小学数学第十章 小学数学概念教学课件.ppt

,第十章 小学数学概念教学,第一节 小学数学概念一、小学数学概念的构成与分类 （一）数学概念 数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。 数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。 小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。,（二）数学概念的构成数学概念由内涵与外延两个方面构成。1、概念的内涵：概念反映的所有对象的共同本质属性的总和。例如，平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边互相平行，对角线互相平分等。2、概念的外延：概念所反映的所有对象的全体。例如，平行四边形的外延包括了一般的平行四边形，长方形、正方形、菱形。3、概念内涵和外延的关系： 概念内涵是概念的质的反映，概念外延是概念的量的反映。,（三）小学数学概念的分类1、概念的分类分类的三要素：种概念、属概念、分类标准。分类时往往把一个大类分成若干小类，大类称为种概念，小类称为属概念。例如，将三角形分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，三角形就是这种分类中种概念；锐角三角形、钝角三角形、直角三角形就是这种分类中的属概念。,2、概念分类的原则（1）分类必须是相称的分类所得的各个属概念的外延的并集应等于种概念的外延。例如，把整数划分为质数与合数，就违反了本规则，因为遗漏了“1”。（2）分类所得各个属概念应互相排斥。 例如，对学生进行分类时，有学生将其分为纯小数、带小数、循环小数。这样的分类是不正确的，因为，纯小数可以是循环小数，带小数也可以是循环小数。,（3）每次分类应按同一标准进行。 例如，把三角形划分为等边三角形、等腰三角形、钝角三角形,这个划分是不正确的,因为这个划分中用了边、角大小的两个不同的根据。这就犯“标准不同一”的逻辑错误。（4）分类不能越级进行。分类应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次逐一地进行。例如，“把实数划分为整数、分数、无理数”就犯了“越级划分”的逻辑错误。因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系。,3、小学数学概念的表现形式 （1）定义式 定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。,（2）描述式 用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。在小学低年级通常采用描述式的方式来表示，而到了高年级则采用定义式来表示。,二、儿童构建数学概念的过程数学概念的学习一般有两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。 （一）数学概念形成所谓数学概念形成，是指学习者从大量的同类事物的不同例证中独立地发现并形成数学概念的过程。 数学概念形成的过程可以分为以下几个阶段： 1、感知具体对象阶段（观察实例）观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事例。2、尝试建立表象阶段（分析共同属性）分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。,3、抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。并通过比较肯定例证和否定例证检验假设，确认本质属性。4、符号表征阶段尝试地用语言或符号对对象进行特征的概括与表征，从而获得概念。5、概念的运用阶段通过举出概念的实例，在一类事物中辩认出概念，或运用概念解答数学问题，使新概念与原有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性的联系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。,2. 数学概念同化 所谓数学概念同化，是指在课堂学习的条件下，利用学生认知结构中原有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性，从而使学生获得新概念。这种获得数学概念的方式叫做数学概念同化。数学概念同化的学习过程可以分为以下几个阶段：(1) 揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。 (2) 讨论特例。对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。,(3) 新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。 (4) 实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。 (5) 具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。,第二节 小学数学概念教学的组织策略一、概念引入的基本策略1、生活化策略2、操作性策略3、情境激疑策略4、知识迁移策略,二、概念构建的基本策略1、多例比较策略(对比、类比、运用反例与变式)例1：学习“垂直”概念，教师除了用常见的图形(图 (1)展示外，还应采用变式或反例图形图形(图(2)、(3)、(4)、（5）去强化这一概念。,（1） （2） （3） （4） （5） 图1,例2：讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图 (1)展示外，还应采用变式图形(图2-1(2)、(3)、(4)去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。,图2,2、表象过度策略表象是儿童从直观对象到抽象概念之间的一个桥梁，表象的建立是以获得鲜明的、丰富的感性材料为基础的。 3、概括关键要素策略4、表述交流策略在学生对概念有了一定的表象后，要引导学生将自己的认识用简洁的语言将概念表述出来，使学生的认识逐步逼近对象的本质属性，从而帮助学生更深刻地理解概念的内涵。如，在学习“垂直”概念,5、多次归纳策略如，学习梯形时，学生在概括时可能会出现下面的几种情形：“有一组对边平行的四边形是梯形”，“只有一组对边平行的图形是梯形”。这时，教师就要引导学生再次进行归纳，采用举反例的方式是引导学生认真观察，进而进行全面归纳的一种好方法。,6、操作分类策略例如，学习梯形之后，可以引导学生对四边形进行分类，集合图是分类时的种方法。,三、概念的巩固和运用教学中应注意如下几个方面。1、变式训练策略2、精加工策略3、概念结构化策略案例：“整除部分”的概念系统图。4、强化应用策略,概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。（1）概念内涵的应用 复述概念的定义或根据定义填空。 根据定义判断是非或改错。 根据定义推理。 根据定义计算。,例3（1）什么叫互质数？答： 是互 质数。 （2）判断题： 27和20是互质数（ ） 34与85是互质数（ ） 有公约数1的两个数是互质数（ ） 两个合数一定不是互质数（ ） （3）钝角三角形的一个角是 82o，另两个角的 度数是互质数，这两个角可能是多少度？,（2）概念外延的应用 举例 辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。 按指定的条件从概念的外延中选择事例。 将概念按不同标准分类。,例4 （1）列举你所见到过的圆柱形物体。 （2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？ （图62）,图62,（3）分母是9的最简真分数有，分子是9的假分数中，最小的一个是 （4）将自然数219按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）,(3)注意辨析 随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如质数与互质数，整除与除尽，体积与容积等等。因此在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，以促使概念的精确分化。,例5 ： 关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面 进行对比 ( 1 )什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？（2）周长和面积常用的计量单位分别有哪些？（3）在图63中，A，B两个图形的周长相等吗？面积相等吗？,四、小学数学概念教学中应注意的问题 1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。案例：分数的认识 长方体与正方体的认识,2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾 （1）通过演示、操作进行具体与抽象的转化 案例：几何初步知识 教学 圆周率教学（2）结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化 案例：乘法结合律的教学,3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程 （1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料 案例：教学分数的意义 如何理解单位“1”。注意事项：所选材料要确切。 案例：角的认识，。所选材料要突出所授知识的本质特征。 案例：直角三角形的本质特征,（2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性 剖析概念中关键词语的真实含义 分析三角形的高的定义:“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。” 中的关键词。辨析概念的肯定例证和否定例证案例：小数的性质（小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变）揭示后如何辨析概念。,变换本质属性的叙述或表达方式对近似的概念及时加以对比辨析案例：区别“数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积 ”,（3）重视概念的运用，发挥概念的作用 自举实例 运用于计算、作图等 案例：学了乘法的运算定律后，练习设计。运用于生活实践 案例：学习圆的面积后 ，运用于生活实践 。（4）注重概念之间的比较分类，深化概念,第三节 儿童构建数学概念能力的培养一、影响儿童构建数学概念的主要因素（一）经验对概念学习的影响1、经验对概念学习产生积极的正效应（1）经验可以成为概念学习的一种动力（2）经验可以转化为学习儿童学习数学概念的一种方式是概念的形成，它主要依靠的是直接经验，从大量的感性材料中进行抽象概括，揭示概念的本质属性，从而形成概念。如果儿童原来的生活经验比较丰富，就有利于概念的形成。,2、经验对概念学习产生积极的负效应（1）当数学概念与日常生活的经验在语义上不一致时，经验会阻碍概念的学习。 例如，日常生活中的“扩大一倍”与数学概念中的“扩大一倍”。 （2）当数学概念与日常词汇相近时，经验也会阻碍概念的学习。例如，日常生活中的“竖直”与数学概念中的“垂直”。 （3）当数学概念较为抽象时，往往难以摆脱相近的经验。 例如，儿童对“线” 、“直线”等的认识，常常会自觉地依靠“毛线”这样的经验来支持，因而对“直”、“无限”等本质属性的认识就比较困难。,（二）语言对概念学习的影响1、语言对概念学习影响的表现（1）用语言表达新的表象，可以使表象更清晰、更明确、更精细。（2）用语言表达某个内容，可以增强对形成新概念的迁移作用。（3）用语言来表达概念，可以使概念更清晰。,2、形成数学概念的不同阶段的语言的特征（1）概念引入阶段：用的是直观语言。（2）形成表象阶段：摆脱了对象的具体性，反映的是对象的各种属性。（3）获得概念阶段：用精炼好准确的语言揭示对象的本质属性。例：分数的概念,二、构建数学概念能力的构成（一）学生已有的生活经验和数学概念（二）数学思维能力（三）数学语言能力,三、构建数学概念能力的培养（一）重视表象的过渡（二）加强数学交流1、表达和交流自己的发现2、解释和说明自己的观点3、质疑和反驳他人的想法（三）促进数学思维1、发展观察能力2、发展分析比较能力3、发展抽象概括能力,四、 概念教学片段举例 面积单位及其进率教学片段 1感知1平方分米 (1)学生观察：教师在黑板上贴的纸上画一条1分米长的线段，以这条线段为边长，画一个正方形。告诉学生，这个边长1分米的正方形的面积是l平方分米。接着教师用剪刀剪下这l平方分米的正方形纸，贴在黑板上。 (2)学生操作：剪出一个l平方分米的正方形，用手摸一摸，闭上眼睛想一想1平方分米的样子及大小。,2感知1平方厘米 (1)师：谁能第一个剪出1平方厘米的正方形?学生动手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他们说说是怎样剪的。然后让学生用手摸一摸，闭上眼睛想一想l平方厘米的样子及大小。 (2)把1平方分米的正方形纸和l平方厘米的正方形纸放在桌面上，看一看，比一比，闭上眼睛想一想它们的样子及大小。 3感知1平方米 师：谁能告诉大家，怎样剪出1平方米的正方形纸?学生说完，教师就把事先剪好的1平方米的正方形纸贴在黑板上，让学生看一看，闭上眼睛想一想它的样子和大小。 4讨论：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?,5讨论：1平方分米、l平方厘米及l平方米的关系。 (1)要求学生看着自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形纸。想一想怎样才能测出1平方分米中有多少个l平方厘米?学生认为动手摆一摆、画一画就能测出来。开始学生把两张正方形纸的一个顶点对齐，然后沿着1平方厘米的正方形纸的边沿把它所占的平面位置画在了1平方分米的正方形纸上。再挪动1平方厘米的正方形纸，紧挨着画好的小正方形摆好，再沿边沿画出它所占的位置。再挪动正方形这样画了一排，再画第二排，第二排没有画完，有的学生已经用尺子把l平方分米的正方形每边平均分成了10份，把对边上的两点连结，画出格线，数一数，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。,(2)提问：怎样知道1平方米中有多少个1平方分米?如果沿l平方米的正方形的边长摆1平方分米的小正方形，一排能摆几个?可以摆多少排?得出： 1平方米100平方分米。 (3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?学生很快就得出： 1平方米10000平方厘米。 6巩固运用 (1)举例说说1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。 (2)填上合适的单位名称。(略),评析：学生通过动手操作，可以增加对所学知识的感性认识，在操作中获得实物的表象，加深对所学知识的理解。这里的教学片段，教师正是出于这样的思考，让学生通过自己动手摆一摆，画一画，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意义及它们之间的进率，并且印象深刻，记忆持久。同时，也培养了学生的动手能力。自始至终学生获取知识的过程是主动积极的。,思考题1、什么是数学概念？小学数学概念具有哪些特点？2、举例说明什么是概念的内涵与外延？概念的内涵与外延有什么关系？3、举例说明数学概念学习的两种基本方式：概念形成和概念同化。4、结合教学实际，谈谈概念引入的意义和作用以及概念引入的方法。5、怎样实现对概念的理解？怎样实现对概念的巩固？6、简述引导学生构建数学概念的基本策略。7、写出一份概念教学的教案。,