第九章 质点动力学的基本方程ppt课件.ppt

动力学的研究对象,动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力之间的关系。,动力学的主要内容,（1) 牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、动能定理。,惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。相对论力学或量子力学,（2) 分析力学的一些内容和机械振动的基本理论，如动静法、虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度的振动问题。,动力学的形成和发展与社会进步的关系,（1) 动力学与钟表,中国古代计时方式，主要有三种： 铜漏；香篆；圭表。世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。,计时方法的关键：标准等时运动。,伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置摆奠定了基础。伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。,1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。,1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。,现代钟表由三部分组成：动力部分、传动部分和控制部分。更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡 电子表。,（2）动力学与现代工业,机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在冲击和振动环境中的动态响应，交通运输工具的操纵性、稳定性和舒适性以及动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题；,高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响，宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。,动力学的力学模型,（1）质点 ： 指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。,（2）质点系： 指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。包括固体、弹性体和流体。,（3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。,（4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。,第九章 质点动力学的基本方程,本章内容及分析思路,根据动力学基本定律,质点动力学的基本方程,求解质点的动力学问题,9-1 动力学的基本定律,第一定律 (惯性定律):,不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,第二定律 (力与加速度之间的关系的定律),惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不变。,基本表达式：,（91）,在经典力学范围内，上式可写为,（92）,式(102)是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。,第三定律 (作用与反作用定律),9-2 质点的运动微分方程,式（103）是矢量形式的微分方程。,1 、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影,设矢径,在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z ，,在轴上的投影分别为,，则式,在直角坐标轴上的投影形式为:,力,（94）,2、质点运动微分方程在自然轴上的投影,点的全加速度 ,式(93)在自然轴系上的投影式为,（95）,3 、质点动力学的两类基本问题,1) 第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.,2) 第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.,作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。,求质点的运动就是求式（94）或（95）的解，一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关。,补例1 电梯如图所示。已知电梯的加速度常数、方向向上。电梯重量为，放在电梯地板上的物质重量为，求：（1）物体对地板的压力；（2）电梯吊绳的拉力。,分析：由题意动力学问题已知运动求作用力，故属于质点动力学第一类基本问题。,解 （1）求物体对地板的压力,选取重物为研究对象，进行受力分析和运动分析（如图b所示）。建立直角坐标轴，列运动微分方程求解,式中FN,为物体对地板的压力。,或,（）求吊绳的拉力。,式中，称为绳索的静反力。,解得,讨论 把绳索动反力的值Td和静反力的值的比值称为动荷系数，用d表示：,取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。选坐标轴x，由式（94）得投影形式的质点运动微分方程,补例2如图所示桥式起重机上，小车吊着质量为的重物，沿横向作匀速运动，速度为。，吊绳长为。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动。试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后瞬间绳索张力的比。,分析：由题意动力学问题质点动力学第一类基本问题，先分析重物位于一般位置时。,解 取重物为研究对象，受力如图所示。取自然轴如图示，由式（95）得重物的运动微分方程投影式为,式中与均为变量。,讨论 起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。,由式（）得:,刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知。因此刹车前后瞬间动荷系数,分析：由题意动力学问题质点动力学第一类基本问题。,解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为,合力可以表示为,例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为,如滑块的质量为m, 忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当 ,连杆AB所受的力.,解:研究滑块,其中,有,得,这属于动力学第一类问题。,当,得,例9-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直,如图所示。质点在电场中受力 作用。已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。,分析：1）由题意动力学问题质点动力学第二类基本问题。2）求质点的运动轨迹质点运动方程。,(a),(b),得质点运动方程,轨迹方程,(c),分析：由题意动力学问题质点动力学第二类基本问题。,式中 .,解得,积分得,这就是该物体下沉的运动规律。,称为物体在液体中自由下沉的极限速度。,应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。,(说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时，宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设，并画出其受力图，建立它的运动微分方程。,3) 第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称为混合问题。,例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。,绳的张力与拉力F的大小相等。,分析：由题意动力学问题质点动力学第一、二类基本问题的综合问题。,例9-4粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。,解：视铁球为质点.受力如图b.,列出质点运动微分方程在主法线上的投影式,于是解得,）求出末知的力或运动。对第二类问题要应用运动初始条件确定积分常数。,总结 求解质点动力学问题的主要步骤：,1 ）选取某质点为研究对象；,）分析作用在质点上的力；,）分析质点的运动情况。,）选择恰当的投影轴，写出在该轴上的运动微分方程的投影式；,求解质点动力学问题，还应注意以下几点：,1 ）物体的受力分析。,）物体的运动分析。确定质点的运动轨迹是否已知、是直线还是曲线；分析质点运动要素是否已知，所用的坐标形式。有些情况下虽未直接给出运动，但经过运动学的分析可得出结果也算是已知的,建立运动微分方程,a）在什么位置建立点的运动微分方程，要根据题意确定。如只需要求某一特殊位置的力或加速度则在特殊位置列方程。如需要求几个位置或任意位置的力或加速度，则在一般位置列方程；求解以后，将题目要求的几个特殊位置的参数代入，得到答案。,b）选择方程的坐标形式。由质点的运动和未知力的情况确定。一般说来，最常用的是直角坐标，只有当点的运动轨迹已知时，才能用自然轴形式的方程。,精品课件！,精品课件！,）列运动微分方程时，力、加速度等的投影均要注意正负号。未知的加速度如用坐标对时间的二阶导数表示，则不必考虑正负号的问题。,）对于质点系的问题，只有在较简单的情况下才用本章所述的方法求解，一般情况要应用以后各章讲述的定理求解。,