数学分析ppt课件二元函数的极限.ppt

2 二元函数的极限,与一元函数的极限相类似，二元函数的极限,同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数,的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极,限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不,会出现的.,一、二元函数的极限,二、累次极限,返回,一、二元函数的极限,时,都有,常写作,例1 依定义验证,证 因为,不妨先限制在点(2,1)的方邻域,内来讨论,于是有,当,时,就有,这就证得,所以,例2 设,证明,证(证法一),可知,故,注意 不要把上面的估计式错写成：,而并不要求,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结原则(而且证明方法也相类似).,下面三个例子是它们的应用,存在极限(注:本题结论很重要,以后常会用到.),解 当动点(x,y)沿着直线 而趋于定点(0,0),这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时,对应,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在,如图 16-15 所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,时的极限为 0.因为当(x,y)沿抛物线,存在极限,解 利用定理 16.5 的推论 2,需要找出两条路径,沿,的极限,分母化为同阶的无穷小,导致极限不为 0.按此思路,这就达到了预期的目的,(非正常极限)的定义,或,仿此可类似地定义：,证 此函数的图象见图16-16.,这就证得结果,二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特,同,这里不再一一叙述.,二、累次极限,极限.下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序,相继趋,定义3,如果进一步还存在极限,累次极限,记作,它一般与 y 有关,记作,类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:,注 累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间,没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.,从而又有,同理可得,这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.,累次极限分别为,诉我们,这个结果是必然的.),个累次极限都不存在.这是因为对任何,时,f 的第二项不存在极限.同理,f 的第一,项当 时也不存在极限.但是由于,故按定义知道 时 f 的重极限存在,且,下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的.,定理16.6 若 f(x,y)的重极限 与,证 设,的 x,存在极限,另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,都存在,则三者必定相等.,推论2 若累次极限,不存在.,请注意:(i)定理 16.6 保证了在重极限与一个累次,极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论,对此只需考察本节习题,之 2(5).,(ii)推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件.,(iii)推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8).,例10 设,试证明:,证,根据柯西准则,证得,又有,这就证得,注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与,定理16.6 的推论1 相比较,在这里的条件(i)与(ii),复习思考题,试问累次极限,是否就是动点,