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高等数学大结局,第一篇 极限论第二篇 微积分学第三篇 级数论 高等数学大结局,第一篇 极限论,第二篇 微积分学,第三篇 级数论,第四篇 空间解析几何,第五篇 微分方程,解析几何，线性代数,常微分方程,第六篇 差分方程,第一篇 极限论第二篇 微积分学第三篇 级数论 数学分析第四篇,大学高年级可能会进一步学习的数学课程,线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，二次型等数学对象及其关系。,概率论及数理统计：研究或然性问题及统计规律的数学学科。,运筹学：将数学理论应用于实际问题的数学应用学科。包含有众多的分支。,大学高年级可能会进一步学习的数学课程线性代数：行列式，线性方,第一篇 极限论,数学发展简史,2. 初等数学（常量数学）时期：前5世纪-17世纪。中学数学主要内容。,1. 数学的形成时期：思想和概念的萌芽与形成。,一般的，数学的发展被分为四个阶段,3. 高等数学（变量数学）时期：17-19世纪。函数成为数学的主要研究对象，变量进入了数学，运动进入了数学。这个时期的主要成果：解析几何，微积分，线性代数，微分方程，概率论，构成了大学数学主要内容。,4. 现代数学时期：19世纪至今。数学各分支（几何，代数，分析）的深刻变化为特征。,第一篇 极限论数学发展简史2. 初等数学（常量数学）时期：前,在数学发展的第三阶段，函数成为数学的主要研究对象，极限方法就成为分析函数特征的主要方法。极限法又称为无穷小分析法，这是整个微积分以及其他数学学科的基础。,极限概念对于高等数学的重要意义,高等数学其它概念的基础。,初等数学与高等数学的分水岭。,在数学发展的第三阶段，函数成为数学的主要研究对象，极限方法就,人类对极限的认识：一点历史知识,公元前450年的几个悖论：芝诺悖论,二分法：线段如果可以无限可分，则运动是不可能的,龟兔赛跑,箭：如果时间是有不可分的瞬息组成，则运动的箭是静止的,一尺之捶，日取其半，万世不竭,人类对极限的认识：一点历史知识公元前450年的几个悖论：芝诺,十七世纪末期，完善微积分理论的需要，才有柯西的 描述法,Cauchy小传:1789-1857，法国，发表800多篇论文，7本专著，其父与拉格朗日、拉普拉斯好友。,哲学上，人类了解极限是人类对宏观和微观世界认识在数学上的反映。,十七世纪末期，完善微积分理论的需要，才有柯西的,第二篇 微积分学,第二篇 微积分学一元函数微积分多元函数微积分微分学积分学,微积分的起源：几个人物,最初和现代积分概念相关的问题：计算面积、体积和弧长。,安提丰：前480-前411，古希腊，“智人学派”代表人物（倍立方、三等分任意角、化圆为方）。最早提出用多边形的面积穷竭圆的面积，这是积分学的雏形。,最初和现代微分概念相关的问题：曲线的切线、函数的极大极小值等。,费尔马：1629年，法，明确了函数极值问题。业余数学家，解析几何的发明者之一。Fermat大定理。,微积分的起源：几个人物最初和现代积分概念相关的问题：计算面积,微积分的确立：历史争论,微积分的正式发明在十七世纪。微积分的发明奠定了现代分析数学的基础。,牛顿，1642-1727，英，最为重要的三大发现：微积分、力学和引力定律、光谱分析均在躲避鼠疫期间，时年23岁，“从世界开始到牛顿的年代的全部数学，牛顿的工作超过了一半”（莱布尼茨），晚年潜心神学。,莱布尼茨，1646-1716，德，职业外交家，后人总结其研究范围包括41个领域。微积分的另一发明人，很多数学符号都来自于他，曾编辑出版中国新事萃编，研究易经，送过一台计算机给康熙，一生未婚。,微积分的确立：历史争论微积分的正式发明在十七世纪。微积分的发,发明权的争论：后人认为，莱布尼茨1675年发表了历史上第一篇有关微积分的论文，但是牛顿1669年发明流数法（“流数”就是现在的导数），流数法写于1671年，但1736年才发表。牛顿的这个习惯使得数学的发展至少推迟40年。,牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为他们的导师，割断了于欧洲大陆的联系，有人估计，这使英国数学落后了一百年。,发明权的争论：后人认为，莱布尼茨1675年发表了历史上第一篇,我们现在学习的微积分理论，已经经过数学家们长期的补充、完善，无论从理论还是逻辑基础、符号表达，都和牛顿，莱布尼茨等人当时的描述方式有很大的改进，当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。,微积分发展初期，对极限并没有一个准确的定义，所以造成了许多概念上的混乱，所以罗尔说：微积分就是一些巧妙的谬论的集合，对所谓的无穷小的不同理解引起了数学发展的第二次重大危机。,历史上看，微积分是为了解决实际问题的需要而产生的一种计算方法，它的产生为近现代数学和物理学提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然科学的发展。,我们现在学习的微积分理论，已经经过数学家们长期的补充、完善，,柯西：1789-1857，法，为微积分引入了严格清晰的表述和证明方法，形成微积分的现代体系。我们现在看到的大部分的描述和定义方式基本都来自于柯西。,数学小知识：数学发展史上的三次危机：无理数的诞生，分析基础的完善，数理逻辑的发展。,柯西：1789-1857，法，为微积分引入了严格清晰的表述和,一元函数微积分,一元函数微分学,一元函数积分学,在数学中，每一种运算总会存在着另外一种与之相逆的运算，它们对数学的量起着相反的作用。比如加与减、乘与除、指数与对数、三角与反三角、,在哲学上，每一个范畴都有相对应的另外一个范畴存在，运动与静止、物质与意识、对立和统一、质变和量变、时间和空间。,微分和积分的关系类似于加和减、乘与除的关系，它们是互逆的。,一元函数微积分一元函数微分学一元函数积分学在数学中，每一种运,一元函数微分学,导数：,基本导数公式,微分：,可导与可微的关系：,中值定理：,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,洛必达法则：,一元函数微分学导数：基本导数公式微分：可导与可微的关系：中值,导数的应用：,函数单调性判定,函数极值及其求法,函数最大值以及最小值问题,曲线的凸凹与拐点,函数图像的描绘,导数的应用：函数单调性判定函数极值及其求法函数最大值以及最小,几个人物,罗尔，1652-1719，法，只受过初等教育，年轻时穷困潦倒，后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在方程方面，“微积分是巧妙的谬论的汇集”。,拉格朗日，1763-1813，法，19岁被聘为教授，数学各个领域均有建树，微分方程的常数变易法为其提出，“死亡并不可怕，它只不过我遇到的最后一个函数”。,泰勒，1685-1731，英，皇家学会会员，牛顿莱布尼茨之争的仲裁委员为委员，泰勒在处理泰勒级数时，并没有考虑到收敛性，后由柯西证明，晚年钻研宗教和神学。,洛必达小传：1661-1704，法，贵族，其微积分成就许多来自于其老师贝努利，包括洛必达法则，当时解决的仅仅是零比零型，其它的是后人的推广，比如后来的欧拉。,几个人物罗尔，1652-1719，法，只受过初等教育，年轻时,不定积分,定积分,定积分的应用,一元函数积分学,不定积分定积分定积分的应用一元函数积分学,不定积分,原函数,不定积分原函数,不定积分定义,不定积分定义,是常数)基本积分表,高等数学总结课件,基本积分方法,直接积分法,第一类换元法（凑微分法）,第二类换元法,分部积分法,基本积分方法直接积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法分,定积分,定义,积分上限函数,定积分定义积分上限函数,牛顿-莱布尼茨公式,根据牛-莱公式，定积分的计算主要是求原函数，即不定积分问题。,广义积分,无穷限广义积分,无界函数广义积分,牛顿-莱布尼茨公式根据牛-莱公式，定积分的计算主要是求原函数,定积分应用,面积,体积,弧长,旋转体的侧面积,质量、转动惯量、引力、压力，变力做功、均值,定积分应用面积体积弧长旋转体的侧面积质量、转动惯量、引力、压,定积分应用,定积分的应用问题是促使微积分发展的动力，也是牛顿莱布尼茨发明微积分的原因。,历史上看，数学家们为解决这样一些问题，从而寻求数学方法，这样才有了微积分的思想，为了将这种思想建立在坚实的的理论基础上，数学家们经过了长久的努力，经过长久的完善、补充，才形成了我们现在课本上的微积分的系统的知识。,概括而言，先有了现实的问题，为了解决这些问题，牛顿等发明了微积分方法，为了使这个方法在理论和逻辑上更为有力，才逐步总结了极限的有关结论，以及微分学的有关结论。,定积分应用定积分的应用问题是促使微积分发展的动力，也是牛顿莱,多元函数微积分,多元函数微积分是一元函数微积分的推广。从一元到二元可能有些性质发生了改变，但是从二元到高于二元的多元函数的分析性质没有什么不同。我们讨论的重点是二元函数,和一元函数一样，多元函数微积分同样可以分为微分学和积分学两个部分。,多元函数的微分与积分同样是互逆的，但是因为自变量的增多，这种相互关系更为复杂。,有了一元函数的微积分思想，推广到多元情况是顺理成章的事情，所以数学史上，微积分的发明具有里程碑意义，但是究竟是谁首先将微积分思想应用于多元函数，并不重要。,多元函数微积分多元函数微积分是一元函数微积分的推广。从一元到,多元函数,邻域、区域、聚点、内点、外点,多元函数的极限,多元函数的连续性,多元函数微分法及应用,偏导数与全微分,偏导数本质上也是一个极限概念：当其它变量不动，函数值相对于某一个变量的改变量。,多元函数邻域、区域、聚点、内点、外点多元函数的极限多元函数的,偏导数数学定义：,全微分数学定义：,偏导数数学定义：全微分数学定义：,多元函数偏导存在和可微的关系：,函数可微函数连续偏导数连续函数可导多元函数偏导存在和可微的关,复合函数求导：链式法则,隐函数求导法则：,复合函数求导：链式法则隐函数求导法则：,方向导数：,方向导数本质上是函数的变化率，它是一个极限值，一个数，描述的是函数在某个方向上的改变速度，偏导数描述的是在坐标轴方向上的函数的改变速度。,方向导数：方向导数本质上是函数的变化率，它是一个极限值，一个,梯度：,多元函数在不同的方向上有不同和改变量，方向导数正是解释的不同方向上的函数变化率，梯度是一个向量，描述的是函数变化率最快的一个方向。,梯度与方向导数的关系：,梯度：多元函数在不同的方向上有不同和改变量，方向导数正是解释,多元函数极值问题：,无条件极值问题,条件极值问题,必要条件,充分条件,拉格朗日乘数法,多元函数极值问题：无条件极值问题条件极值问题必要条件充分条件,二重积分,二重积分是定积分在积分区域上的推广，定积分的积分区域是区间，二重积分的积分区域是一个平面区域。,二重积分定义：,二重积分的几何意义：,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,二重积分二重积分是定积分在积分区域上的推广，定积分的积分区域,二重积分的计算：转化为二次积分-两次定积分,（）直角坐标系下,（）极坐标系下,二重积分应用：,曲顶柱体体积和曲面面积,重心，转动惯量，引力,二重积分的计算：转化为二次积分-两次定积分（）直角坐,无论是在数学上，还是其他自然科学甚至社会科学上，微积分方法都有着广泛的应用。,历史上看，正是为了这些问题，才发明了微积分方法，但是我们作为一门知识而不是一个技能来学习，我们的思路是先学习系统的理论知识，再解决应用问题，而且重点在于单纯的理论学习，这往往使我们产生一个疑问： 我们学习这些东西有什么用？,无论是在数学上，还是其他自然科学甚至社会科学上，微积分方法都,微积分学主要题型：,计算定积分() 和广义积分；积分上限函数求导；利用定积分计算有关面积和体积() ；求多元函数极限或者证明其极限不存在；计算全微分()或者方向导数、梯度；多元函数求导() （复合函数，隐函数，高阶导）；多元函数的极值问题() ；计算二重积分() 。,微积分学主要题型：计算定积分() 和广义积分；,第三篇 级数论,无穷级数的本质：无穷多个量的和。,在数学发展史上，级数一直没有形成一个专门的理论，不象微积分那样在十七八世纪就已经有大量的关于微积分的教材。大多数的情况下级数是为了计算其它量的需要。,一般的，有限个量的和是一个确定的结果，随着极限的思想的产生，人们思考：无限个量的和是不是仍然是个有着确定数学性质的量？,第三篇 级数论 无穷级数的本质：无穷多个量的和。在数学发展史,英国数学家格雷哥里得到:,莱布尼茨发现：,总的来说：十七八世纪的数学家对无穷级数缺乏足够的理解，他们常常等同于有限级数而忽略其收敛性。这经常导致一些谬论。,我们现在学到的逻辑严密的级数理论,是后人对数学史上分散于不同时期,不同数学论文中的结论的总结.,几个小例子：,丹麦人圣文森特发现,英国数学家格雷哥里得到:莱布尼茨发现：总的来说：十七八世纪的,级数论的知识结构:,常数项级数,函数项级数,常数级数的一般概念,正项级数,交错级数,任意项级数,函数项级数的一般概念,幂级数,级数论的知识结构:常数项级数函数项级数常数级数的一般概念正项,常数项级数,常数项级数定义和一般性质,正项级数：,比较判别法,比值判别法（达朗贝尔判别法）,根值判别法（柯西判别法）,达朗贝尔小传：1717-1783，法，贵族私生子，出生后被遗弃路边。数学靠自学，24岁当选为法兰西院士。将微分概念建立在极限概念上的第一人。首次提出区别对待发散和收敛级数。,交错级数：,莱布尼茨定理,绝对收敛和条件收敛,任意项级数：,常数项级数常数项级数定义和一般性质正项级数：比较判别法比值判,函数项级数,函数项级数的一般概念,幂级数的收敛性：阿贝尔定理,阿贝尔小传：1802-1828，挪威，死于贫穷。数学上以它的名字命名的就有20多个。“他死后留下的东西够数学家们忙活100年”。,幂级数的优越性质：象有限个函数的和一样保持了连续性、可导可积性，并且可以逐项求导求积。,幂级数的两类问题：1、已知一个幂级数考虑其收敛性；2、将已知函数展开为幂级数。,函数项级数函数项级数的一般概念幂级数的收敛性：阿贝尔定理阿贝,级数论主要题型：,数项级数敛散性判断()；计算幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域() ；已知幂级数求其和函数() ；函数的麦克劳林展开() ；,级数论主要题型：数项级数敛散性判断()；,第四篇 空间解析几何与向量代数,解析几何：代数和几何的结合。,几何学和代数学在古巴比伦、埃及、中国的发源可以追溯到前6000年。,解析几何创立于十七世纪30年代，创立人分别为笛卡尔和费尔马。,无论是笛卡尔还是费尔马均创立的是平面解析几何，空间解析几何的创立于1700年以后。,笛卡尔：1596-1650，法，欧洲近代哲学开拓者。1637年在一本书的附录几何学中创立了解析几何。,第四篇 空间解析几何与向量代数 解析几何：代数和几何的结合。,解析几何的两个基本问题：,已知曲面，求曲面上的点的坐标满足的方程；,已知代数方程，研究满足这个方程的曲面的形状。,解析几何的两个基本问题：已知曲面，求曲面上的点的坐标满足的方,本部分内容不是考试重点，其主要题型如下：,向量的运算（加减，数乘，内积） () ；求已知动点的轨迹方程；了解常见的二次曲面形状。,本部分内容不是考试重点，其主要题型如下：向量的运算（加减，数,第五篇 微分方程,函数是数学的基本研究对象，它揭示的是世界上普遍存在的因果关系。,但有时仅仅知道某个函数的导数，甚至高阶导数之间的关系，试图寻找函数的形式的问题就是微分方程问题。,微分方程是以为积分为基础的数学分支，正是分析学的完善促进了微分方程理论的发展。,微分方程在各个领域有着广泛的应用。,我们学习的仅仅是简单的常微分方程。,第五篇 微分方程 函数是数学的基本研究对象，它揭示的是世界上,微分方程的基本概念,微分方程的阶；解；特解；通解,初始条件；初值问题；积分曲线,一阶微分方程的解法,可分离变量方程解法：分离变量，两端求不定积分,齐次方程解法：变量替换，令u=x/y,或u=y/x,一阶线性微分方程解法：常数变易法或者公式法,伯努利方程解法：利用变量替换，化为线性方程,微分方程的基本概念微分方程的阶；解；特解；通解初始条件；初值,二阶常系数线性微分方程解法：,二阶常系数线性微分方程解法：,微分方程主要题型：,求解常见的一阶微分方程() ；求解二阶常系数线性微分方程() ；,微分方程主要题型：求解常见的一阶微分方程() ；,第六篇 差分方程,微积分研究的对象是函数y=f(x),其中x是在某个范围内取值的连续变量，微分方程就是以这样一些函数为解的方程。许多实际问题可能归结为函数y=f(n)，其中n是在某个整数范围内取值的变量。差分方程就是以这样一些函数为解的方程。事实上，微分和差分都是描述变量变化状态的方式，只是微分描述的是变量的连续变化状态，差分描述的是变量的离散变化状态，差分可以看成是微分的一种近似，所以差分方程和微分方程在解的方法和解的结构上有许多相似的地方。,第六篇 差分方程 微积分研究的对象是函数y=f(x),其中x,差分方程主要题型：,求解一阶常系数差分方程() ；求解简单的二阶常系数线性差分方程；,差分方程主要题型：求解一阶常系数差分方程() ；,数学是这样一门学科：眼花缭乱的符号让你认为没有任何用处的学科，但是它的思想和方法一定无时无刻不在影响着你的思维习惯。,数学是这样一门学科：,数学是这样一门学科：若干年后（考完后若干天!），你可能将那些艰深晦涩的定义和概念忘得一干二净，但是在学习数学过程中培养起来的严密的逻辑思维能力、抽象与概括能力会潜移默化的影响着以后的学习和工作。,数学是这样一门学科：,希望在我们一年的学习过程中，能给你带来点滴的帮助！,谢谢大家在一年中的配合和支持！,希望在我们一年的学习过程中，能给你带来点滴的帮助！谢谢大家在,