北京大学量子力学ppt课件 第28讲.ppt
,第 二 十 八 讲 .简并能级的一级修正,要有非零解(即 不全为 )，则必须由这可解得,A. 新的零级波函数 之间是正交的 B 在 子空间中是对角的,简并态的二级微扰 A. 若,B. 若则,因此，求得,C简并态可用非简并微扰处理的条件则可选非微扰态为 的共同本征态作为零级波函数,若 任意则 可用非简并微扰方法处理,例1: 在均匀电场中的刚体转子 所以 的能级 有 重简并,而 （ 在 方向） 如取 的共同本征函数作为零级波函数，则可直接用非简并微扰方法求微扰对能级能量的影响,而我们现在取 的共同本征态， ，简并态的标记恰好为 的量子数。 因 所以 因此，如处理 ，则不必担心其它简并态 ( ）的存在。,例2：在均匀外电场中的平面转子 有本征态,相应本征值为 。所以，是两重简并 而 ( 在 轴 ),即，简并态之间无作用；显然 按照前面的讨论。现在态的简并是以 的量子数 来表示的。但所以原则上不能用非简并微扰去做。,在上一节，我们已看到，用非简并微扰论去求二级修正，所得结果，对是错误的 我们已利用正确的公式求得正确的能量二级修正,所以，利用 不行。看能否找到另一力学量来将 的简并态分类，以便能用非简并微扰论来处理？,有一算符 使 由于,所以 因此， 的本征态，不是按分类，而是按 分类，即取 的共同本征函数组作为零级波函数，则可用非简并微扰方法来处理。,注意,于是，一级微扰修正为 而二级微扰修正,错误,例3： 若以 来分类，两重简并态,或以 来分类，两重简并态 由于 , ，所以原则上都不能用非简并微扰方法去做。 若用非简并微扰方法求能量的修正，则,而用第二组,但若用 ，它是将 显然， 若取 的共同本征函数为 的本征函数,这时，可用非简并微扰方法做 如严格按简并微扰论做，在第一组,在第二组,在处理简并能级微扰时，要特别用心于 A. 选取正确的零级波函数; B. 正确判断能否用非简并微扰 论的方法去求微扰修正。,8.2 变分法：定态微扰论有效，是必须找到 ，要求 有解析解，且逼近 。但这并不是容易做到的。 另一种求解法，是用变分法求定态解。 （1）体系的哈密顿量在某一满足物理要求的试探波函数上的平均值必大于等于体系基态能量 证：,设： 是 的本征态，本征值为 显然， 形成正交完备组，于是,当 时，等号成立。 因此，当我们用一试探波函数去找能量平均值时，一般总比基态能量大。再通过求变分，以得尽可能小的平均值及相应波函数，使之较为接近真值。当然，这平均值仍大于等于基态能量，即由变分给出的平均值是基态能量的上限。 （2）Ritz 变分法 现可利用变分原理到具体问题上，以求体系的近似本征能量和本征函数。 基本思想：根据物理上的考虑给出含一组参,量的试探波函数 A.求能量平均值，以 表示， B. 对 求极值，从而确定 显然， （基态能量）,当然，如果要求第 条能级的近似本征值和本征函数，则要求知道第一条（基态） 第 条能级的波函数，（设 已归一化）。取试探波函数 ，然后处理一下，给出新的波函数 再求 的极值，定出,从而给出第 条能级的近似本征值（即上限）及近似波函数,所以，是第 条能级的上限。 例：求氦原子的基态能量(即外有两个电子) 我们知道，氦原子的哈密顿量为（忽略）,从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz 变分法来求基态能量的近似值。 因类氢离子的基态波函数为,则 满足所以，取试探波函数为,显然，于是,（这里 是已归一化的）,Ritz变分，是由给定 （函数形式给定），即 ，仅改变参量 ，使 取极小（但函数形式不变），所以只能得到近似的本征函数和本征值的上限,8.3 量子跃迁 前二节，我们解决的是 与 无关，但不 会直接求解，而利用 有解析解，并且 较小，通过定态微扰论求解的近似本征值和本征函数,或通过变分法，利用试探波函数，来获得所求能级的能量上限。 现在要处理的问题是：体系原处于 的本征态（或叠加），而后有一微扰 作用到该体系。因此， 与 有关 显然，这时体系的能量不是运动常数，其状 态并不处于定态（即使 在一段时间中不变），在 的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。,也就是，体系可以从 的一个态以一定几率跃迁到另一态，我们称这为量子跃迁。处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论。 总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 (1) 含时间的微扰论： 与 有关，体系的哈氏量原为 ，随 有一微扰,因 不显含 ，而有则 的通解为,而 是常数 而当 时，即 时，处于即微扰不存在时，体系处于定态 上。 当微扰存在时，特别是与 有关时，则体系处于 的各本征态（或定态）的几率将可能随时间发生变化,设： 当然， 仍可按 的定态 展开。但由于 不是 的定态，所以展开系数是与 有 关。,代人S.eq.与 标积，得,于是有,（ 为 的本征态） 是 时刻，以 描述的体系，处于 的本征态 中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在 表象中的矩阵表示。这方程的解依赖初态和 。 假设 很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令,则有,于是有解 ，它 与 无关 由初条件 时，体系处于 即得于是有,又由,由此类推 而,（2） 跃迁几率：若 很小，即跃迁几率很小。我们只要取一级近似即可，则 这表明，体系在 时刻处于 定态 。在 时刻，体系可处于 的定 态 ， 而其几率振幅为 （ ）。 因此，我们在 时刻，测量发现体系处于这一态的几率为,例1：处于基态（ ）的氢原子，受位势（ 为实参数）扰动, 求 时，处于态 的几率,求, 选择定则：由, 对 选择定则为：,当 很大（即微扰时间很短）， 所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden 近 似）; 当 很小（微扰缓慢加上），,所以氢原子经扰动后仍处于基态（非简并态）(Adiabatic 近似）。 例2将自旋为 ，磁矩为 的粒子置于转动磁场中,时，粒子处于 的状态，讨论跃迁情况 解：设 时，粒子处于 ，末态为,仅与自旋相关，所以其它量子数应不变 。而 时处于 ，所以仅 项引起跃迁，而 项不引起跃迁。,于是 （3） 微扰引起的跃迁 A.常微扰下的跃迁率：在某些实验中，,微扰常常是不依赖于 的（在作用时间内） （ ）,所以， 时，体系处于 本征态 ，而在 时刻，体系处于 的本征态 的几率为（当 时，一级近似就满足了）,总跃迁几率为( 是末态能量为 的态密度，要注意的是 的能级密度，而不是 的。) 单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率）,而 所以，当 t 足够大，则有,它表明： 跃迁率与时间无关。通常称为Fermi黄金定则; 当 一定大后，跃迁贡献主要是来自同初态能量相同的末态。 应该强调，使公式成立的条件：t 足够大，（ ）虽然很小，但主要贡献都包括；,不能太大，以保证 , 所以要求 要小，使一级近似满足要求。,B周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化 与t无关 在一级近似下,
