矢量分析课件.ppt

1,第一章 矢量分析,2,本章内容1.1 矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理,3,1. 标量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的单位矢量：,标量：一个只用大小描述的物理量。,矢量的代数表示：,1.1 矢量代数,矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。,矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示,注意：单位矢量不一定是常矢量,常矢量：大小和方向均不变的矢量。,自由矢量,4,矢量用坐标分量表示,模的计算,单位矢量,方向角与方向余弦,5,位置矢量(矢径),位矢 的大小(模)为,起点在坐标原点，终点在点M的矢量 为点M的位置矢量,简称位矢： 。,位矢 的方向余弦,直角坐标的表达式：,6,（1）矢量的加减法,两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。,矢量的加减符合交换律和结合律,2. 矢量的代数运算,在直角坐标系中两矢量的加法和减法：,结合律,交换律,7,（2）标量乘矢量,（3）矢量的标积（点积）,矢量的标积符合交换律,8,（4）矢量的矢积（叉积）,用坐标分量表示为,写成行列式形式为,若 ，则,若 ，则,负交换率,9,（5）矢量的混合运算, 分配律, 分配律, 标量三重积, 矢量三重积,10,1.2 三种常用的正交曲线坐标系,在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。,三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 三维坐标系中一个坐标的等值曲面，称为该坐标的坐标曲面；三维坐标系中两个坐标曲面的交集即为坐标曲线；三个坐标曲面的交点确定三维空间点的坐标。,11,1. 直角坐标系,位置矢量,面积元,线元矢量,体积元,坐标变量,坐标单位矢量,坐标曲面,坐标曲线上xyz增大方向两两正交，满足右手螺旋法则均为常矢量,12,矢量在直角坐标系中表达及运算,13,2. 圆柱坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,圆柱坐标系,坐标曲面,分别指向各自坐标变量增大的方向 两两正交，满足右手螺旋法则 不是常矢量,14,圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系,坐标单位矢量之间的关系,和 是随 变化的,15,矢量在圆柱坐标系中的表示及运算,16,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,圆柱坐标系中的线元、面元和体积元,17,3. 球坐标系,球坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,坐标曲面,分别指向各自坐标变量增大的方向 两两正交，满足右手螺旋法则 三个单位矢量均不是常矢量,18,球坐标系与直角坐标系之间的变换关系,球坐标系与直角坐标系的坐标单位矢量之间的关系,19,圆柱坐标系与球坐标系的坐标单位矢量之间的关系,20,球坐标系中的线元、面元和体积元,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,21,矢量在球坐标系中的表示及运算,22,4. 坐标单位矢量之间的关系,直角坐标与圆柱坐标系,圆柱坐标与球坐标系,直角坐标与球坐标系,23,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,24,a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：,b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：,注意：,25,如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。,定义：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。,什么是场？ 场有哪些性质？ 产生场的源是什么？ 场的分布和变化用什么来描述？,26,温度场: 标量场流速场：矢量场,27,时变标量场和矢量场可分别表示为：,从数学上看，场是定义在空间区域上的函数，即场是空间点M的函数,静态标量场和矢量场可分别表示为：,直角坐标系下，,矢量场的坐标分量表示（一个矢量场对应三个标量场）,注：场矢量与位置矢量的区别！ 场矢量分量与位置矢量分量的区别,矢量与矢量场的不变特性 标量函数和矢量函数其大小或方向与所选择的坐标系无关(t 定) 选择适当的坐标系,29,1. 标量场的等值面,等值面:三维标量场中取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值线：二维标量场中取得同一数值的点在空间形成的曲线。,等值面方程：,1.3 标量场的梯度(Gradient of Scalar Field),30,由隐函数存在定理知：函数u为单值，且连续偏导数 不全为零时，等值面一定存在；常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；过空间任意一点有且仅有一个等值面通过，即互不相交。,等值面的特点：,31,标量场的等值线(面),意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态，如等温面(线)、等高线等注：是场的整体分布现象,32,例：设在坐标原点置一电量为q的电荷，在空间形成电位场，电位满足标量函数 ，其中r是空间点到电荷的距离，于是电位场的等值面就是电位相同的点所构成的曲面，由方程,（C为常数不为零）,即是以原点为中心的球面，以不同常数值 就得到一族同心球面。,33,2. 方向导数,意义：方向导数表示场在某点处沿某方向的空间变化率。,概念：, u(M)沿 方向增加；, u(M)沿 方向减小；, u(M)沿 方向无变化。,特点：方向导数既与点M0有关，也与 方向有关。,34,方向导数的计算公式(直角坐标系),35,例1：求函数 在点 M(1,0,1) 处沿的方向导数。,解：,在M(1,0,1)处有,的方向余弦,36,问题：在空间某点处，沿哪个方向变化率最大、该最大的变化率(的值)又是多少？,标量场中给定点对应无穷多个方向,方向导数：函数u(M) 在给定点处沿某个方向的变化率的问题。,37,改写为两个矢量的点积形式,令,矢量 表示点M处沿曲线l方向的单位矢量，仅仅与l的方向有关，与函数u(M)无关；矢量 只与函数u(M)在点M处的三个偏导数有关，与曲线的方向无关，在给定点处为一固定矢量；,38,表明： G在l方向上的投影等于函数u在该方向上的方向导数,则,当 方向和 方向相同时，即 ，方向导数取得最大值，该最大值为 ； 其他方向上， 。,矢量 的方向对应着函数u(M)变化率最大的方向！矢量 的模为这个最大变化率的值！,39,梯度的表达式：,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,3. 标量场的梯度（ 或 ）,意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向,概念： ，其中 取得最大值的方向,梯度的定义与坐标系的选择无关，它是由标量场的场分布所决定，但是它的表达形式与坐标系有关,40,附：哈密顿算子 （矢性微分算子）,算子本身并无意义，而是一种微分运算符号，同时又被看做矢量，它在运算中具有矢量和微分双重性质； 算子不对位于它左边的物理量产生作用，而必对它右边的物理量产生作用；,直角坐标系下,梯度的表示：,直角坐标系下,41,标量场的梯度是矢量，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,梯度的性质：,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面），且指向场值增加的方向,梯度场：标量场中每一点的梯度与场中点一一对应所形成的矢量场,42,例三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的等高线垂直，数值等于该点位移的最大变化率 指向地势升高的方向例 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等位线垂直，数值等于该点的最大方向导数 指向电位增加的方向,43,梯度运算的基本公式：,44,解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为,例1.2.1 设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量场。试求： (1) 该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。 (2) 求该函数 沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,45,表征其方向的单位矢量,(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为,对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,46,而该点的梯度值为,显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。,47,例：已知证明：,其中： 表示对x,y,z的运算，,表示对 的运算，,解：,(1),(2),48,在电磁场中，通常以 表示场点的坐标，以 表示源点的坐标，因此以上运算结果在电磁场中非常有用。,(3),同理,则,49,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。如果物理量为矢量，则该物理量所确定的场为矢量场。,矢量场,矢量场中各点的场量是随空间位置变化的矢量，矢量场为空间坐标的函数。,矢量场的矢量函数表达,50,矢量场的描述方式 矢量场性质 产生矢量场的源？,研究内容：,散度和旋度：从点的性质揭示矢量场的特性散度和旋度的基础：通量和环流,51,1.4 矢量场的通量与散度,1. 矢量线,意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。,矢量线方程：,概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。,52,矢量线不仅存在，而且充满了矢量场所在空间；矢量场空间任意一点处，有且仅有一条矢量线通过；即矢量线互不相交。,矢量线的特点：,53,例1：设在坐标原点置一电量为q的电荷，则在其周围空间的任一点处所产生的电场强度为,其中 为M点的矢径； ，求电场强度 的矢量线。,例2：求矢量场 通过点 的矢量线方程。,54,2. 矢量场的通量,问题： 如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。,几个概念：,有向曲线、有向曲面/面元(正方向的选择),55,矢量场穿过面积元的通量（标量积）,通量的概念,矢量场通过曲面的通量（面积分）,面积元的法向单位矢量；,穿过面积元 的通量。,例如：电通量、磁通量,56,如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是,矢量场穿过闭合曲面的通量,57,矢量场通过面积元的通量,通量的物理意义,矢量场通过曲面的通量,F与 相交成锐角(d0),F与 相交成钝角(d0),穿向曲面S正侧的正通量和穿向曲面的负通量的代数和！,58,通过闭合曲面有净的矢量线穿出,有净的矢量线进入,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,矢量场通过闭合曲面通量,通过闭合曲面的通量从宏观上建立了与曲面内产生矢量场的源的关系。,正源,负源,三种可能结果,表示穿出闭合曲面的正通量和进入闭合曲面负通量的代数和,无源？,59,例：位于原点的点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为,其中r是点电荷q到点M的距离， 是从点电荷q指向M的单位矢量。设S为以点电荷为中心，R为半径的球面，求从内穿出S的电通量。,球面S内产生电通量的源，正是球面内的电荷； 静电场中的正电荷就是发出矢量线的正通量源；负电荷即为负通量源,60,通量源在闭合曲面内的分布情况？通量源的强弱？ 矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内每一点的通量特性；为了研究矢量场在空间某点附近的通量特性(即源的特性)，引入矢量场的散度！,61,3. 矢量场的散度,定义：矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限(流出单位体积封闭面的通量),矢量场的散度为一标量; 表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处单位体积内散发出的该矢量的通量，具有场的局部性质; 描述了矢量场中某点处通量源的密度(强度),62,散度的物理意义,散度恒为零的矢量场 为无源场； 如果把矢量场中每一点的散度与场中之点一一对应起来就得到一个标量场，称为该矢量场产生的散度场。,与 沿空间坐标变化有关，但与所取体积无关，只要 即可。以 点为顶点作一个平行六面体,故 经过左右两面的通量为：,用偏微分代替偏增量，得:,直角坐标系下散度表达式的推导,同理，前后、上下面的通量分别为:,故从该平行六面体穿出的通量为:,令 ，则,65,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,散度的表达式：,散度的有关公式：,66,4. 散度定理,通量与散度的关系：,该定理是矢量散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是矢量分析中一个重要恒等式，在电磁理论中非常有用。,67,例1： 求,例2：设 ，求 ，其中 为可导函数。,68,例3：在位于原点的点电荷q所产生的电场中，求电位移矢量D在任何一点的散度。,除了点电荷所在原点外，电位移矢量的散度处处为零，即为一无源场； 电场穿过包含电荷q的任何封闭曲面的电通量都等于q；,穿过任一封闭曲面S的电通量，等于S所围电荷的代数和(电学中的高斯定理！) 电荷连续分布的电场中，电位移矢量的散度等于电荷分布的体密度！,69,1.5 矢量场的环流和旋度 （Circulation and Rotation of Vector Field）,矢量场的环流与旋涡源,环流的定义：,矢量场F沿场中闭合路径的曲线积分称为矢量场F沿闭合路径的环流,不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的源,它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。,70,实例：力场中的环流,表示：质点沿闭合路径运转一周，场力所做的功。,实例：流速场中的环流,表示：单位时间内，沿闭合回路l正向流动的环流。,71,实例：磁场的环流与电流的关系：,表示：由安培环路定理可知，磁场强度H沿闭合路径C的环流就是穿过以路径C为边界的任意曲面S的总的电流强度（代数和）。,72,意义：反映了矢量场的漩涡源,性质：产生环流的源既不发出也不汇聚矢量线； 所产生的矢量场的矢量线是闭合曲线,分析：矢量场的环流与矢量场穿过闭合曲面的通量一 样，都是描述矢量场性质的量。如果矢量场的环 流不等于零，则认为场中有产生该矢量场的源。,73,通量是一个闭合曲面积分环流是一个闭合曲线积分,均为矢量场中源的一种整体性概念,通量环流,散度？,环流是一个数量： 与场矢量有关 与回路C 的形状和取向有关,74,定义M点处环流面密度： 回路C构成的面元为 故上述极限与 方向有关。 与 有一角度,C,红线代表实际涡旋场矢量线， 为M处涡旋面正法线方向,通过定义环流面密度来描述某点处的漩涡源强度 但是：环流面密度与方向有关！,M,75,矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。,2. 矢量场的旋度（ ）,（1）环流面密度,称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。,过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限,76,特点： 表示了环流对面积的变化率，具有场的局部性质； 其值不仅与点M 处有关，而且与M处面元的法线方向 有关。,物理意义： 矢量场在M点沿 方向的环流面密度，就是该点处沿该方向的漩涡源密度。,77,实例：流速场的环流面密度,流速场v中的一点M处，沿方向n的环流面密度,就是点M处与n的成右手螺旋方向的环流对时间的变化率，称为环流密度，表示旋转的强弱，即大小。,78,实例：磁场的环流面密度与电流密度的关系,磁场强度H所构成的磁场中的一点M处，沿方向n的环流面密度,就是点M处沿方向n的电流密度（不存在旋转强弱的问题）,如果某点附近的面元方向与电流方向重合，则H的环流面密度有最大值；如果面元方向和电流方向有一个夹角，H的环流面密度总是小于最大值；如果面元方向和电流方向垂直，H的环流面密度为0.,79,环流面密度表达式推导,由斯托克斯公式：,80,由中值定理,分别表示 在该点处的法向矢量 的方向余弦,得到沿任意方向的环流面密度表达式：,81,散度和环流面密度相同点： 都描述了矢量场中某点处附近的局部特性，都是一种变化率；重要区别： 散度单纯地与矢量场中的点构成一一对应关系； 环流面密度不仅与场中点的位置有关，还与从该点出发的方向有关。,这个重要区别，正是环量面密度与方向导数相一致的地方，这提示我们去寻找另一种矢量，使它与环流面密度之间的关系类似梯度与方向导数之间的关系，于是引出旋度的概念！,82,问题：在什么方向上环流面密度最大、其最大的环流面密度为多少？,令,83,矢量 表示点M处面元的法向单位矢量，仅仅与n的方向有关，与矢量函数无关；矢量 与n的方向无关，仅仅与矢量场有关，在给定点处为一固定矢量；,表明： 在任一方向上的投影等于该方向上的环流面密度,则,的方向为最大环量面密度的方向！为最大环流面密度的数值！,84,（2）矢量场的旋度,其中：n表示环流面密度取得最大值的面元正法线单位矢量,概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流 面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元 的法线方向，即,85,矢量场在点M处的旋度就是在该点的漩涡源密度,任一取向面元的环流面密度，是该点的旋度在该方向上的投影,性质：,86,实例1：流速场的旋度,流速场v中的一点M处旋度的方向，是最大环流密度的方向，其模为最大环流密度的值；它在任一方向上的投影，等于该方向上的环流密度（旋转的强弱即大小）。,实例2：磁场H的旋度,磁场H中某点处的旋度rotH，它的方向是该点处最大电流密度的方向，其模为最大电流密度的值；称rotH为电流密度矢量,87,旋度的计算公式:,88,旋度的有关公式：,的矢量场叫作无旋场 任何梯度场均为无旋场,89,例1：设矢量场 ,证明,表明：矢量场的矢量线族与其场的旋度的矢量线族是相互正交,得：,90,例3：证明矢量场 是无旋场。,证：,由于,且,有,例2：求矢径 的旋度。,91,3. 斯托克斯定理,斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,证明斯托克斯定理：把S 分成许多面元取每一个小回路中 的环流求和各小回路在公共边上的那部分积分都抵消最后只剩下没有公共边界的部分沿所有小回路积分的总和等于沿大回路C 的积分,图1.5.4 曲面的划分,表示 在 (沿 方向)上的投影，写成点积形式，有,92,93,4. 散度和旋度的区别,94,习 题一、关于矢量代数1.3; 1.4; 1.6; 1.7; 1.8; 1.9二、关于矢量分析 1.12; 1.13; 1.15;1.16; 1.18; 1.19; 1.20; 1.22; 1.23,95,1. 矢量场的源,散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；,旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环流，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。,1.6 无旋场和无散场,96,2. 矢量场按源的分类,（1）无旋场（保守场）,仅有散度源而无旋度源的矢量场，,无旋场可以用标量场的梯度表示为,例如：静电场,性质1：,u: 无旋场的标量位函数,97,性质2： ，无旋场沿场内任意闭合路径的环流为0,与路径无关，是保守场。,选定Q为固定点(如设定该点为零电位)，上式可看做点P的函数,表明：一个标量场可由它的梯度完全确定,98,（2）无散场(无源场、管形场),仅有旋度源而无散度源的矢量场，即,性质：,无散场可以表示为另一个矢量场的旋度,例如，恒定磁场,99,（3）无旋、无散场,（源在所讨论的区域之外）,（4）有散、有旋场,这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分,100,1.7 拉普拉斯运算,1. 拉普拉斯运算,标量拉普拉斯运算,概念：, 拉普拉斯算符,直角坐标系,计算公式：,圆柱坐标系,球坐标系,101,矢量拉普拉斯运算,概念：,即,注意：对于非直角分量，,直角坐标系中：,如：,102,2. 格林定理,设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式：,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,以上两式称为标量第一格林定理。,式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量场 在 S 表面的外法线 方向上的偏导数。,103,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标量第二格林定理。,格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。,格林定理广泛地用于电磁理论。,104,亥姆霍兹定理:,若矢量场在有限空间中处处单值，且其导数连续有界，则任意一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一确定，且可表示为,式中：,1.8 亥姆霍兹定理,有界区域,105,矢量场可用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度来表示； 矢量场可以表示为一个无旋场和一个无散场之和； 如果区域V 内矢量场的散度和旋度处处为0，则矢量场由其在边界面上的场唯一确定。,性质:,106,若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为,式中：,亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。,107,从散度和旋度入手，得到的散度方程和旋度方程组成矢量场的基本方程的微分形式； 从矢量场沿闭合曲面的通量和沿闭合路径的环流入手，得到矢量场的基本方程的积分形式。,矢量场分析的方法:,