纳,你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?,过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?,B,A,C,想一想,A,从三角形的一个顶点,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段，,叫做三角形这边上的高，,简称三角形的高.,如图,线段AD是BC边上的高.,任意画一个锐角ABC,请你画出BC边上的高.,注意标明垂直的符号和垂足的字母.,概念学习,锐角三角形的三条高,每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?,(2)这三条高之间有怎样的位置关系？,将你的结果与同伴进行交流.,锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,A,B,C,D,E,F,锐角三角形的三条高交于同一点.,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,探究交流,直角三角形的三条高,在纸上画出一个直角三角形.,将你的结果与同伴进行交流.,A,B,C,(1)画出直角三角形的三条高.,直角边BC边上的高是_;,AB,直角边AB边上的高是;,CB,(2)它们有怎样的位置关系？,D,斜边AC边上的高是_.,BD,直角三角形的三条高交于直角顶点.,钝角三角形的三条高,(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？,(2)它们所在的直线交于一点吗？,将你的结果与同伴进行交流.,O,钝角三角形的三条高不相交于一点.,钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.,三角形的三条高的特性：,高所在的直线是否相交,高之间是否相交,高在三角形内部的数量,钝角三角形,直角三角形,锐角三角形,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在的直线交于一点.,三条高所在直线的交点的位置,三角形内部,直角顶点,三角形外部,归 纳,三角形的中线,在三角形中,连结一个,顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边上的中线.,D,因为AD是ABC的中线，,任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?,E,F,O,三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.,探究交流,叫做三角形的角平分线.,A,B,C,D,因为AD是ABC的角平分线，,任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?,在三角形中，一个,内角的角平分线与它的对边相交，,这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.,概念学习,A,C,B,F,E,D,O,因为BE是ABC的角平分线，,所以_=_=_,所以ACB=2_=2_,ABE,CBE,ABC.,ACF,因为CF是ABC的角平分线，,BCF.,三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？,三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.,思 考,2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形,1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是ABC 的高(),A,B,C,D,B,D,3.在如图所示的图形中，三角形的个数共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选C.图中有ABC，ABD，ACD.,4.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）,【解析】选C.作最长边上的高，必过三角形的顶点，且垂直于最长边.,A B C D,5.如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空：（1）BE=；（2）BAD=；（3）AFB=_；（4）SABC=.,CE,BC,CAD,BAC,AFC,BCAF,90,6.如图,在ABC中,1=2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上一点,CFAD于点H,判断下列说法哪些是正确的,哪些是错误的.,A,B,C,D,E,1,2,F,G,H,AD是ABE的角平分线(),BE是ABD边AD上的中线(),BE是ABC边AC上的中线(),CH是ACD边AD上的高(),三角形的高，中线与角平分线都是线段.,概念,三角形,分类,表示方法,高、中线、角平分线,通过本课时的学习，需要我们掌握：,2 三角形的内角和与外角和,1.了解三角形的内角和，会按角进行三角形的分类.2.了解三角形外角的性质的推理过程.3.能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解决问题.,三角形的三个内角有什么关系?,三角形的内角和等于180.,小学里，是用什么方法得到三角形内角和为180的结论的？,想一想,A,B,C,只撕下三角形的一个角，能得到上面的结论吗？,A,B,C,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,A,B,C,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,A,B,C,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,E,D,A,B,C,证明：在ABC的外部以CA为边作ACE=A.延长BC至D.,已知：ABC.求证：A+B+C=180.,因为 ACE=A,所以CEAB,所以DCE=B.,又因为 ACE+DCE+ACB=180,所以A+B+C=180.,由此得到三角形的内角和为180.可推得：直角三角形的两锐角互余.,若BAC55，B=60，试求 ACB,ACD,CAE的度数并说出你的理由,下图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？,探究,通过上题的计算，你发现ACD，CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说你能简述一下推导过程吗？,ACD=BAC+B;ACD+ACB=180.CAE=ACB+B;CAE+BAC=180.,A,B,C,D,E,想一想,3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.,2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；,1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；,三角形的外角与内角的关系：,归 纳,1.求下列各图中1的度数.,35,120,1,90,95,85,试一试,2.把下图中1，2，3按由大到小的顺序排列.,123,3.如图，D是ABC的边BC上一点，BBAD，ADC80,BAC=70.求：（1）B的度数；（2）C的度数.,A,B,C,D,80,70,【解析】（1）因为ADC=B+BAD，又因为B=BAD，ADC=80，所以B=ADC=40.（2）因为三角形的内角和为180，所以C=180-B-BAC=70.,三角形的外角和等于360,12 3?从哪些途径探究这个结果？,问题探究,2 ABC=180，,3 ACB=180.,三个式子相加得到,123BACABCACB=540，,而BACABCACB=180，,123360.,方法一：,解：过A作AD平行于BC.,34，,B,C,1,2,3,A,2BAD，,所以，1231BAD4=360.,两直线平行，同位角相等,23BAD4.,方法二：,判断题：,1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（）2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.（）3.三角形的一个外角等于两个内角的和.（）4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）5.三角形的一个外角大于任何一个内角.（）6.三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）,练一练,F,H,【例】已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:A+B+C+D+E的度数.,【例题】,【分析】设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.,1=B+D(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).,2=C+E(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).,又A+1+2=180(三角形的内角和等于180),又 2是EHC的一个外角(外角的意义),A+B+C+D+E=180(等式的性质).,【解析】1是BDF的一个外角(外角的意义),F,1,H,2,ABCDEF.,360,A,B,C,D,E,F,【跟踪训练】,1已知ABC的三个内角A,B,C 满足关系式BC3A则此三角形()A.一定有一个内角为45B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形【解析】选A.因为BC+A=180，BC3A，所以4A=180，A=45.,2.ABC的内角和为（）A.180 B.360 C.540 D.720【解析】选A.根据三角形的内角和为180，得ABC的内角和为180.故A正确.,3.已知ABC的一个外角为50，则ABC一定是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形【解析】选B.ABC的一个外角为50，则与这个外角相邻的内角是130，所以ABC一定是钝角三角形.,4.如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，A=80，ACB=60，那么BDC=（）A.80 B.90C.100 D.110,【解析】选D.因为CD是ACB的平分线，所以ACD=60=30，所以BDC=A+ACD=80+30=110.,5.一副三角板，如图叠放在一起，1的度数是_度,【解析】1=CBE+ADB=45+30=75.,答案：75,6.如图，在ABC中，A=80,点D是BC延长线上一点，ACD=150，则B=.,【解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B=15080=70.,答案：70,7.已知图中A，B，C分别为80，20，30，求1的度数.,B,2,1,A,C,D,E,【解析】根据三角形的外角定理可得：1=2+B，2=A+C，所以1=A+C+B=80+30+20=130.,通过本课时的学习，需要我们掌握：1.三角形的外角的两个性质.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.2.三角形的外角和是360.,3 三角形的三边关系,1.掌握三角形的三边关系，并灵活运用.2.了解三角形的稳定性在日常生活中的应用.,(1)元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由.,利用你发现的规律填空.AB+AC BC;AB+BC AC;AC+BC AB.,(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?,在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择AB路线，而不选择ACB路线，难道小狗也懂数学？,C,B,A,三角形的任意两边的和大于第三边.,以下列三条线段为边画一个三角形.,4 cm,a,3 cm,b,4.5 cm,c,步骤：,1.画一线段AB使它的长度等于c(4.5 cm).,2.以点A为圆心,以线段b(3cm)的长为半径画圆弧;以点B为圆心,以线段a(4cm)的长为半径画圆弧;两弧交于点C.,3.连结AC,BC.,a,b,c,A,B,C,ABC即为所求的三角形.,以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？,（1）9cm,5cm,4cm.,（2）7cm,4cm,2cm.,试一试,在三角形中，任意两边之差小于第三边.,如右图：在ABC中，,a-bc,b-ca,c-ab.,在一个三角形中，任何两边之差与第三边有什么关系？,请同学们自己在本子上任意画一个三角形，量出三边的长，再用任意两边的差与第三边比较，得出什么样的结论？,探 究,注意：1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.2.在做题时，不仅要考虑两边之和大于第三边，还必须考虑两边之差小于第三边.,【例】若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长.,【解析】设第三边的长为x，根据两边之和大于第三边得：x2+7，即x9，根据两边之差小于第三边得：x7-2，即x5，所以x的值大于5小于9，又因为它是奇数，所以x只能取7.答：第三边的长为7.,【例题】,1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们一起能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？,【解析】取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.,【跟踪训练】,2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论.(1)3cm,4cm,5cm(2)8cm,7cm,15cm(3)13cm,12cm,20cm(4)5cm,5cm,11cm,3.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构成 个不同的三角形.,（1）（3）可以,3,4.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为.若第三边为偶数，那么三角形的周长为.,3或5,10,三角形的稳定性,三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.,盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？,探究交流,三角形的稳定性,在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连结起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?为什么？,生活体验,三角形的稳定性,如图，工人师傅砌门时，常用木条EF，EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法根据的是三角形的稳定性.,A,F,D,G,三角形的稳定性,四边形不稳定性的应用,活动挂架,1.下列图形中具有稳定性的是（）,A.正方形 B.长方形C.直角三角形 D.平行四边形,C,2.要使下列木架稳定，各至少需要多少根木棍？,学以致用,1.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是()A.活动的四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.索道支架,【解析】选A.四边形不具有稳定性.,2.下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A.3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8,【解析】选A.因为3478，出现两边之和小于第三边的情况，所以不能组成三角形.,3.若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是()A.1 B.5 C.7 D.9,【解析】选B.设第三边长为x，则1x7.,4.若ABC的三边为a，b，c，则化简a+b-c+b-a-c的结果是（）A.2a-2b B.2a+2b+2c C.2a D.2a-2c,【解析】选C.根据三角形的三边关系得a+b-c0,b-a-c=b-(a+c)0,所以原式=a+b-c-(b-a-c)=a+b-c-b+a+c=2a.,5.已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是_（写出一个即可）.,【解析】根据三角形的形成条件:两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.设第三边长为x,可知第三边的取值范围为4x12.,答案：5（答案不唯一，4x12之间任一实数皆可）,6.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数，满足这些条件的三角形共有 个，当c=时，所作出的三角形的周长最长.,【解析】根据三角形的形成条件:两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知第三边的取值范围为4c10，因为c是正整数，所以c=5,6,7,8,9.,答案：5 9,通过本课时的学习，需要我们掌握：1.三角形的三边关系.三角形的任意两边的和大于第三边.三角形的任意两边之差小于第三边.2.三角形的稳定性.,9.2 多边形的内角和与外角和,1.了解多边形的内角和与外角和的推理过程.2.掌握多边形的内角和与外角和定理.3.体会转化思想和归纳方法在数学中的运用.,图中有你认识的多边形吗？,图中有你认识的多边形吗？,一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形,也即我们已经认识的多边形.,你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形、的定义吗？,顶点,内角,边,可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAE,A,B,C,D,E,外角,：多边形相邻两边组成的角,内角的邻补角,概念学习,你能说出这两幅图形的异同点吗？,（1）,（2）,凸四边形,凹四边形,议一议,在下图中，你能找到哪些多边形？哪些是凸多边形，哪些是凹多边形？,思 考,在平面内，如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.,等边三角形,正方形,正五边形,正六边形,概念学习,对角线,对角线,对角线 连结多边形不相邻的两个顶点的线段.,A,B,C,D,E,读出图中所有的对角线,画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数.,0,1,2,3,5,从n边形的一个顶点出发能画出多少条对角线？,探 究,你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不行，请画出所有对角线.,0,2,5,9,你能告诉我二十边形的对角线条数吗？五十边形呢？一百边形呢？n边形呢？,太难画了！,0,1,0,1,2,2,2,3,5,3,4,9,4,5,14,n-3,n-2,归 纳,3,4,5,6,7,n,0,n-3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,n-2,(n2)180,5 180,4 180,3 180,2 180,1 180,n边形内角和为(n2)180.,把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？,A,B,C,D,E,F,180 4 180=540,探 究,E,A,B,C,D,O,180 5 360=540,A,B,C,D,E,1804-180,O,=540,【例】已知四边形ABCD，A+C=180，求B+D.,A,B,C,D,【解析】四边形的内角和为:,(4-2)180=360，,所以B+D=360-(A+C)=180.,A+C=180，,【例题】,十二边形的内角和是（）.一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加（）.如果一个多边形的内角和是1440，那么这是（）边形.,1800,180,十,【跟踪训练】,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？,6,五边形外角和,五边形的外角和等于360.,-(5-2)180,=360.,=五个平角,-五边形内角和,=5180,探 究,在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和,n边形外角和=,n边形的外角和等于360.,-(n-2)180,=360.,n个平角-n边形内角和,=n180,探究归纳,从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A，最后再转回出发时的方向.,多边形的外角和,在行程中所转的各个角的和是多少？,学以致用,1.（宁波中考）一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数为（）A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选C设多边形的边数为，则(n-2)180=720，解得n=6,2.（杭州中考)正多边形的一个内角为135，则该正多边形的边数为（）A.9 B.8 C.7 D.4【解析】选B.因正多边形的每一个内角（外角）都相等，且正多边形的一个内角为135，故它的每一个外角为45.因为多边形外角和为360，所以该正多边形的边数为36045=8.,3.（无锡中考）正五边形的每一个内角都等于【解析】由多边形的外角和等于360，可得正五边形的每一个外角的度数为3605=72.因为相邻的内角与外角互补，所以每一个内角的度数为180-72=108.答案：108,4.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.,【解析】设多边形的边数为n.它的内角和等于(n-2)180，多边形外角和等于360，(n-2)180=2 360.解得:n=6，这个多边形的边数为6.,5.初二生物兴趣小组的8名同学开展互赠自制标本活动，在这次活动中共有多少件自制标本？【解析】可模仿探究n边形对角线条数公式的方法，每位同学赠出作品7件，所以这次活动中共有自制标本87=56（件）.,1.n边形的内角和为(n2)180.,2.n边形的外角和等于360.,3.数学思想方法,(1)转化思想把多边形问题转化为三角形问题解决.,(2)归纳方法由特殊到一般进行归纳.,9.3 用正多边形铺设地面,1.经历探索正多边形铺满地面的条件的过程.2.明确能铺满地面的正多边形满足的条件.3.感受数学知识在实际生活中应用.,好平整的地板!这是怎么铺成的?怎么一点空隙也没有？,好平整的地板!这是怎么铺成的?怎么一点空隙也没有？,砖与砖严丝合缝,不留空隙、不重叠，并且把地面全部铺满.,问题探究,正方形,正三角形,正六边形,1,2,3,1+2+3360,用边长相同的正五边形能否铺满地面？,铺满地面满足的条件:能铺满地面的正多边形,围绕某一点的内角和为.,360,归纳,1.什么样的正多边形能够铺满地面?,要用正多边形铺满地面,关键是：这种正多边形各内角的度数能被360整除.,探究交流,2.用边长相等的两种正多边形铺地面，哪两种正多边形能铺满地面？,603+902=360,正三角形和正方形,正三角形和正六边形,604+120=360602+1202=360,正方形和正八边形能否铺满地面?,正三角形和正十二边形能否铺满地面?,议一议,135,135,90,150,150,60,正方形和正八边形,正三角形和正十二边形,135+135+90=360,150+150+60=360,1.（内江中考）下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形【解析】选.用同一种大小一样、形状相同的正多边形铺设地面，则只有正三角形、正四边形、正六边形能够做到无缝隙、不重叠地铺设，而正五边形则不能，故选C.,2.（株洲中考）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有（写出所有正确答案的序号）.,正三角形,矩形,正五边形,正方形,【解析】根据正三角形、正方形、矩形和正五边形各自的特征，只有正方形和矩形可以通过平移方式进行平面密铺.,答 案：,3.正方形和正六边形能否铺满地面？,【解析】正方形和正六边形不能铺满地面.,通过本课时的学习，需要我们掌握：能铺满地面的条件是:围绕一点拼在一起的正多边形的内角之和为一个周角.,