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高等数学简明教程,第一章 函数、极限与连续,第一节 函数第二节 极限第三节 极限的运算第四节 函数的连续性,第一节 函数,一、函数的概念,确定函数的两个要素：定义域和对应法则.,第一节 函数,一、函数的概念,第一节 函数,一、函数的概念,函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.一般考虑以下几个方面： （1）分式函数的分母不能为零； （2）偶次根式的被开方式必须大于等于零； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）三角函数与反三角函数要符合其定义； （5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.,第一节 函数,二、函数的性质,有界性,第一节 函数,二、函数的性质,2.单调性,第一节 函数,二、函数的性质,3.奇偶性,第一节 函数,二、函数的性质,4.周期性,第一节 函数,三、反函数,第一节 函数,三、反函数,第一节 函数,四、基本初等函数,(2)幂函数,(1)常数函数,(3)指数函数,(4)对数函数,第一节 函数,(5)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,第一节 函数,(6)反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,第一节 函数,五、复合函数,注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.,第一节 函数,五、复合函数,第一节 函数,六、初等函数与分段函数,注:(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)分段函数一般不是初等函数.,第二节 极限,一、数列的极限,第二节 极限,二、函数的极限,第二节 极限,二、函数的极限,第二节 极限,二、函数的极限,第二节 极限,二、函数的极限,第二节 极限,三、极限的性质,第二节 极限,四、无穷小与无穷大,第二节 极限,四、无穷小与无穷大,第三节 极限的运算,一、函数极限的运算法则,第三节 极限的运算,一、函数极限的运算法则,第三节 极限的运算,二、两个重要极限,第三节 极限的运算,二、两个重要极限,第三节 极限的运算,三、无穷小的比较,第三节 极限的运算,三、无穷小的比较,注：相乘（除）的无穷小都可用各自的等价无穷小 代换，但相加（减）的无穷小的项不能作等价 代换 .,第三节 极限的运算,三、无穷小的比较,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,一、函数连续的概念,第四节 函数的连续性,二、函数的间断点,第四节 函数的连续性,二、函数的间断点,第四节 函数的连续性,二、函数的间断点,第四节 函数的连续性,三、连续函数的运算与初等函数的连续性,第四节 函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,第四节 函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,第二章 导数与微分,第一节 导数的概念第二节 导数的求导法则第三节 高阶导数 隐函数和参数方程所 确定的函数的导数第四节 函数的微分及其应用,第一节 导数的概念,一、导数的定义,第一节 导数的概念,一、导数的定义,第一节 导数的概念,一、导数的定义,第一节 导数的概念,一、导数的定义,第一节 导数的概念,一、导数的定义,第一节 导数的概念,一、导数的定义,第一节 导数的概念,二、导数的几何意义,第一节 导数的概念,二、导数的几何意义,第一节 导数的概念,三、可导与连续的关系,第二节 函数的求导法则,一、导数的四则运算法则,第二节 函数的求导法则,一、导数的四则运算法则,第二节 函数的求导法则,二、反函数的求导法则,第二节 函数的求导法则,三、基本初等函数的导数公式,第二节 函数的求导法则,四、复合函数的求导法则,这种复合函数的求导法则又叫链式法则.这个法则说明，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的求导法则可推广到任意有限多个中间变量的情形.,第二节 函数的求导法则,四、复合函数的求导法则,第三节 高阶导数 隐函数和参数方程,一、高阶导数,所确定的函数的导数,第三节 高阶导数 隐函数和参数方程,一、高阶导数,所确定的函数的导数,第三节 高阶导数 隐函数和参数方程,二、隐函数的导数,所确定的函数的导数,第三节 高阶导数 隐函数和参数方程,二、隐函数的导数,所确定的函数的导数,第三节 高阶导数 隐函数和参数方程,三、参数方程所确定的函数的导数,所确定的函数的导数,第三节 高阶导数 隐函数和参数方程,三、参数方程所确定的函数的导数,所确定的函数的导数,第四节 函数的微分及其应用,一、微分的概念,第四节 函数的微分及其应用,一、微分的概念,第四节 函数的微分及其应用,二、基本初等函数的微分公式,第四节 函数的微分及其应用,三、微分运算法则,第四节 函数的微分及其应用,四、复合函数的微分法则,第四节 函数的微分及其应用,四、复合函数的微分法则,第四节 函数的微分及其应用,五、微分在近似计算中的应用,第四节 函数的微分及其应用,五、微分在近似计算中的应用,第三章 微分中值定理及导数,第一节 微分中值定理第二节 洛必达法则第三节 函数的单调性第四节 函数的极值与最值第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单,的应用,函数图形的描绘,第一节 微分中值定理,一、罗尔定理,第一节 微分中值定理,二、拉格朗日中值定理,第一节 微分中值定理,三、柯西中值定理,第二节 洛必达法则,一、 型和 型未定式的求法,第二节 洛必达法则,一、 型和 型未定式的求法,第二节 洛必达法则,二、其他类型的未定式,第二节 洛必达法则,二、其他类型的未定式,第二节 洛必达法则,二、其他类型的未定式,第三节 函数的单调性,第三节 函数的单调性,第三节 函数的单调性,第四节 函数的极值与最值,一、函数的极值,第四节 函数的极值与最值,一、函数的极值,第四节 函数的极值与最值,一、函数的极值,第四节 函数的极值与最值,一、函数的极值,第四节 函数的极值与最值,一、函数的极值,第四节 函数的极值与最值,二、函数的最值,第四节 函数的极值与最值,二、函数的最值,第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单,一、曲线的凹凸性,函数图形的描绘,第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单,一、曲线的凹凸性,函数图形的描绘,第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单,一、曲线的凹凸性,函数图形的描绘,第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单,二、函数图形的描绘,函数图形的描绘,第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单,二、函数图形的描绘,函数图形的描绘,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元积分法第三节 分部积分法,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分,第一节 不定积分的概念与性质,二、基本积分公式,第一节 不定积分的概念与性质,三、不定积分的性质,第二节 换元积分法,一、第一换元法,第二节 换元积分法,一、第一换元法,第二节 换元积分法,二、第二换元法,第二节 换元积分法,二、第二换元法,第三节 分部积分法,第三节 分部积分法,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分的概念与性质第二节 微积分基本定理第三节 定积分的换元法和分部积分法第四节 定积分的应用第五节 广义积分,第一节 定积分的概念与性质,一、定积分的概念,第一节 定积分的概念与性质,一、定积分的概念,第一节 定积分的概念与性质,二、定积分的几何意义,第一节 定积分的概念与性质,二、定积分的几何意义,第一节 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,第一节 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,第一节 定积分的概念与性质,三、定积分的性质,第二节 微积分基本定理,一、积分上限函数,第二节 微积分基本定理,一、积分上限函数,第二节 微积分基本定理,二、牛顿-莱布尼茨公式,第二节 微积分基本定理,二、牛顿-莱布尼茨公式,第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,第三节 定积分的换元法和分部积分法,二、定积分的分部积分法,第三节 定积分的换元法和分部积分法,二、定积分的分部积分法,第四节 定积分的应用,一、定积分的元素法,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,1.平面图形的面积,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,1.平面图形的面积,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,2.体积1）旋转体的体积,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,2.体积1）旋转体的体积,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,2.体积2）平行截面面积已知的立体的体积,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,3.平面的弧长,第四节 定积分的应用,二、定积分在几何中的应用,3.平面的弧长,注:计算弧长时,由于被积函数都是正的,因此要使弧长为正,定积分定限时要求下限小于上限.,第四节 定积分的应用,三、定积分在物理中的应用,1.变力沿直线所做的功,第四节 定积分的应用,三、定积分在物理中的应用,2.液体的压力,第五节 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,第五节 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,第五节 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,第五节 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,第五节 广义积分,二、无界函数的广义积分,第五节 广义积分,二、无界函数的广义积分,第五节 广义积分,二、无界函数的广义积分,第五节 广义积分,二、无界函数的广义积分,