高等流体力学 第六讲ppt课件.ppt
北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,本讲主要内容一、描述离散的基本方程二、圆管流中的离散三、宽矩形断面明槽流动中的离散四、非定常剪切流中的离散五、平面二维流动中的离散六、浓度矩法简介,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,一、描述离散的基本方程1、离散概念离散（弥散 Dispersion）：由剪切流中流速分布（对紊流指时均速度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。2、离散发展过程3、离散过程参数表示,离散初始阶段,离散发展稳定过程,（1）速度：,（2）浓度：,其中：速度时均值,断面平均值：,断面平均偏离值：,紊流脉动值：,平均值与偏差值,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,4、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较（1）两质点的移流离散管流：一质点在管中心，一质点在管壁处。（2）沿横断面的分子扩散随机运动，格态遍历特性。（3）作用大小移流作用紊动扩散分子扩散。（4）径向分子扩散与纵向移流离散的平衡在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于分子扩散和紊动扩散；随着扩散纵向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱，而分子径向扩散作用却始终保持着。这是因为纵向离散维持着径向浓度梯度之故。当扩散时间增大到某一程度，两种作用将保持平衡。达到平衡所需时间是多少？（Chatwin 1970）,纵径扩散平衡图,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,5、一维纵向移流平均浓度扩散方程,；,式中：,（2）速度浓度乘积时均值的断面平均值,（1）速度浓度乘积时均值,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,体积变化图示,质量守恒图示,（4）断面平均浓度离散方程,（3）体积变化关系,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,速度与浓度乘积的断面偏差及紊动时均的断面平均进行模式化处理，有：其中 ：Dt为紊动扩散系数； DL为纵向移流离散系数（Longitudinal advertion dispertion coefficient）。代入后可得：当面积A为常数，令K=DL+Dt，称为综合扩散系数（Mixing Coefficient）得面积平均浓度离散方程：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,6、浓度偏差方程（平面层流）,速度及平均速度偏差分布图,（1）,（2）,经量级比较，略去小量，展开上式，可得：,可得：,代入上式，且作变换：,将,速度分布如图，对扩散方程,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,（3）,，即：,边界条件：,由此得到泰勒对浓面积平均偏差值的方程（恒定流动）：,用（1）式减（3）式，得：,对（2）式作断面平均运算，得：,简化运算,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,得纵向离散系数：,有模式关系：,通过断面流入的扩散质的质量为：,积分浓度面积平均差值方程，可求出：,7、纵向离散系数DL（或K）的确定方法,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,；,8、基本公式小结,（1）浓度断面平均值扩散方程,（3）浓度断面平均差值方程,（4）纵向离散（或混合系数）系数计算公式,（2）离散系数定义,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,二、圆管中的离散,令：z=r/a，有：,以柱坐标形式表示,（2）浓度偏差值,1、圆管层流中的离散,（1）速度分布,其中：a圆管半径。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,积分解得：（3）纵向离散系数（4）量级概念当Dm=10-5cm2/s， umax=1cm/s，a=2mm；算得：DL=20cm2/s。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,2、圆管紊流中的离散分析步骤,（3）浓度断面平均差方程,（2）紊动扩散系数的比拟,（1）紊流速度分布,其中：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,给定f(z)既可求解上述浓度差值方程，泰勒（1954）给出速度分布为：经数值积分得出结果：上述结果经实验验证，符合较好。,纵向离散系数：,纵向紊动扩散系数：,综合扩散系数：,其中：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,三、宽矩形断面明槽流动中的离散1、问题化简矩形断面明槽，槽底水平，沿槽纵向时均流速仅是（x,z）的函数，横向和竖向时均流速为零。对三维紊动时均扩散方程忽略分子扩散，对浓度脉动与速度脉动乘积时均值模式化，有：考虑横向浓度梯度较小（即浓度分布在横向已达均衡），而纵向紊动扩散作用远小于移流离散作用，紊动扩散仅考虑竖向作用，即有：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,2、爱尔德（Elder，1959）的处理方法爱尔德应用泰勒的方法，处理矩形明槽中的扩散（1）是均速度、浓度的表示（2）坐标变换（3）整理后浓度时均差方程满足（4）速度分布假设（5）紊动扩散系数与运动粘性系数的比拟,k = 0.41,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,3、求解结果,（2）纵向离散系数,（1）浓度时均断面差值,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,（3）紊动扩散系数设紊动是各向同性的，即有：由定义：将垂向紊动扩散系数代入，可得： （4）纵向综合扩散系数,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,四、非定常剪切流中的离散1、问题的提出非定常的运动是普遍存在的。如港口或潮汐河段，存在周期性的涨潮和退潮；又如风吹动的湖面等，这类非定常运动下，污染物扩散问题如何研究？2、一维研究模型对非定常流中的扩散问题，选用周期运动模型如图。,一维模型图,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,3、两种极限状况设定常扩散稳定时间为Tc h2/Dm，T为运动周期时间，两种极限状况为：扩散现象如图所示，移流纵向离散系数DL = 0；因变化较为缓慢，可按移流离散方法分析。4、数学模型对浓度断面平均值偏差方程，计入非稳定项，可得问题描述的数学模型：,扩散过程图示,（1）,（2）,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,5、模型的解析解由模型条件可知：令Dtz为常数（或为层流情况Dm），则有：由数理方程的解法，可得：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,纵向离散系数的周期平均值为：可见，当 当,周期纵向离散系数随T的变化图,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,五、平面二维流动中的离散对许多环境问题，如港湾、湖泊中的流动，可按平面二维流动分析，其中在x、y方向的速度分量ux，uy沿水深变化，沿水深平均后得到的速度平均值仅为（x，y）的函数，因而构成平面二维流动，如图所示。1、流动量的表示（z向平均表示）,二维离散流动图,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,2、z向平均浓度扩散方程由三维浓度扩散方程：代入二维运动条件，可得：沿z做向积分平均运算，经化简后,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,将紊动项模式化得z平均值的平面二维扩散方程其中：K二维方阵,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,5、浓度平均值差的方程对定常问题，可解得：按一维方法得到综合离散系数：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,6、Fischer给出的算例Fisher（1978）对x方向平行于海岸线，y方向垂直于海岸线，具有图示流动模型的浓度扩散问题，给出二维浓度移流离散解。算得综合离散系数为：对给定速度平均值Vx = 5cm/s；Vy = 5cm/s，计算结果如图。,速度分布图,计算结果图,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,六、浓度扩散的浓度矩法（Aris， 1956）简介1、浓度扩散问题确定的思路（1）浓度分布函数与浓度概率分布密度在分子扩散的随机游走分析中已证明：1）浓度分布函数可以用概率密度函数表示；2）概率密度与分子扩散系数间存在关系（2）概率统计理论的结论设概率密度为p（x），对其作傅里叶（Fourier）变换，所得函数称为开率密度的特征函数：概率密度：,其中：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,因概率密度函数是绝对可积的，所以K（z）是连续可微的，可作泰勒展开：其中在z=0处K(z)的各级导数为：其中：如：,称为n阶统计矩。,称为期望值；,称为方差。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,2、浓度矩法以两平板间的层流为例，对沿x轴做移流运动的平面离散问题，在以断面平均流速移动的坐标系中，浓度值满足扩散方程：（1）浓度矩的定义定义p阶浓度矩为：定义p阶浓度矩的断面平均值为：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,（2）浓度矩方程对扩散方程取p阶矩运算：可得：边界条件：在对上式做断面平均运算，可得：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,3、Aris浓度矩法与泰勒（Taylor）方法的比较（1）原则上，可算出所有阶数的浓度矩随时间的变化值，因而可确定浓度在时间和空间上的分布函数；（2）浓度矩法更通用，可解决在未达到泰勒稳定时间前的浓度分布解；（3）泰勒法分析的结果仅对应于浓度矩法在t下的0阶、1阶和2阶矩的推论。（4）实际应运中，只需计算到2阶矩就可确定浓度分布特性了。,参看对照表。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第六讲 剪切流中的离散,本讲结束,
