弹性力学ppt课件02第二章 平面问题的基本理论.ppt

要点 建立平面问题的基本方程和方程的求解方法 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程； 边界条件的描述；方程的求解方法等,第二章 平面问题的基本理论,一、 平面问题 平面应力问题、平面应变问题二、 平衡微分方程三、 斜面上的应力四、 力边界条件五、 几何方程 刚体位移、斜方向的正应变六、 物理方程七、 边界分类及边界条件八、 圣维南原理九、弹性力学问题的求解方法十、 按位移求解平面问题十一、按应力求解平面问题 相容方程十二、常体力情况下的简化 相容方程十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法,主要内容,一、平面问题 平面应力问题、平面应变问题,1. 平面应力问题,(1)几何特征：等厚薄板,特殊的几何形状 平面应力问题空间问题 平面问题 特殊的受力情况 平面应变问题,受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的 体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3)应力特征：由于板面上不受力，有： 独立的应力分量只有三个应力分量，且仅为 x、y 的函数，与z无关。即 符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题,其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1)几何特征：无限长、等截面棱柱体,水坝,外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿 长度 z 方向不变化。,(3)应变、应力特征：任一横截面都是对称面，则有，w=0, 即,应力分量有 ，其中 不独立，可以用 表示。,独立的应力分量仅有 ，仅为x,y的函数，与z无关,符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题,其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,剪应力互等,二、平衡微分方程,（1）斜面上应力在坐标方向的分量,斜面外法线N 在坐标中的方向余弦：l,m,（2-4）,三、斜面上的应力,（2）斜面上的正应力与剪应力,根据合矢量投影定理,正应力剪应力,（3）主应力与主应力方向： 参考材料力学自习,x,y,O,P,A,B,N,外法线,类似于斜面上应力分量分析过程平面问题的应力边界条件,四、力边界条件,1. 几何方程,一点的变形：线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：略去了二阶以上高阶无穷小量。,五、几何方程 刚体位移、斜方向的应变,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,2. 刚体位移 ： 自习,3. 斜方向的正应变,问题：已知 ，求任意方向的线应变r 和线段夹角的变化。,设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为（x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：,于是PN在坐标轴上的投影为：,N点位移：,变形后的P1N1在坐标方向的投影：,设PN变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为r，由应变的定义：,两边同除以 (dr)2，得,略去二阶小量后,简化后,应用：电测时 应变花,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,简单胡克定律+泊松比效应+基本假设=广义胡克定律：,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,六、物理方程,1、平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,2、平面应变问题的物理方程,两类平面问题物理方程的转换：自习,1、位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,七、边界分类及边界条件,2、应力边界条件,给定面力分量边界 应力边界由前面斜面的应力分析，得,3、混合边界条件,例1、图示水坝，试写出其边界条件。,由应力边界条件公式，有,解、,例2、如图所示，试写出其边界条件。,(1),(2),(4),(3),注： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例3、图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。,由应力边界条件公式,问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1. 静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,八、圣维南原理,2.圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,3.圣维南原理的应用,例4、矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,解：左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,九、弹性力学问题的求解方法,1、将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,再代入平衡方程，化简有,十、按位移求解平面问题,2、将边界条件用位移表示,（）位移边界条件：,（）应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,、位移法的优缺点,缺点：数学求解困难重重,优点：三类边值问题都可解,应用：工程中常用此法进行数值计算,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从几何方程、物理方程建立补充方程。,十一、按应力求解平面问题 相容方程,1.变形协调方程相容方程,将几何方程：,作如下运算：,显然有：, 形变协调方程相容方程,即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,2. 变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,利用平衡方程将上述化简：,将上述两边相加：,a,b,将 (b) 代入 (a) ，得：,将 上式整理得，平面应力情况的用应力表示的相容方程：,（2）平面应变情形,注意：当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,将上式中的泊松比代为： ，可以得到平面应变情形应力表示的相容方程,例5、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,（a）,（b）,例5解、（1）,将式（a）代入平衡方程：, 满足,将式（a）代入相容方程：,式（a）不是一组可能的应力场。,例5解、（2）,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,例6、图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程、相容方程和边界条件？,（1）代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,（3）再验证是否满足边界条件？, 满足,满足,近似满足,近似满足,（2）代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,结论：式（a）为正确解,1. 常体力下平面问题的相容方程,令：, 拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：, 平面应力情形, 平面应变情形,当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,十二、常体力情况下的简化 相容方程,2.常体力下平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程,（3）边界条件,（4）位移单值条件, 对多连通问题而言。,讨论：,（1）,Laplace方程，或称调和方程。,（2）,常体力下，方程中不含E、,（a）,相同，,）不同。,（b）,不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。, 光弹性实验原理。,（3）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,3.常体力下体力与面力的变换,平衡方程:,相容方程:,边界条件:,令：,常体力下， 满足的方程：,(a),将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有,(b),(c),表明：,（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；,（2）变换后问题的边界面力改变为：,结论：,当体力X =常数，Y =常数时，可先求解无体力而面力为：,转换问题的解为：,而原问题的解为：,例如：图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题：,体力：,边界面力：,所求应力：,变换后的新问题：,体力：,边界面力：,(1)AF , m=1, y = 0:,(2) DE, m=-1, y = h:,(3) BC，m=-1, y = 2h：,所求得的应力：,原问题的应力,(4) EF，m=0：,(5) AB，m=0：,常体力下体力与面力转换的优点：,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用：,(1),方便分析计算（齐次方程易求解）。,(2),实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。,注意：,面力转换公式： 与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。,常体力下问题的基本方程：,非齐次方程通解 = 非齐次方程特解 +对应齐次方程通解。,(1)非齐次方程特解,常体力下特解形式：,(2)对应齐次方程通解,对应的齐次方程：,平衡方程,相容方程,面力条件,位移条件,十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法,由微分方程理论，必存在一函数 A(x , y)，使得,也必存在一函数 B(x , y)，使得,对应的齐次方程第一式改写为：,对应的齐次方程第二式改写为：,t1,t2,比较式t1与t2，有,由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得,那么，对应齐次方程通解,(x,y) 应力函数 （Airy 应力函数）,(3) 非齐次方程通解,取特解为：,则非齐次方程通解为：,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,（4）相容方程的应力函数表示,将解代入常体力下的相容方程：,注意到体力 X、 Y 为常量，有,将上式展开，有, 应力函数表示的相容方程它给出了应力函数满足的条件。,(x,y)应是什么函数？,可简记为：,或：,式中：,结论：,应力函数应为一重调和函数,(5) 求解方法,（1）逆解法,（2）半逆解法, 主要适用于简单边界条件的问题。,假设各种满足相容方程的应力函数的函数形式；然后计算应力分量，再利用应力边界条件求出边界面力，从而得知所设的应力函数可以求解什么样的问题。,根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量或全部应力分量的函数形式 ；根据应力与应力函数的关系求出应力函数的函数形式；令 应力函数满足相容方程求出应力函数的具体函数形式（有待定常数）；根据应力与应力函数的关系求出应力分量的具体表达式；令应力分量满足力边界条件和位移单值条件。就可求出正确解答。如果有一方面的条件不能满足，重新假设。, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,2、试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,3、图示楔形体，试写出其边界条件。,（题2图）,（题3图）,补充作业：,1、试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,（题1图）,