第3章 振动系统的运动微分方程题解.docx

3-1复摆重P,对质心的回转半径为质心距转动轴的距离为。，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。O七._0解:系统具有一个自由度，选复摆转角9为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。YSx复摆在任意位置下，依据刚体绕定轴转动微分方程zWJo=Mo题31图P其中JO=(区+)得到复摆运动微分方程为-(Pc+/)0=Pacosg或(夕；+A?)0-COS=O32均质半圆柱体，质心为C,与圆心Oi的距离为e,柱体半径为/?,质量为?，对质心的回转半径为夕c，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选。为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：T=/Hv31HJCG)一2c2c用瞬心法求vc：吆=(CC702=(e2+A?_2cos06>2co=Jc=mp故T=n(e2+R2-2Recos)2区心系统具有抱负约束，重力的元功为V=TWgeSind应用动能定理的微分形式dT=Wdm(e2+R22Recos8)d2+；mp汶?=-mgesMd°m(e2+/?2+pl)cl-ImRec03cl+mRe2sind=一ZWgeSincl等式两边同除小，m(e2+R2+/?；)-2mRecos+mRe1Sined=-mgesin白0,等式两边同除占故微分方程为m(e2+R2-2Recos8+p)+nRe1sin。+/HgesinO=0若为小摇摆Sinen6,CoSea1,并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摇摆的微分方程为(R-r)2+p+ge=O要点及争论(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。列写微分方程nixc=-F<m)fc=N-mgm区O=F(R-ecoSe)-NeSine上述方程包含几，yc,fF,N五个未知量，必需补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标。之间的关系(xc=Re-esin®yc=R-ecosJic=R-ecosyc=esin60所以J尤C=R往一ecos63+esin6821%=esin筋+ecose。？运动学方程式与方程联立，消去未知约束力N,F,就可以得到与式相同的系统运动微分方程。由于在抱负约束的状况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不消失，所以用动能定理解决己知力求运动的问题更简便、直接。(2)本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能T=-m(e2+R2-2Recos6)铲+-mpi122选半圆柱体中心Oi所在平面为零势面，系统的势能V=-TWgeCOSe由T+V=Egm(e2+R2-2Recos)2+gmp。?-mgecosB=E两边对时间/求导数，即可得到与式相同的运动微分方程。3-3均质杆A8,长/,质量为机，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3.3图解：系统具有一个自由度，选0为广义坐标。系统在任一位置的动能为TI2,1,2/=V+Jq(D由瞬心法求质心的速度vc=-fJc=-ml2,co=1 1.所以T=-ml222 3系统的主动力图为图(a)所示。重力的元功为6W=mgdrc-mg；Sind由动能定理dT=W所以I)=tnggsind系统的运动微分方程为“3g.八-sin=0要点及争论(1)平面运动刚体可用式T=g<7°.02计算刚体动能，式中心=/。+仃2为刚体对瞬心的转动惯量，d为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度%也可用式弓=+及计算。其中xc= gsin0yc=-cosxc=-cosI.yc=-fp（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角6为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都依据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为vc-,drc=gd系统的动能T=-ml2223主动力的元功W=-mgTCOSa/°依据动能定理建立的方程为d（ml202）=一"ggeos田夕所以6i=-21cos6>2/“一”号说明当。取正值时占为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。题34图3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为如半径为r,沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。解：系统具有两个自由度，选X、Xr为广义坐标。系统具有抱负约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：I2T=-Mx2+m（x+xrcosa）2+（xrsina）2+-×-mr2×2222广1 a.211.211.2.11.2=-×Mx-×mx+-×mxr-tnxxrcosa+-mxr2 224r3?1=Mx2+wc+mx2+mxxrcosa242rV=-tngxrsina，水平方向动量守恒。px=CMx+m（x+xrCOSa）=C整理后可分别列写两个方程13（M+m）x2+一二nx1r+tnxxrCOSa-mgxrSina=EMx+m（x+xrcosa）=C式中为系统微分方程的首次积分，对时间r求导后，即可得到系统运动微分方程。3On±AQ_lu+£sin£=o2mcosaCOSa要点及争论（1）在抱负约束的状况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间，求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：分析系统受力，在抱负约束的状况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在抱负约束、主动力又为势力的状况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必需与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到此外一个方程。3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为相，刚性建筑的质量为M,对质心C的转动惯量为10两刚体在O处较接并附有刚度系数为由的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动Z，试建立系统微幅运动微分方程。图中B=g,q=°题3-5图解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(C)所示。对于图(b),建立刚体的水平运动微分方程为nix=-k(x-z)-c(i-z)+Fx(1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为c=-FoxM况=Foy-Mg(3)Ic=-kx+Fyasin+Fxacos(4)其中死、”及X均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有XC=X+sinx+(5)%=sa(6)由方程(1)、(2)消去未知力，户以并考虑式(5)得(M+m)x+Ma+cx+kx=cz+kz(7)又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力尸oy、Fo,并考虑式(5)和(6),得Max+(c+Ma2)+(l-Mga)9=0(8)方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令X和，为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下:(+ tn)MaMaxlc+Ma2)0k0 Ix0(1 - MgG 0cz+ kz0cz-kz0由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，肯定要画受力图，于是必定要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特殊是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简洁。另解：由动静法得,以整体为争论对象ZX=O-mx-Mx-k(x-z)-c(x-z)-Macos+M2asin=O以M为争论对象：A=oMxacos+MaOa+Ic-Mgasin+k=0,。很小.,.sin=,cos=又忽视高阶小量82,所以以上两式化简后得：+M)戈+MO+c(e-2)+以X-Z)=OMax+(t.+Ma2)+U1-Mga)9=0化成矩阵形式为：(M+ni)Ma无Ic00Ma(Zc+M62)I+o3-6题3-6图所示两端简支的匀称梁，已知弯曲刚度为E/,单位长度的质量为机，分解：若梁的挠曲函数为WGJ),则动能为1 r2T = -J mw ()dy(a)应变(势能)为=-7Ev2(y)dy(b)2 J O外力功为 A = F(y,r)vv(y)dj(c)布载荷为尸()/)。试用哈密顿原理求运动方程。题3.6图将式(a)、式(b)与式(C)代入变分式=z(T-)dr+z2Ad=O(d)得到JJm>V>Vd)dr-JJfw"w"d)也+JF(y)vvjdr=0(e)对式(e)进行分部积分运算，得到仙曲Vd)，Lj/M>vd)d-(Ewff)vvrd/tlJoJtl(0+J(Ew")'卬Md/-JJ。(E7vv")"wdyck+JJ"(y,7)vdydz=0由于，/=八时，哈密顿原理要求w=o,因而式变为-Ij”2HxbdZ-J'(Ev*)vv/d/+J-(£7卬")'wd/-J：J：(Ew")">vd)也+J"J；尸(招)w'd/=O由于，力与/2区间的虚位移3w不行能为零，由此，得到梁的边界条件(Cf7wff)lV*=O(h)(CEiwydwla=o与运动方程7wvv+(EIwh),t=F(y)(i)两端简支的梁，明显是满意边界条件式(h)的。3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图解：取各质量偏离其平衡位置的制、M、X3、W为广义坐标。即qi= xi i = 1,2,3,4则系统的动能Tl- 21. 21. 21- 2T = -fxx +-m2x2 +-W3X3 +耳"?4%系统的势能为121112v = -kx +-f2(2 -xi) +5自(X3 - r2) + 5k4(X4 一巧)(1)Q)计算拉格朗日方程中的各项导数如下:=1,1- k2(x2 -X1) = (1 + k2)xi - k2x2-=3(x3 一冗2)一k4(X4 -X3) = -3x2 +(23 +%4)工3 -4x4 OX3薯=ZMf)=*/+3OX4将以上各项导数代入拉格朗日方程得n1x+(%+k2)X-k2×=Om2x2-k2X+k2+k3)x2-k3x3=0(4)/H3X3-k3x2+(k3+k4)x3-k4x4=0m4x4-k4x3+k4x4=0写成矩阵形式(5)nq+kq=0其中刚度矩阵'm000m=0m20000%0000inA质量矩阵q,=xX2内与位移列阵3-8在地震争论中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为?的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为亿扭转弹簧的弹性系数为b,如题3-8图所示。设/g为建筑物相对质心G的转动惯量，试采用坐标X（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标夕求出运动方程。地震中可设防微小角度，因此mgh9)=-kxIg+m('x+h)h=-k+tngh因此运动方程为mh+hx+kx=Omlx+(mh1+1g)-(mgh-k)=O假如。=ASin",X=A2sind,则-mh2Ai-m2A2+M2=O+mh2A2+(fnh2+Ig)o>2A1+mgh-k)A=O则频率方程为-mh2k-m2Unh2+c)<w2+(Jngh-k)mh2即(mh2)2+(k-m2)(mh2+Ic)2+(nigh-k)=0或fjlc4-co2(JnkR+IGk-rn2gh+mk)-mghk+kk=0另解：动静法得。以刚体机为争论对象：ZX=Otnhcos-tnx-m2hsn-kx=QZ砥=0tnh2+Ig+k-mxhcos0-mghsin6=(),。很小.,.sin=,cos=又忽视高阶小量2,所以以上两式化简后得：mh-mx-kx=0-mlc+(nh2+1g)-(mgh-k)=0图中：kx、比应反向。方程应为mh+hx+kx=0nhx+(mh2+Ig)-(mgh-k)=03-9为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在很大的机座上，机座由弹簧支承，如题39图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。题3-9图解：选择坐标切、碓、公，这些坐标己能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M,总质量对质心G点的惯性矩为g,则T=+（m*；+g3V=g占（%+8%）2-）2+（攵2（“2-%）2+；22（夕2）?式中，V为贮存在弹簧中的势能。Jl=J4=0y2=+% = 0一%有：X=%一%=-%+阳X-O由拉格朗日方程得O=就O=叫畸侬a-)=-"附I孤"I颂=O1力d 一力£力a¾=l1+的3）+占（41幽3）VC,-=2k2q2-2k2aq3V=人伙/+bqj_kid(qdqj_ClK(%-。/)+。匕(一%+)则运动方程为Mqx+2Z/+1(b-d)q3=OMq2÷2k1q12%的=IGij3+kl(b-d)ql2ak2q2+S2+d2)klq3+2a2k2q3=0因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定=A,sin,由频率方程可求出系统的各阶固有频率。3-10题3-10图是个带有附有质量如和加上的约束弹簧的双摆，采纳质量的微小水Zss77777777平平动项和X2为坐标，写出系统运动的作用力方程。解：采用刚度影响系数法求刚度矩阵k。设为=1,工2=0，分别画出叫与加2的受力图，并施加二物块力心,&|，列平衡方程，对m,：Zx=O,A”-7sin。一ASine2=0题3-10图Zy=O,(COS用一TCOSe2町g=0对m2：Zx=O,4sin%二。y=o,T2CoSe2-fn2g=0设m=0,%=1，分别画出巧与加2的受力图，并施加二物块力射，&2，列平衡方程，对町：Z=o,K2+%sine=0Zy=0，T1-T2cqs-mxg=0k22-k2-T2s= O对机2：Zx=O,y=o,T2cos-m2g=O由，sintan=,sintan=,coscos21,CoSe1,AkSineatane=,解得，I)如土也应+生适，k-%S,k-皿得作用力方程为mx0光'T(1+ffl2)gm2gKil1k加2gI2*=2-0tn2X2LI2_上3-11题311图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心。上受水平力PC和扭矩MC的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为I、A及p,以质心C的微小位移XC与外为坐标，列出系统运动的作用力方程。解：设xc质心的水平位移与c相对于质心的转角为广义坐标。采用刚度影响系数法求刚度矩阵k。设XC=I,%=0,画出受力图，并施加物体力与力偶%,七,列平衡方程，ZX=O,。-匕-&=。题3-11图ZMC=0,+-=0设%=0,%=l,画出受力图，并施加物体力与力偶占2，222,列平衡方程，Zx=O,匕+*一匕；=0Zy=O,N-ZMg=OZMC=O,k22+N-ki-k2-=0Zll得作用力方程为(k2-kx)-%”)Mc(03-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形,下层弯曲刚度为E/,上层为02,采纳微小水平运动由及JQ为坐标，列出系统运动的位移方程。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为Z=华，由此可将题3-12图等效为(a)图,其中,C2EJ.lC12EJ1寸F广义坐标如图(a)示。采用刚度影响系数法求刚度矩阵k。设玉=l,%2=0,画出受力图，并施加物体力列平衡方程，可得到Zu=k+k2,女21=一k2同理可求得匕2，%22。最终求得刚度矩阵为由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为1T11+k匕得到系统的位移方程为24E71*24E，24EJ6IE24EJl24EJ2W10也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图(a)中的施加单位力，而吗不受力，此时第一个弹簧变形为,，其次个弹簧变形为零。由此可得位移为,同理求出自222=-+o最终得到柔度矩阵为A = 自向另解：(1)求刚度矩阵刈和质量矩阵M在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图3-13(b”(C)所示。得刚度矩阵为K= k-1(a)质量矩阵为m(b),n2图3-13(2)频率分析引入符号(c)m9=-k则由式(3J2)知1-1K-2M=O-12-2绽开上述频率方程，得(d)解得式(e)的两个根为22-4/+1=0(e),=1-=0.29312772=1+-=1.7072将式代入式(c),可得两个自振频率(D(3)振型分析由振幅方程得1-7一1Z(I)C(卜°-12-27Jz(2)J外一方72(1Fj)(/=1,2)Pi=-=0.7072(1-71)2)(b)第二振型P1=-=0.7072(1-%)2(a)第一振型两个振型的大致外形如图3-13(a)、(b)所示。图3-3两层刚架式框架的振型