高等流体力学 第五讲ppt课件.ppt

北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,本讲主要内容一、基本概念二、描述扩散运动的基本运动方程三、扩散系数及其分析确定方法四、扩散运动的解析解五、岸边排放与中心排放污染带的计算,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,一、基本概念1、扩散现象烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。2、传输过程流体中所含有物质（如各种污染物，也包括动量、能量和热量）在流场中某一处到另一处转移的过程。3、扩散（Diffusion）是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。（1）按扩散的机制可分为：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。1）分子扩散（Molecular Diffusion）：由分子运动产生。2）紊动扩散（Turbulent Diffusion）：由流体质点的紊动产生的扩散。3）移流传输（Advection）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。,第五讲 扩散理论,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（2）按研究问题的类型分：1）剪切流中的离散（Dispersion）：由于剪切流中速度分布不均匀产生含有随流散开的作用，也称弥散。离散中包含有移流扩散和紊动扩散。2）射流扩散：指从各种排泄口喷出流入周围另一流体域内运动的一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。其中射入同种性质的流体内称淹没射流，射入不同性质的流体内为非淹没射流。按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。动量射流（Jets）：射流以出流的动量（Momentum）为原动力，该动量对射流运动起主要作用。浮力羽流（Plumes）：浮力（Bouyancy Forces）是原动力，产生的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。浮射流（Buoyant Jets）：原动力既有动量又有浮力。3）分层流（Stratified Flowing）：在重力场中密度不均匀的流体形成有层次的流动。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,4、污水泄入河道中问题研究的阶段划分第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散，一般按三维运动问题处理；第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动，按二维紊动离散问题研究；第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合，污水沿纵向继续离散，可按一维纵向离散问题分析。5、扩散理论的基本假设（1）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将扩散质视为标志物质或称示踪剂（Tracer）。（2）流体质点上所带的扩散质在运动过程中保持不变，即流体质点间不发生扩散质的转移（不计分子扩散），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生掺混的结果。（3）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散过程中保持不变，扩散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,二、描述扩散运动的基本方程1、分子扩散的费克定律 （第一定律）费克（Adolph Fick，1855）提出假设：盐分在其溶液中扩散的物理定律应等同于傅立叶（Fourier，1822）提出的热传导定律相同，即：其中：费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上，单位时间内通过单位面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比，比例系数为该种扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定，与溶液的运动形态无关，是物性参数。,扩散液的浓度；量纲：,在xi方向的单位面积的扩散质量通量；量纲：,分子扩散系数；量纲：,常见扩散质在水中的扩散系数表,对三维情况，以矢量表示：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、分子扩散方程（费克第二定律）分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。取控制体如图，由质量守恒定律，可得：,整理得：,将费克第一定律代入，可得：,或,对三维情况：,上述方程称之为分子扩散方程（Diffusion Equations）。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3、移流扩散方程（Advective Diffusion Equations）取控制体如图，以x1方向为例。假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止 时的分子扩散相同。由质量守恒定律，可得：,及,整理可得：,对三维流动：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,4、紊动扩散方程对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和，即：代入移流扩散方程后取时均值，有：仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数Dij，令：紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）：,和,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,紊动扩散质量通量与紊动扩散系数Dij（Turbulent Diffusion Coefficients）可用矩阵表示为：Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性条件下，有：,因为，分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,三、扩散系数及其分析确定1、分子扩散系数与概率统计量间的关系（1）分子扩散方程的基本解问题： （考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（x=0）放置质量为M的扩散质，确定浓度沿x轴的扩散过程。,基本方程：,求解方法：1）量纲分析相似解法 ； 2）数理方程解法,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,量纲分析相似解法量纲分析：C（x，t）必然与M、Dm和t有关，有量纲关系代入扩散方程，得：得出： 分离变量法结果：,再由定解条件 确定系数c0。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（2）分子扩散的随机游走分析确定分子游走的概率值：分子的自由程l，经过N次运动后行走X距离的概率。设在N次行走中，有p次沿x的正向，q次沿x的反向行走；每次行走是相互独立的。有：p + q = N；令: p q = S ，故有：X = Sl沿x的正向行走X距离的概率P为：利用Sterling公式：可推出：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（3）分子扩散与分子随机游走概率密度间的关系令a为分子运动速度，t为分子运动N次所用时间，则有：随机游走概率可表示为：如令概率值分子落于X，X+dX间的概率为：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,可见概率密度：为扩散方程（M=1）的解。可见分子扩散方程的解满足标准差为 的正态分布。分析结论：1）分子扩散的浓度可以用概率密度表示；2）分子扩散系数可由概率分布的方差确定，即：或积分得,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（4）分子扩散系数与方差的关系证明1）浓度分布各阶矩的定义2）浓度分布各阶矩与统计量间的关系,一阶矩：,二阶矩：,n阶矩：,浓度分布质量中心坐标均值：,浓度分布方差：,取：,即,可证明,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3）分子扩散系数与方差的关系证明扩散方程两边同乘x2后从-到+积分,上是说明：确定扩散系数可以从研究浓度分布的方差着手。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、紊动扩散系数Dt的分析假设紊动场均匀、各向同性，以一维为例阐述。（1）基本概念 1）紊动扩散现象分析观测实验结果说明： 浓度中心位置； 浓度扩散分析； 系综平均结果。 2）扩散系数的物理解释两质点的相对扩散（系综平均）；单个质点的扩散（系综平均）。 3）系综平均与时间平均各态遍历特性,扩散观测,扩散现象图示,两质点的相对扩散图示,单个质点的扩散图示,各态遍历图示,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（2）单个质点的紊动扩散泰勒扩散理论泰勒（G. I. Taylor 1921）研究了单个质点在平稳、各向同性的紊流场中的扩散问题。考虑一维情况下，设紊动速度为u，平均速度=0；在t时刻，紊动质点的坐标位置为X(t)，X(t)的时间平均值（系综平均值）：令开始记录的时间为t0，经过t时刻，质点所移动的距离为其时间平均平方值可表示为：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,积分限变换：,由均匀和各向同性条件：,代入时均方差表示式，有：,分部积分后,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,讨论两种极端情况：扩散时间很短，扩散时间很长。1）扩散时间很短，R1，积分即：扩散系数：2）扩散时间很长，当tTL后，R（）= 0其中：扩散系数：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,有紊动理论知，积分时间比尺TL与扩散长度比尺满足：所以有：实验资料说明：定常均匀紊动的流场在tTL后是接近正态分布的，紊动质点运动已成为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,例题(pp.119-121)：设在一均匀紊流场内，在原点投入许多示踪质粒子，量测不同时刻粒子的横向位移X，X2的系综平均值 及通过原点后的时间t的数值如表所示。式绘出 关系曲线，推算出紊动扩散系数Dt，计算脉动速度均方值 及扩散长度比 。,数据表格,所作曲线图,解：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（3）两质点的相对扩散1）基本定义以一维运动为例，对均匀、各向同性的平稳紊动场，设两质点a、b的脉动速度速度为ua(t), ub(t)，脉动速度差为w(t)：两点位移差为：与单质点定义类似，可定义相对扩散均方值：相对扩散系数：定义相对扩散速度：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2）基本运算公式两质点的相对扩散的自变量为s0、和t，其它量都是s0、t的函数，所以,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3）主要结论 扩散时间t很短, 扩散时间很长 相互独立,为单个质点位移均方值的二倍，单个质点的扩散系数为常数。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论, 扩散时间t不短随着t的增加，初始状态s0的影响消失，但紊动尺度在惯性区，影响因素仅有能耗量纲：L2T-3，由量纲分析，可得定性关系：所以有：相对扩散系数与相对扩散距离的均方值存在以下关系,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,四、扩散运动的解析解1、扩散方程特性1）当扩散系数为常数时，浓度扩散方程为线性的二阶偏微分方程，解可以叠加。2）将扩散质假设为示踪剂后，浓度与流场的耦合问题不需考虑，计算步骤是先求出流场中各运动参数，而后用浓度扩散方程求浓度分布。3）对简单的边界条件和初始值问题，扩散方程有解析解。4）对复杂问题可通过数值解或实验测定方法确定浓度分布问题。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散（1）集中投入的情况1）一维问题问题描述：在t=0时刻，在原点x=0处集中投放质量为M的扩散质。要求确定t0时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数已知）。基本方程：定解条件：基本解：在x=投放，解为：,或,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散（1）集中投入的情况2）二维问题问题描述：在t=0时刻，在原点x=0，y=0处集中投放质量为M的扩散质。要求确定t0时刻在二维空间点（x，y）处的浓度值（扩散系数Dx、Dy已知）。基本方程：定解条件：解的表示：在x=，y=投放，解如何表示？三维问题的解如何表示？,或,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散（2）空间分布的情况1）一维问题问题描述：在t=0时刻，在x=a至x=b段分布有质量密度函数为f(x)的扩散质。要求确定t0时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数Dx已知）。基本方程：定解条件：解的表示：,瞬时分布源,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、扩散问题的解析解静止流体中瞬时源的扩散（2）空间分布的情况2）阶跃函数问题问题描述：在t=0时刻，在x=0至x=+段分布有质量密度函数为f(x)=c0的扩散质。要求确定t0时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数Dx已知）。基本方程：定解条件：解的表示：,浓度分布,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,误差函数定义：性质：其中：erfc(z)成为补误差函数。erf(z)及erfc(z)的值可查数学手册。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3、扩散问题的解析解静止流体中连续源的扩散（1）等强度连续点源的扩散问题描述：从t=0时刻开始，在x=0放置一等强度的连续点源，即在x=0处有一浓度为C0的浓度源。要求确定t0时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数Dx已知）。基本方程：定解条件：基本解：等强度连续源放置在x=处其解如何表示？,等强度连续扩散结果图示,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3、扩散问题的解析解静止流体中连续源的扩散（2）变强度连续点源的扩散问题描述：从t=0时刻开始，在x=0放置一变强度的连续点源，即在x=0处有一浓度为f(t)的浓度源。要求确定t0时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数Dx已知）。基本方程：定解条件：解的表示：变强度连续源放置在x=处其解如何表示？,变强度连续源图示,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3、扩散问题的解析解静止流体中连续源的扩散（3）变强度连续分布源的扩散问题描述：从t=0时刻开始，在x=a至x=b放置变强度的连续分布源，即从x=a至x=b上有浓度为f(x,t)的分布浓度源。要求确定t0时刻在一维空间点x处的浓度值（扩散系数Dx已知）。基本方程：定解条件：解的表示：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,4、均匀紊流中的瞬时点源扩散问题（沿x方向的均匀流U）基本方程：处理方法引入平行移动坐标系基本方程化简为：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,4、均匀紊流中的瞬时点源扩散问题（沿x方向的均匀流U）（1）一维问题方程： 解的表示：（2）三维问题方程：解的表示：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,5、有限边界问题边界反射扩散（以一维瞬时投入为例）（1）单边界图示（2）双边界图示（3）求解方法叠加法由于边界的制约，在边界处质量通量q=0，即有：在边界两侧浓度分布对称，由此确定叠加点源位置与强度。（4）解的表示1）单边界2）双边界,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,五、岸边排放与中心排放污染带的计算,1、基本定义,（1）中心排放：排放口的位置位于河流中央，如图所示。,（2）岸边排放：排放口的位置位于河流岸边，如图所示。,（3）污染带宽度Bb：在同一过流断面上，边缘点的浓度为最大浓度值的5%所对应点的宽度。,（4）污染带均匀混合长度Lm：当污染带宽度上最大浓度值与最小浓度值之差不超过5%时称污染带达到均匀混合状态。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,2、扩散问题类型,（1）坐标系的选择 沿水流流向（纵向）为x轴，河宽方向（横向）为y轴，z轴垂直于水面，坐标原点建在源处，如图所示。,相对点源坐标：,无量纲坐标系：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,起始断面平均浓度：,（2）扩散问题类型,2）扩散空间：对宽而浅河流，认为在z（水深）方向为均匀混合态，故可简化为二维问题；单位线源强度（点源）为：, 单位时间内污染物的排放量，单位：m3/s；, （x，y）处的水深，单位：m。,3）当横向扩散（沿y向）到达河岸后，须考虑两河岸边界的反射。,1）扩散源：等强度点源移流扩散；移流断面平均流速度 ；,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,3、计算的基本任务 当扩散处于稳定状态下（t）时，确定：,（1）污染带的浓度分布：,以相对值表示：,考虑两岸边界反射下的浓度分布：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（3）从排放点扩散到河流全断面需要的距离LB：,（2）污染带的宽度Bb（x）：,中心排放：,岸边排放：,中心排放：,岸边排放：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（4）从排放点到河流全断面均匀混合所需要的距离Lm：,从排放点到河流全断面均匀混合所需要的距离Lm要大于扩散到全断面的距离Lb，计算须考虑岸边反射。如图所示，对中心排放，当x=0.1时，满足均匀（完全）混合条件，对岸边排放，x=0.4。所以有：,中心排放：,岸边排放：,中心排放：,岸边排放：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,4、中心排放与岸边排放的扩散特性比较,（1）岸边排放的最大浓度约为中心排放最大浓度的2倍；,（2）岸边排放的横向扩展宽度约为中心排放横线扩展宽度的2倍；,（3）岸边排放达到均匀混合的距离约为中心排放达到均匀混合距离的4倍。,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,5、计算举例,例一（pp.38-39）在一条宽阔略有弯曲的河流中心设有一工业排污口，污水流量为0.2m3/s，污水中含有害物质的浓度为100ppm，河水深4m，流速为1.0m/s，摩阻速度u* = 0.061 m/s，横向扩散系数Dy = 0.4hu*。假定污水排入河流后，在垂直向可立即均匀混合，试估算排污口下游400m处污染带宽度及断面最大浓度。若规定排污口下游400m断面上允许最大浓度为5ppm，问排污口的排污流量可增加多少倍？（假定排污浓度维持不变。）,解： （1）排污带宽Bb的计算,浓度分布计算公式：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,式中：,由中心排放半宽度定义：,解得：,在下游400m处扩展宽度为：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,（2）下游400m断面上最大浓度,（3）按400m处断面允许的最大排污浓度,可得：,允许排放流量为,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,例二（pp.39-40）在一顺直矩形断面的河段，有岸边排放口恒定连续排放污水。已知河宽B = 50m，水面比降J = 0.0002，水深h = 4m，平均流速为0.8 m/s，水流近于均匀。取横向扩散系数Dy = 0.4hu*。试估算污染物扩散到对岸以及到达断面均匀混合分别所需要的距离。,解： （1）估算到河对岸的距离LB,岸边排放浓度分布计算公式（对岸未发生反射）：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,设在LB处扩散到达对岸,（2）求完全混合所需要的距离Lm,解得,由公式可得：,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第五讲 扩散理论,本讲结束,