北师大版九年级上册数学1.1菱形的性质与判定优秀ppt课件(3课时).ppt

,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 菱形的性质,1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）,学习目标,问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？,平行四边形的性质：,边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.,导入新课,活动: 观察下列图片，找出你所熟悉的图形.,问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？,平行四边形,菱形,菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,讲授新课,菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.,问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？,平行四边形,菱形集合,平行四边形集合,做一做请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？,（2）菱形中有哪些相等的线段？,1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的对角线互相垂直(ACBD).,A,B,C,O,D,发现菱形的性质,已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.求证:(1）AB = BC = CD =AD； （2）ACBD.,证明菱形的性质,证明：（1）四边形ABCD是菱形， AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又AB=AD; AB = BC = CD =AD.,求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.,思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分BAD和BCD， BD平分ABC和ADC.,（2）AB=AD, ABD是等腰三角形.,又四边形ABCD是菱形， OB=OD.,在等腰三角形ABD中， OB=OD， AOBD， 即ACBD.,菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直.,角：对角相等，邻角互补.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.,菱形的特殊性质,平行四边形的性质,总结归纳,1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，图中的等腰三角形有_，直角三角形有_ ，而且它们是_（“全等”或“不全等”）.,口答：,2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.内角和为360 B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分,ABD, BCD，ABC,ADC,ABO，ADO,BCO,CDO,全等,B,例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm.则：（1）BO=_; (2)AC=_.,典例精析,B,A,C,D,O,4cm,6cm,菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题.,例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形， ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = 6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB = BD = 6.,典例精析,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA = = =AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.,若菱形有一个内角为60，那么60角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30角的直角三角形.,当堂练习,1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等,2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 （ ） A.40 B.32 C.24 D.20,C,D,3.在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F分别为BC，CD的中点，那么EAF的度数是 （ ）,A.75 B.60 C.45 D.30,B,6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_.,4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_.5.菱形ABCD中ABC120 ，则BAC_.,3,30,60、60、120、120,7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.,解：四边形ABCD是菱形， ACBD (菱形的两条对角线互相垂直). AOB=90. BO= =3(cm). BD=2BO=23=6(cm).,8.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD， CA平分BCDBCE=DCE又 CE=CE，BCECOB（SAS）CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDC.AFD=CBE,课堂小结,菱形的性质,菱形的性质,1.四边相等2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.,菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.,见本课时练习,课后作业,谢谢！,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 菱形的判定,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和 计算.（难点）,学习目标,问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？,菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质：1. 轴对称图形.2. 四边相等.3. 对角线互相垂直平分.,导入新课,动手做一做,思考：剪下来的是什么图形？,问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?,1.小明的想法,平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.,讲授新课,2.小颖的想法,我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样.,3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何?,猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,猜想2:四边相等的四边形是菱形.,通过探究，容易得到：对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形,活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？,验证活动1,平行四边形,菱形,已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ,ACBD.求证：ABCD是菱形.,证明： 四边形ABCD是平行四边形. OA=OC. 又ACBD, BD是线段AC的垂直平分线. BA=BC. 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,证明猜想1,定理运用格式：,四边形ABCD是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形为菱形),练一练,判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 。 （ ）（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。 （ ）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。 （ ）,小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相较于点B , D,依次 连接A、B、C、D四点.,活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？,C,A,B,D,思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？,提示：AB = BC=CD =AD,验证活动2,证明：AB=BC=CD=AD; AB=CD , BC=AD. 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.又AB=BC,四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).,已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.,四边相等的四边形是菱形.,证明猜想2,定理的运用格式,AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形).,证明：在AOB中.AB= , OA=2,OB=1. AB2=AO2+OB2. AOB是直角三角形, AOB是直角. ACBD. ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).,例1：已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB= ,OA=2,OB=1. 求证： ABCD是菱形.,典例精析,2,例2：已知：如图,在ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.,A,C,B,E,D,F,证明： 1= 2,又AE=AC, ACD AED (SAS). 同理ACFAEF(SAS) .CD=ED, CF=EF. 又EF=ED,四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.,1,四条边都相等,菱形,一组邻边相等,对角线互相垂直,对角线互相平分,一组对边平行且相等,两组对边分别平行或相等,四边形,平行四边形,两组对角分别相等,归纳总结,1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （）A. ACBD ,AC与BD互相平分B. AB=BC=CD=DAC. AB=BC,AD=CD,AC BDD. AB=CD,AD=BC,AC BD,C,当堂练习,2.如图所示：在ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1： .添加方式2： .,AB=BC,ACBD,3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形,A,B,C,D,E,F,O,1,2,证明: 四边形ABCD是平行四边形, AEFC.1=2.EF垂直平分AC,AO = OC . EO =FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边形AFCE是菱形.,4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DEAC,CE BD.求证：四边形OCED是菱形.,证明：DEAC，CEBD，,四边形OCED是平行四边形，,四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,OC=OD，,四边形OCED是菱形,5.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.,B,C,N,【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90 .再结合CEAB，可证得ADOCEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形. 再结合AOD=90可证得四边形ADCE为菱形,证明：MN是AC的垂直平分线，,AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.,CEAB，,DAO=ECO，,ADOCEO（ASA）,AD=CE，OD=OE，,OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形,又AOD=90，四边形ADCE是菱形,6.已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?,A,C,B,D,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.,定理2：四边相等的四边形是菱形.,菱形的判定,定义,定理,课堂小结,见本课时练习,课后作业,谢谢！,1.1 菱形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点)2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法。,学习目标,1平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 2菱形具有 的一切性质3菱形是 图形也是 图形4菱形的四条边都 5菱形的两条对角线互相 ,平行且相等,相等,互相平分,平行四边形,轴对称,中心对称,相等,垂直 且平分,复习引入,导入新课,6.平行四边形的面积=_.,A,B,C,D,底高,7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积 =_.,BCDF,思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？,做一做：如图，请用两种方法表示菱形ABCD的面积.,方法一：菱形ABCD的面积=底高 =CDBE.,E,方法二：菱形ABCD的面积 =4SABO =4 AOBO = ACBD.,讲授新课,A,B,D,C,a,h,(1)S = ah.(2)S = ACDB.,O,菱形的面积计算公式：,总结归纳,菱形的面积 = 底高 = 对角线乘积的一半,练一练如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm,16,例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ABC ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.,60,典例精析,解：花坛ABCD是菱形，,例2 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，AB13，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.,典例精析,解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离,方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半,解：在RtAOB中，AB13，OA5，OB12，于是所以，S菱形ABCD4SAOB430120.又因为菱形两组对边的距离相等，所以，S菱形ABCDABh13h，即，13h120，得,如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？,做一做,平行四边形,如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？,菱形,典例精析,例3.如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积,(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形；,(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为 ，菱形的面积为 .,方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形,1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是_.,2.如图，菱形ABCD中BAC120，则BAC_.,6cm,60,3.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（ ）,C,A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm,当堂练习,4. 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.,解: (1) 四边形ABCD是菱形,AC与BD相交 于点E. AED=90(菱形的对角线互相垂直), DE= BD = 10 = 5(cm) . (菱形的对角线互相平分), AE= =12(cm).AC=2AE=2 12= 24(cm)（菱形的对角 线互相平分）.(2)如图，菱形ABCD的面积 = BD AC =120(cm2).,5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形， ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = 6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB = BD = 6.,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA = = =AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.,课堂小结,菱形的性质与判定的综合性问题,菱形的面积,有关计算,面积=底高=两条对角线乘积的一半,见本课时练习,课后作业,谢谢！,