数学建模培训之四拟合与插值专题ppt课件.ppt
2012数学建模集训班 -拟合与插值专题,精彩源于坚持，搏过才知其美,2022/12/25,数学建模,在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。,本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容；掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。,2022/12/25,数学建模,内容提纲,1.拟合问题引例及基本理论2.Matlab求解拟合问题3.应用实例4.插值问题引例及基本理论5.Maltab求解插值问题6.应用实例,2022/12/25,数学建模,拟合问题,2022/12/25,数学建模,拟 合 问 题 引 例 1,温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻R() 765 826 873 942 1032,已知热敏电阻数据：,求600C时的电阻R。,设 R=at+ba,b为待定系数,2022/12/25,数学建模,拟 合 问 题 引 例 2,求血药浓度随时间的变化规律c(t).,作半对数坐标系(semilogy)下的图形,MATLAB(aa1),2022/12/25,数学建模,曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,y=f(x),i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离,2022/12/25,数学建模,线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函数r1(x), rm(x)的选取,1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；,2. 将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定 f(x)：,2022/12/25,数学建模,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路,第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中 a1,a2, am 为待定系数。,第二步: 确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。,记,问题归结为，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。,2022/12/25,数学建模,线性最小二乘法的求解：预备知识,超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组,超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。,如果有向量a使得 达到最小，则称a为上述超定方程的最小二乘解。,2022/12/25,数学建模,线性最小二乘法的求解,定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组 RTRa=RTy -正则（正规）方程组的解：a=(RTR)-1RTy,所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。,2022/12/25,数学建模,用MATLAB解拟合问题,1、线性最小二乘拟合,2、非线性最小二乘拟合,2022/12/25,数学建模,用MATLAB作线性最小二乘拟合,1. 作多项式f(x)=a1xm+ +amx+am+1拟合,可利用已有命令:,a=polyfit(x,y,m),3.对超定方程组,2.多项式在x处的值y的计算命令：y=polyval（a，x）,2022/12/25,数学建模,例 对下面一组数据作二次多项式拟合,2022/12/25,数学建模,1）输入命令：x=0:0.1:1; y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2; R=(x.2), x, ones(11,1)； A=Ry,MATLAB(zxec1),解法1解超定方程的方法,2）计算结果： = -9.8108, 20.1293, -0.0317,2022/12/25,数学建模,2）计算结果： = -9.8108, 20.1293, -0.0317,解法2用多项式拟合的命令,MATLAB(zxec2),1）输入命令：x=0:0.1:1; y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和拟合曲线的图形,2022/12/25,数学建模,1. lsqcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,用MATLAB作非线性最小二乘拟合,两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit、lsqnonlin。相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函数f(x)，但定义f(x)的方式不同，请参考例题。,lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F（x，xdatan）T中的参变量x(向量),使得,2022/12/25,数学建模,输入格式: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,lb, ub); (3) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata, lb, ub, options); (4) x, resnorm = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (5) x, resnorm, residual = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);,说明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);,2022/12/25,数学建模,lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的参量x，使得 最小。 其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai） =F(x,xdatai)-ydatai,2. lsqnonlin,已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,2022/12/25,数学建模,输入格式： 1） x=lsqnonlin（fun，x0）； 2） x= lsqnonlin （fun，x0，lb，ub）； 3） x= lsqnonlin （fun，x0， ，lb，ub，options）； 4） x， resnorm= lsqnonlin （fun，x0，）； 5） x， resnorm ， residual= lsqnonlin （fun，x0，）；,说明：x= lsqnonlin （fun，x0，options）；,2022/12/25,数学建模,例2 用下面一组数据拟合 中的参数a，b，k,该问题即解最优化问题：,2022/12/25,数学建模,MATLAB(fzxec1),1）编写M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k;,2）输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)= ，x=(a，b，k),解法1. 用命令lsqcurvefit,2022/12/25,数学建模,3）运算结果：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 x =0.0063 -0.0034 0.2542,4）结论：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542,2022/12/25,数学建模,MATLAB(fzxec2),1）编写M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata,2）输入命令: x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f= curvefun2(x),函数curvefun2的自变量是x，cdata和tdata是已知参数，故应将cdata tdata的值写在curvefun2.m中,解法 2 用命令lsqnonlin,x=（a，b，k）,2022/12/25,数学建模,3）运算结果为 f =1.0e-003 *（0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792） x =0.0063 -0.0034 0.2542,可以看出，两个命令的计算结果是相同的。,4）结论：即拟合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542,2022/12/25,数学建模,说明：拟合与统计回归,区别与联系,统计回归线性回归 （regress命令）非线性回归,2022/12/25,数学建模,非线性回 归,（1）确定回归系数的命令： beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）,（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）,1、回归：,2022/12/25,数学建模,例题的求解：,2、输入数据： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; beta0=8 2;,3、求回归系数： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta,得结果：beta = 11.6036 -1.0641,即得回归模型为：,To MATLAB(liti41),2022/12/25,数学建模,4、预测及作图： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x,y,k+,x,YY,r),2022/12/25,数学建模,插值问题,2022/12/25,数学建模,拟合与插值的关系,说明：函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上完全不同。,实例：下面数据是某次实验所得，希望得到x和 f之间的关系？,MATLAB(cn),问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面,解决方案：,若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。,若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；,2022/12/25,数学建模,最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：,2022/12/25,数学建模,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一 维 插 值,一、插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab解插值问题,返回,2022/12/25,数学建模,返回,二维插值,一、二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,2022/12/25,数学建模,一维插值的定义,节点可视为由,产生,，,表达式复杂,，,或无封闭形式,，,或未知.。,2022/12/25,数学建模,返回,2022/12/25,数学建模,称为拉格朗日插值基函数。,已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中Li(x) 为n次多项式：,拉格朗日(Lagrange)插值,2022/12/25,数学建模,拉格朗日(Lagrange)插值,特别地:,两点一次(线性)插值多项式:,三点二次(抛物)插值多项式:,2022/12/25,数学建模,拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,例,返回,To Matlablch(larg1),2022/12/25,数学建模,分段线性插值,计算量与n无关;n越大，误差越小.,2022/12/25,数学建模,To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14,返回,例,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,1.在-6,6中平均选取5个点作插值(xch11),4.在-6,6中平均选取41个点作插值(xch14),2.在-6,6中平均选取11个点作插值(xch12),3.在-6,6中平均选取21个点作插值(xch13),2022/12/25,数学建模,比分段线性插值更光滑。,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,2022/12/25,数学建模,g(x)为被插值函数。,三次样条插值,2022/12/25,数学建模,例,用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych),返回,To MATLABych(larg1),2022/12/25,数学建模,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest ：最邻近插值linear ： 线性插值；spline ： 三次样条插值；cubic ： 立方插值。缺省时： 分段线性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,2022/12/25,数学建模,例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。,To MATLAB(temp),hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接输出数据将是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),2022/12/25,数学建模,例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。,To MATLAB(plane),返回,2022/12/25,数学建模,二维插值的定义,第一种（网格节点）：,2022/12/25,数学建模,已知 mn个节点,2022/12/25,数学建模,第二种（散乱节点）：,2022/12/25,数学建模,返回,2022/12/25,数学建模,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。,返回,2022/12/25,数学建模,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,2022/12/25,数学建模,插值函数为：,第二片(上三角形区域)：(x, y)满足,插值函数为：,注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域)： (x, y)满足,返回,2022/12/25,数学建模,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,返回,2022/12/25,数学建模,要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作网格节点数据的插值,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值缺省时, 双线性插值,2022/12/25,数学建模,例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps),1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.,2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.,2022/12/25,数学建模,再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图.,To MATLAB(wendu),2022/12/25,数学建模,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,To MATLAB (moutain),返回,2022/12/25,数学建模,插值函数griddata格式为:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量。,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值v4- Matlab提供的插值方法缺省时, 双线性插值,2022/12/25,数学建模,作业与练习,2022/12/25,数学建模,练习1 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。 分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。,2022/12/25,数学建模,练习2 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为 ，其中V0是电容器的初始电压， 是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0， 。,分别应用非线性最小二乘拟合以及非线性回归命令求解，并作比较，体会统计回归与拟合方法的区别。,2022/12/25,数学建模,练习3 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，估计在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。,用插值方法作海底曲面图.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,2022/12/25,数学建模,Thanks!,
