北师大版九年级上册数学1.2矩形的性质与判定ppt课件(3课时).ppt

,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 矩形的性质,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点）,学习目标,问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说 一说他们的特殊之处.,问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？,导入新课,活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.,矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,矩形,讲授新课,矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.,平行四边形,菱形集合,平行四边形集合,矩形集合,做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.（1）矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,矩形的性质：对称性：.对称轴：.,轴对称图形,2条,活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.,（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？,A,B,C,D,O,物体,测量,（实物）,（形象图）,填一填 根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上.角：.对角线：.,A,B,C,D,四个角为90,相等,O,证明：（1）四边形ABCD是矩形.ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的对角线)ABDC(矩形的对边平行).ABC+BCD=180.又ABC=90,BCD=90.,求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等.,已知：如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相较于点O.求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90;（2）AC=DB.,A,B,C,D,O,ABC=BCD=CDA=DAB=90.,证明猜想,(2)四边形ABCD是矩形,AB=DC(矩形的对边相等).在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC=CB,ABCDCB.AC=DB.,1.矩形的四个角都是直角.2.矩形的对角线相等.,A,B,C,D,O,归纳结论,矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性：是轴对称图形.角：四条角都是90.对角线：相等.,角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.,矩形的特殊性质,平行四边形的性质,例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,AB=2.5,求矩形对角线的长.,解：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).OA=OC=AC,OB=OD=BD,(矩形对角线相互平分)OA=OD.,A,B,C,D,O,典例精析,AOD=120,ODA=OAD=(180-120)=30.又DAB=90,（矩形的四个角都是直角）BD=2AB=2 2.5=5.,提示：AOD=120 AOB=60 OA=OB=AB AC=2OA=22.5=5.,你还有其他解法吗？,例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE,垂足为F.求证：DF=DC.,A,B,C,D,E,F,证明：连接DE.AD=AE,AED=ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC,DEC=AED.又DFAE,DFE=C=90.,又DE=DE,DFEDCE,DF=DC.,已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.证明：在RtABC中,BE=AC.,A,B,C,D,E,证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).BE=DE=BD,AE=CE=AC(矩形对角线相互平分),BE=AC.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,例3：如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.,解：连接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.点G是BC的中点，EG2(1)BC，DG2(1)BC.EGDG.又点F是DE的中点，GFDE.,解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理,练一练：根据右图填空,已知ABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_cm;(2)若C=30,AB=5cm,则AC=_cm,BD=_cm.,D,6,10,5,归纳总结,直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型,1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知AOB=60,AC=16,则图中长度为8的线段有（）A.2条 B.4条 C.5条 D.6条,D,A,B,C,D,O,60,当堂练习,2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30,BO=4,求四边形ABED的面积.,A,B,C,D,O,E,（1）证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.,(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD=2BO=24=8.DBC=30,CD=BD=8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积=(4+8)=.,A,B,C,D,O,E,平行四边形,1.矩形是轴对称图形和中心对称图形,2.矩形四个角都是直角,3.矩形的对角线相等且相互平分,矩形,性质,有一个角是直角,转换,直角三角形,等腰三角形,课堂小结,见本课时练习,课后作业,谢谢！,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 矩形的判定,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1理解并掌握矩形的判定方法（重点）2能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点),学习目标,问题:什么是矩形？矩形有哪些性质？,A,B,C,D,O,矩形：有一个角是直角的平行四边形.矩形性质：是轴对称图形;四个角都是直角;对角线相等且平分.,导入新课,活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,注意观察两条对角线的长度.,问题1:我们会看到对角线会随着变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？,讲授新课,已知：如图,在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB,ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180,ABC=90,ABCD是矩形（矩形的定义）.,猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.,对角线相等的平行四边形是矩形.,活动2:李芳同学通过画“边直角、边直角、边直角、边”这样四步画出一个四边形.,问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？,已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.,猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形.,证明:A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.,有三个角是直角的四边形是矩形.,例1：如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ABO是等边三角形,AB=4,求ABCD的面积.解：四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.又ABO是等边三角形,OA=OB=AB=4,BAC=60.AC=BD=2OA=24=8.,典例精析,ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.ABC=90（矩形的四个角都是直角）.在RtABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,BC=.SABCD=ABBC=4=,例2：如图，在ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.,证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.,(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.,1.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线,则四边形ABCD是（）A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定,C,当堂练习,2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DEAC，CEBD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEDO是矩形.理由如下：已知四边形ABCD是菱形.ACBD.BOC=90.DEAC,CEBD，四边形CEDO是平行四边形.四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.,定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.,运用定理进行计算和证明.,矩形的判定,定义,定理,课堂小结,见本课时练习,课后作业,谢谢！,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1回顾矩形的性质及判定方法2矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点),学习目标,问题1:矩形有哪些性质？,是轴对称图形;四个角都是直角;对角线相等且平分.,导入新课,定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形,问题2:矩形有判定方法有哪些？,例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.,分析：由在矩形ABCD中，AEBD于E，BE：ED=1：3，易证得OAB是等边三角形，继而求得BAE的度数，由OAB是等边三角形，求出ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.,典例精析,讲授新课,解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，BE：ED=1：3，BE：OB=1：2，AEBD，AB=OA，OA=AB=OB，即OAB是等边三角形，ABD=60，ADE=90-ABD=30，AE=AD=3.,【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.,例2：已知：如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的一条角平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.,（1）证明：在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，ADBC，BAD=CAD，ADC=90，AN为ABC的外角CAM的平分线，MAN=CAN，DAE=90，CEAN，AEC=90，四边形ADCE为矩形；,（1）求证：四边形ADCE为矩形；,分析：由在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得ADBC，BAD=CAD，又由AN为ABC的外角CAM的平分线，可得DAE=90，又由CEAN，即可证得：四边形ADCE为矩形；,解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE又AB=AC，BD=CD，AB=DE，AE=BD，四边形ABDE是平行四边形；,（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；,分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知ABDE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；,解：DFAB，DF=AB理由如下：四边形ADCE为矩形，AF=CF，BD=CD，DF是ABC的中位线，DFAB，DF=AB,（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.,分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是ABC的中位线，则可得DFAB，DF=AB.,【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.,例3：如图，在ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.,证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.,(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.,例4：如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由,解：(1)BDCD.理由如下：AFBC，AFEDCE.E是AD的中点，AEDE.在AEF和DEC中，AEFDEC(AAS)，AFDC.AFBD，BDDC；,分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”证明AEF和DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AFCD，再利用等量代换即可得BDCD；,(2)当ABC满足ABAC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形ABAC，BDDC，ADB90.四边形AFBD是矩形,【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键,分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知ADB90.由等腰三角形三线合一的性质可知ABC满足的条件必须是ABAC.,例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CMCN；(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求 的值,典例精析,(1)求证：CMCN；,解：四边形ABCD是矩形，ADBC，ANMCMN，由折叠知CNMANM，CNMCMN，CNCM,(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求 的值,解：ADBC，SCMNSCDN31，CMDN31，设DNx，则CM3x，过点N作NKBC于点K，DCBC，NKDC，又ADBC，CKDNx，MK2x，由(1)知CNCM3x，NK2CN2CK2(3x)2x28x2，,当堂练习,1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是()AS1S2BS1S2CS1S2 D3S12S2,B,2如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AHBC于点H，连接EH，若DF10 cm，则EH等于()A8 cmB10 cmC16 cmD24 cm,B,3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE15，则BOE_度,75,4如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果OAB30，那么点C的坐标为,5.如图，点D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC.(1)求证：CDAN；(2)若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形,证明：(1)证AMDCMN得ADCN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CDAN.,(2)若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形,证明：AMD2MCD，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，ADCN是矩形.,与全等三角形的结合,矩形的性质与判定,课堂小结,与平面直角坐标系的结合,折叠问题,见本课时练习,课后作业,谢谢！,