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第六章 Z变换,Z变换 有理Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 传输函数,2,另一个角度看数字信号,1,-9,33,-45,6,36,8,数字系统的表示方法,差分方程,冲激响应,频率响应,数学表述 无系统结构、难求解,系统时域特性 求解不直观,系统频域特性 求解不直观,流图,系统结构清晰 没有数学表达式,系统的结构,信号的时域,信号的频域,系统的时域,优点 缺点,流图,z-1,z-1,z-1,h(-3),多项式,实现系统的多项式描述,h(-2),h(-1),h(0),差分方程,5,流图-反馈,多项式,实现系统的多项式描述,差分方程,目的：寻找理论完善的数学分析方法,多项式(代数方程),好处：因式分解，求根，留数理论等,7,方波,如何找出隐藏在数字信号中的特性,三角波,？,1,-9,33,-45,6,36,8,数字信号,多项式可分解,多项式可分解,好处,判断稳定性系统分解等,Z变换的定义,为什么是 的多项式，不是Z的？,延时，因果系统，可实现,求右边序列 n=0 的Z变换,例1,解：,序列不同，Z变换可能相同,例2,求左边序列 n0的Z变换,解：,Z变换+收敛域：唯一对应序列,解：,例3,Z变换的收敛域(1)（Region of Convergence,ROC),使序列x(n)的z变换x(z)收敛的所有z值的集合称作x(z)的收敛域,收敛域的定义,收敛条件,Z变换收敛域的形状,Z变换的收敛域(2),一些序列的收敛域,预备知识,左边序列：圆周上收敛 圆内收敛,Z变换的收敛域(3),右边序列：圆周上收敛 圆外收敛,Z变换的收敛域(4),有限长序列,注意：,Z变换的收敛域(5),右边序列,n10 因果序列,Z变换的收敛域(6),左边序列,Z变换的收敛域(7),双边序列,收敛域为|z|RX-,收敛域为|z|RX+,收敛域为RX-|z|RX+X(z)才收敛,双边序列的收敛域,Z变换的收敛域(8),例4,两收敛域无交集 un的Z变换不存在,常用Z变换对,26,Z变换 有理Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 传输函数,实际LTI系统的Z变换Z的有理函数 多项式相除,有理Z变换（1）,因式分解根：分子零点/分母极点,有理Z变换(2),方便控制滤波器性能,有理Z变换(3),极零图(pole-zero plot)：在复z平面(z plane)上用”表示极点，”表示零点,30,Z变换 有理Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 传输函数,Z变换的性质(1),线性,上述线性关系是否总能成立？,时移,Z变换的性质(2),Z变换的性质(3),指数相乘,尺度缩放,微分,Z变换的性质(4),反序,Z变换的性质(5),Z变换的性质(6),共轭,Z变换的性质(7),xn初值,对于因果序列xn,有：,Z变换的性质(8),卷积,例5,例6,P 211 例6.22；例6.25；例6.26,43,Z变换 有理Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 传输函数,逆Z变换(1),逆Z变换的导出,逆Z变换(2),预备知识,围线积分,证明要点：,已知X(z),如何求解xn？,逆Z变换(3),逆Z变换(4),逆Z变换的数学表达式,逆Z变换(5),逆Z变换(6),留数法,留数定理,f(z)在区域D内除有限个孤立点外是全纯的，C是D内不通过f(z)孤立点的可求长简单闭曲线，zk(k=1,n)是f(z)在C内的孤立点则：,zk 是f(z)在C内的n阶极点则：,51,逆Z变换(7),部分分式展开法,系统的并联分解,逆Z变换(8),分析真分式,对D(Z)求根，若有N个单重根，则,单极点,系数如何求解？,系数求解,逆Z变换,例7,逆Z变换(9),分析真分式,对D(Z)求根，假设有一个L重根，则,多重极点,系数如何求解？,提示：根据Z变换的微分性质,如何求 的逆Z变换？,单极点和多重极点同时存在的情况,例8,由例6.26,例8,逆Z变换(10),长除法,有理Z变换可采用长除法,逆Z变换(11),例9,例8 用长除法？,P210 例6.19,传输函数,传输函数(transfer function),d0yn+d1yn-1+d2yn-2+dNyn-N=p0 xn+p1xn-1+p2xn-2+pMxn-M,从差分方程到传递函数,求下列差分方程描述系统的传递函数。,例10,已知,列出系统的差分方程。,例11,解：,传输函数和冲激响应,定义,z=e j表示在z平面上r=1的圆（单位圆）,单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换,传输函数与频率响应Z变换与DTFT关系,收敛域,频率响应的几何解释,有理系统可分解成一阶的零极点向量的积的形式;1 ck z1-零点向量 1 d k z1-极点向量 幅值:零向量幅值之积与极点向量幅值之积的比;相位:零向量相位之和与极点向量相位之和的差。,例：系统有一极点在 z=0,一零点在 c=0.9 e j/4,其分布如下左图；幅度和相位响应如右图；,（续上图）,（续上图）,（续上图）,（续上图）,（续上图）,（续上图）,当=f是零点时，该零点向量幅度最小；当=f是极点时，该极点向量幅度最大；,系统的5种表示方法,频率响应信号变换域,冲激响应信号时域,传递函数系统变换域,差分方程系统时域,系统流图 系统结构,传输函数的零点(zero)和极点(pole),极点：对数字滤波器特性影响大零点：调整滤波器特性，效果取决于它与极点的相对位置。,极零图(pole-zero plot)：在复z平面(z plane)上用”表示极点，”表示零点,单零点系统,幅频,相频,冲激响应,零极点图,两共轭零点系统,零极点图,幅频,相频,冲激响应,单极点系统,零极点图,冲激响应,幅频,相频,两共轭极点系统,零极点图,冲激响应,幅频,相频,系统的稳定性(stable),LTI系统，hn绝对可和：,BIBO 稳定,单位圆上：,傅里叶变换存在，则单位圆一定在H(z)的收敛域内。,滤波器的传递函数中所有极点在单位圆内 稳定 有极点在单位圆上 临界 有极点在单位圆外 不稳定,系统的稳定性(stable),FIR：,当hn系数为有限值时总是稳定的,所有极点在原点收敛域：除了原点之外的整个z平面,IIR：,可能不稳定，或经系数量化后不稳定,零极点图，幅度谱图，冲激响应图。分析联系和区别，原因？,上机作业：,系统辨识,常用概念术语介绍,线性预测,信道均衡,盲分离,系统辨识,盲分离,信道均衡,线性预测,已知：yn-1,yn-k 求：yn,hn,系统的两种分解方法,系统框图如下，求H(z),h(n)。,例12,解：设中间序列w(n),并联(留数分解),带通分解,单极点：LPC预测，共振峰(语音),小结,Z变换,Z变换的收敛域,逆Z变换的部分分式展开,系统并联分解,传输函数、差分方程、冲激响应,系统稳定性,
