系统的频率响应法汇总课件.ppt

机械工程控制基础,5.3 Bode图示法,5.3.1 频率特性的对数坐标图,波德(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）,对数幅频特性图,横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率 单位 rad/s或Hz,纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20 倍，即：,L()=20logA()单位 分贝（dB）,特别：当L()=0，输出幅值输入幅值；当L(w)0时，输出幅值输入幅值(放大)；当L(w)0时，输出幅值输入幅值(衰减)。,对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,纵坐标：线性分度，频率特性的相角()单位 度(),当n个环节串联时：,对数幅频特性为：,对数相频特性为,（515）,（513）,（514）,几点说明,在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值；,在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。,通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。,对数坐标的优点,幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；,对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围,可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。,1、比例环节,5.3.2 典型环节的Bode图,传递函数：G(s)=K,频率特性：G(j)=K=Kej0,实频特性：P()=K,虚频特性：Q()=0,对数幅频特性：L()=20lgK,对数相频特性：()=0,幅频特性：A()=K,相频特性：()=0,根据上述两式在MATLAB中编程，其源代码如下：w=logspace(-1,1,1000);K=10Lw=20*log10(K)phi_w=0subplot(211)semilogx(w,Lw,b)gridxlabel(omega)ylabel(L(omega)subplot(212)semilogx(w,phi_w,r)gridxlabel(omega)ylabel(phi(omega),运行程序fig5_14.m，得到图514所示的对数幅频特性曲线。,绘制x为对数坐标的曲线,比例环节的对数幅频特性曲线图：,可见，比例环节的对数幅频特性曲线是条高度等于20lgK的水平直线；其对数相频特性曲线是与0o重合的直线，如图514所示(图中K10)。当K值改变时，只是对数幅频特性上、下移动而对数相频特性不变。,2、积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=-90,对数幅频特性：,对数相频特性：()=-90,积分环节的Bode图,3、理想微分环节,传递函数：,频率特性：,对数相频特性：()=90,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=90,理想微分环节的Bode图,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctgT,幅频特性：,惯性环节的Bode图,低频段(1/T),即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,对数相频特性：()=-arctanT,对数幅频特性：,高频段(1/T),即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,转折频率（1/T),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T，称为转折频率（截止频率）。,在转折频率处，L()-3dB，()-45。,惯性环节具有低通滤波特性。,5、一阶微分环节,对数相频特性：()=arctgT,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=arctgT,一阶微分环节的Bode图,注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。,6、振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,图519 振荡环节的bode图,振荡环节的Bode图,对数幅频特性,低频段(n),即低频渐近线为0dB的水平线。,高频段(n),即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。,两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。,对数相频特性,易知：,在0.707或略小于此值时，幅域特性曲线与相频特性曲线在低频段近于直线。这点对测振仪器的设计很有用处。设计时选择这样的值，可使仪器在线性段工作。,7、二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,二阶微分环节的Bode图,注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,综上所述，关于某些典型环节的对数幅频特性及其渐近线和对数相频特性的特点可归纳如下：,（1）关于对数幅频特性 注意横坐标是1g还是,积分环节的为过点(1，0)、斜率为-20dBdec的直线；微分环节的为过点(1，0)、斜率为20dBdec的直线；惯性环节的低频渐近线为0dB，高频渐近线为始于点(T，0)、斜率为-20dBdec的直线；,导前环节（一阶微分）的低频渐近线为0dB，高频渐近线为始于点(T，0)、斜率为20dBdec的直线；振荡环节的低频渐近线为0dB线，高频渐近线为始于点(1，0)、斜率为-40dBdec的直线；二阶微分环节的低频渐近线为0dB线，高频渐近线为始于点(1，0)、斜率为40dBdec的直线。,（2）关于对数相频特性：积分环节的为过-90o的水平线；微分环节的为过90o的水平线；惯性环节的为在0o-90o范围内变化的对称于点(T，-45o）的曲线；导前环节（一阶微分）的为在0o90o范围内变化的对称于点(T，450)的曲线；,振荡环节的为在0o-180o范围内变化的对称于点(n，-90o)的曲线；二阶微分环节的为在0o180o范围内变化的对称于点(n，90o)的曲线。,解 系统的频率特性为,对数幅频特性：,对数相频特性：,根据上述两式在MATLAB中编程，其源代码如eg5_8.m:,运行程序，得到图示的对数幅频特性曲线。,5.3.3 利用MATLAB函数绘制Bode图,MATLAB提供了绘制系统Bode图的函数bode()，其用法如下：,Bode(A,B,C,D)：绘制系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统A,B,C,D的每个输入的Bode图，其中频率范围由函数自动选取，且在响应快速变化的位置会自动采用更多采样点。,Bode(num,den)：绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统。,Bode(num,den,w)：利用指定的角频率矢量绘制系统的Bode图。,当带输出变量mag,pha,w或mag,pha引用函数时，可得到系统Bode图响应的幅值mag、相角pha、角频率点w矢量，或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：,mag(dB)=20lg(mag)。,5.4 频率特性与时域响应的关系,对于二阶系统，其频域性能指标与时域指标之间存在一定的数学关系。二阶系统的闭环传递函数为：,(516),系统的闭环幅频特性为：,(518),系统的闭环频率特性为：,(517),系统的闭环相频特性为：,二阶系统的谐振频率值Mr与时域超调量Mp之间的关系为：,（520）,（521）,（519）,补充 谐振现象（了解）,由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振频率。,由于：,令：,解得：,即：,显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,谐振峰值Mr仅与阻尼比 有关，超调量Mp也一样；,越小，Mr增加的越快，此时超调量会很大，超过40，这样系统一般不符合瞬态响应指标的要求,当0 0.707时，Mr与Mp的闭环趋势一致，此时谐振频率峰值Mr=1.21.5，超调量为Mp=20%30%，系统响应结果比较理想；,当 0.707时，无谐振峰值，Mr与Mp的对应关系不再存在，通常在设计中 取值在0.40.7之间；,从以上各式可以看出：,二阶系统的谐振频率 与峰值时间tp之间的关系为：,从上式可以看出：当 为常数时，谐振频率 与峰值时间tp成反比，越大，tp越小，表示系统时间响应越快。,（522）,从上式可以看出：当阻尼比 给定后，闭环截止频率 与过渡时间tr成反比，换言之，越大（频带宽度越宽），系统的响应速度越快。,二阶系统的闭环截止频率 与过渡时间tr之间的关系为：,(523),在第3章的时域分析中介绍了衡量系统过渡过程的一些时域性能指标，下面介绍在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量或频域性能指标。频域性能指标也是选用频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来评价系统的性能的，如图523所示。,频率特性的特征量,复现频率wm,零频幅值M(0),1、零频幅值M(0),它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。在频率极低时，对单位反馈系统而言，若输出幅值能完全准确地反映输入幅值，则M(0)1。M（0）越接近于1，系统的稳态误差越小，反映了系统的稳态精度。,2、复现频率wm与复现带宽0-wm,若事先规定一个 作为反映低输入信号的允许误差，那么wm就是幅频特性值与M(0)的差第一次达到时的频率值，称为复现频率。,3、谐振频率wr与相对谐振峰值Mr,幅频特性M(w)出现最大值Mmax时的频率称为谐振频率,w=wr时的幅值M(wr)=Mmax与w=0时的幅值(0)之比为谐振比或相对谐振峰值Mr。,显然，在M(0)1时，Mr与Mmax在数值上相同。,Mr反映了系统的相对平稳性。一般而言，Mr越大，系统阶跃响应的超调量也越大，系统的平稳性较差。,在二阶系统中希望选取Mr1.4，因为这时阶跃响应的最大超调量Mp25，系统有较满意的过渡过程。,由公式（52）得知越小，Mr越大。因此，若Mr太大，即太小，则Mp过大；若Mr太小，即太大，则过渡过程时间ts过长。因此，为了减弱系统的振荡性能，又不失一定的快速性，只有适当地选取Mr值。,wr反映了系统瞬态响应的速度，wr 越大，则瞬态响应越快，一般来说，wr 与上升时间tr成反比。,4、截止频率wb与截止带宽0-wb,(w)由(0)下降到0.707(0)的频率称为截止频率。,0-wb的范围称为截止带宽，它表示超过频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。对于随动系统来说，系统的带宽表征系统允许工作的最高额率范围，若此带宽大，则系统的动态性能好。对于低通滤波器，希望带宽要小，即只允许频率较低的输入信号通过系统，而频率稍高的输入信号均被滤掉。对系统响应的快速性而言，带宽越大，响应的快速性越好，即过渡过程的上升时间短。,crossover frequency:Wc=0.0525Resonance frequency:Wr=3.9069Resonance magnitude:Magmax=6.1867-3dB frequency:W_3db=5.3993-90 phase frequency:W_90=3.9994,解：计算谐振峰值和谐振频率的MATLAB程序代码见eg5_11.m,Mr Pr Wrans=-2.8098-24.6446 0.6915,运行程序得计算结果如下：,运行程序后同时生成了bode图如图525所示。,5.5 最小相位系统与非最小相位系统,极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之，称为非最小相位系统。,MATLAB函数中有许多函数可用来分析系统的零点和极点的分布情况。,函数pole可直接用于计算系统的极点。函数eig用来计算矩阵特征值的根，函数roots用来求一个多项式的根。利用系统零极点形式模型函数zpk直接给出系统的零点和极点，函数pzmap用来绘制系统的零极点图和计算系统的零极点，判断系统的稳定性及是否为最小相位系统。,解：用MATLAB编写程序代码如eg5_12.m示：,运行上述程序，得到计算结果如下：Np=2系统不稳定Nz=0此系统不是最小相位系统,该系统的零极点图如图526所示,作业：P1625-5（1）、（3）5-65-7,