平面几何与立体几何ppt课件.ppt

7 平面几何与立体几何,7.1 内容概述,几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。,平面几何与立体几何是最基本的几何学，中学数学对它们的总的教学安排是：初中学习平面几何，高中学习立体几何。几何学历来是中学数学课程改革的重点与难点。当前课程标准对这部分内容作了较大的调整和变化。,平面几何内容在义务教育阶段课程标准中称为“空间与图形”。平面几何课程改革的主要方向是：强调几何内容的现实背景和应用价值；注重几何建模以及探究过程(包括合情推理)；强调发展几何直觉和空间观念；突出学科的文化价值，着力培养理性精神。,初中阶段的空间与图形在内容安排上既不以欧氏几何公理体系为主线，甚至也不严格按照知识的逻辑顺序展开，而是以图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明为线索，并对内容呈现顺序也不作任何规定。,空间与图形的重点是丰富对空间图形的认识和感受，不再从整体上维持平面几何的演绎体系。也许正是由于这样的原因，初中几何课程的设计方案引起了很大争议。,另外，图形的认识新增了视图与投影(包括立体展开图)等内容,试图通过平面图形与立体图形的联系和转换，进一步发展空间观念。,图形的认识还包括尺规作图的内容：4个基本作图以及利用基本作图来作三角形和圆，但明确规定对证明不作要求。,图形的认识要在小学学习的基础上，进一步加深对基本图形的认识，这里的基本图形的主要包括：点、线、面，角，相交线与平行线，三角形，四边形，圆，同时还要探索这些基本图形的基本性质及其相互关系。,图形与变换的内容主要包括：图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似(包括位似)，其中大部分内容是新增加的。,图形与变换并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质和图形的性质，而只要求通过实例认识变换，借助图形的直观探索图形变换的基本性质以及一些基本图形(如等腰三角形、圆等)的性质，并能利用图形变换设计、欣赏图案，让学生真切体验到图形变换的乐趣和价值。,图形与坐标严格说来属于平面解析几何的内容。这部分内容主要介绍坐标法思想和平面直角坐标系，并以此为工具确定点的位置，并探索图形变换与点的坐标变化之间的关系。,安排这部分内容的主要目的是为后续函数的学习提供基础，教学应注意体现数形结合的思想。,图形与证明注重在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中发展合情推理，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明：一方面减少了几何定理的数量，要求用4条基本事实证明有关三角形和四边形的一些基本性质(共8类约40条左右)；另一方面降低了几何证明的形式化要求和习题的难度，淡化几何证明的技巧。同时还要求通过对欧几里得原本的介绍，使学生感受到几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。,图形与证明力图通过适量的、难度适宜的几何证明训练，使学生既能掌握证明的基本格式，学会证明的基本方法(包括反证法)，又能体会证明的必要性，理解证明的基本过程，初步感受公理化思想，从而协调地发展推理能力。,三维空间是人类生存的现实空间。认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段立体几何课程的基本要求。,立体几何初步包括两部分：空间几何体，点、线面之间的位置关系。学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。,高中立体几何由两个部分组成：立体几何初步(必修)和空间向量与立体几何(选修)。,立体几何初步大部分内容与以往课程相同(值得注意的是，新课程删除了对距离和角度度量的要求)。但对于这些相同内容，新课程处理上却有很大不同。,新课程弱化了对证明的要求。立体几何初步共有四条公理、九条定理，删除了三垂线定理等传统内容。教学中要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；而对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，论证则留待在选修系列2-1中统一用向量方法来完成。,以往安排是从局部到整体，先介绍点、线、面，再讲授几何体。新课程则是从整体到局部、先展示大量的几何体(柱、锥、台、球)，在学生感性认识的基础上，再深入研究构成几何体的元素点、线、面。,总之，立体几何初步调整的目的是力图避免以往重视几何内在逻辑要求、以论证为主线所造成的教学过于形式化的面貌，更加强调几何与现实的联系，强调几何直观能力和空间想象能力的培养。,除了调整传统内容，立体几何初步为达到上述目的还专门增加了平行投影与中心投影，几何体及其三视图、直观图之间的相互转化等内容，要求学生巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。,立体几何初步教学的一个基本策略是与平面几何进行类比。平面几何的很多概念和结论可以推广到空间。例如，在平面几何中两条直线相交于一点，立体几何中两个平面相交于一条直线；又如，平行线的传递性，不仅在平面上是正确的，在空间也是成立的，而且还可以推广为平行平面的传递性,但要注意把平面结论推广到空间，有些性质是相同的，有些是类似的，有些则是完全不同的。例如，在平面几何中“垂直于同一条直线的两条直线必平行”，这个结论在立体几何中不成立。,空间向量与立体几何的主要内容是以空间向量为工具处理立体图形中的位置关系问题与度量问题。,在这个模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，在理解直线的方向向量与平面的法向量的基础上，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题以及线线、线面、面面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。,高中立体几何的教学应鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合法，从不同角度解决立体几何问题。,总的说来，平面几何是立体几何的基础，立体几何是的平面几何延续。两者之间的内在联系主要表现在两个方面：,立体几何中的概念基本上是由平面几何的概念发展而来的，平面的很多结论也可以推广到空间。在平面几何中两条直线相交于一点，立体几何中两个平面相交于一条直线；平行线的传递性，不仅在平面上是正确的，在空间也是成立的，而且还可以推广为平行平面的传递性。,因此，立体几何的学习要特别强调类比的思想，要把类比作为整理知识、获得猜想(包括概念)的基本手段。当然也要注意空间与平面，有些性质是相同的，有些是类似的，有些则是完全不同的。垂直于同一条直线的两条直线必平行，在平面几何中成立，在立体几何中不成立。,立体几何问题往往要转化为平面几何问题来解决，化归思想方法是求解立体问题的一把钥匙。二面角用其平面角来度量；计算线长、角度可将有关数量关系集中到某个(直角)三角形中求；曲面展开成平面。,1、如何辩证看待平面几何课程的改革？,中学平面几何传统上属于欧氏几何学的范畴，它主要以最常见的规则图形直线、角、直线形、相似形、圆等为对象，研究其基本的形状、大小和位置关系，并较多侧重定性分析，而较少涉及定量处理。研究方法采用综合法，也称为综合几何。,综合法是一种图形直观分析和逻辑论证相结合的方法。即，在对图形观察分析基础上，对其结论加以逻辑推理和论证。传统中学平面几何主要以欧几里得公理体系为基础，是把公理和直观相结合建立起来的几何演绎体系。为保证论证严密性，证明时主要借助逻辑方法，而尽量避免依赖直观图形。,7.2 问题研究,从世界范围看，欧氏几何的教学已呈现衰退趋势。原因有三：,中学数学受大学数学的影响。分析和代数在大学占主要地位，而几何课很少。,统计等课程在企业和商业的用处越来越广泛。要适合中学生就业需要，就得多教些统计，这挤掉了几何课程。,计算机科学的新要求。计算机只懂代数不懂几何更促使几何的代数化。,我国历来有重视平面几何教学的传统，积累了许多成功的经验。几何学习成为许多优秀学生思维培养和兴趣发展的“助推器”。(优秀学生喜欢几何，几何满分比代数满分多),但传统的平面几何教学又具有双刃剑功能：几何内容的过分抽象和形式化，缺少与现实生活的紧密联系，使几何直观的优势没有得到充分的发挥；几何教学过分强调演绎推理和形式化，使不少学生怕学几何，甚至厌恶几何、远离几何，从而丧失学习数学的兴趣和信心。,国家新一轮课程改革启动后，课程标准对平面几何课程进行了重大调整。调整的主要内容包括：,几何课程不再从整体上维持平面几何的演绎体系，重点是丰富学生对空间图形的认识和感受。,强调几何内容贴近日常生活实际，欣赏并体验几何在现实生活中的广泛应用。,注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。,注重经历观察、操作、推理想象等探索过程，广泛使用“量一量、做一做”等操作性活动。,如何看待这些变化？关键是正确处理好几组关系：,理性精神与理性思维。只证定理做题目，学会了证明方法并不一定意味着体会到了证明的思想，真正理解了证明的意义和必要性，更不能说明已形成了证明的意识和理性精神。培养几何推理能力需要做推理，光讲什么是推理，什么是证明，学生是学不会的。,有用与实用。平面几何学的重要价值不仅在命题本身，更在于它如何确定一个结论的真理性。几何学是人类不凭直观和实验，运用逻辑证明真理的典范。几何学很多问题是理性思维的问题，并不和生活有多大的联系。几何对许多学生来说的确很难，应当减轻他们的负担。但“在一个只包含有用成分的学习课程里，无法唤起个人的积极进取精神。”(R.Tome),公理法与代数法。目前教学改革中争论较大的间题是：用综合法研究基本图形是否有意义？能否用解析几何等代数方法来研究相应的内容？“欧几里得几何是以落后于时代的方法和思维方式所堆砌的一堆遗物。” (J.Dieudonne)代数法研究几何在以下几方面的培养都是有欠缺的：几何直觉；空间想象能力或空间观念；逻辑思维能力(演绎法)。综合法是研究几何的基本方法，也是其他研究方法的基础。,实验、直觉与证明。把证明改成说理，不能量一量就算得到真理。老是量，就倒退到尼罗河时代去了。几何图形的直观能化抽象为具体，往往是启发抽象思维的有力工具；但图形无论画得如何准确，也无法代替逻辑思维而且，直观不一定可靠，还往往和实际情况不符，甚至相反并且复杂的问题，直观就无能为力了。也就是说，直观和实验对获得感性认识起重要作用，而证明命题则主要靠逻辑推理，两者应协调发展。,两点建议：,对所有未来公民实行的几何教育，主要是了解、体会理性思维的价值，掌握一般证明方法，提高思维水平，学会综合运用几何、代数、三角等多种方法。但对其中部分优秀学生，应更加系统和深入学习平面几何，应对公理化思想有更深的体会，对难题证明豁然开朗的“美妙体验”具有真实的感受。因此，不同的人学习不同的几何，设置平面几何选修课是一个不错的选择。,几何内容可以适当减少，但是无论如何，在整体上应该保留一个演绎体系，并注重阐发理性思维的伟大精神价值。结论可以由直观和实验方法进行猜想，但最终必须经过证明。证明可以用图形变换语言进行说理，也可以用三段论的逻辑方法。推理的严密程度随年龄而增加。,2、如何理解欧氏几何公理体系的独特价值？,数学是人类文明的核心部分，中学数学教育应担负起理性文明、科学启蒙的使命。理性的培养需要载体，几何是最好载体。几何对理性思维的价值集中体现在它采用公理化的演绎体系。,有人认为，中学学习公理化思想、培养演绎推理能力未必一定需要通过几何教学来实现。其他学科同样能促进学生学会合乎逻辑的思考、形成严谨求实的科学态度。,其实不然，几何公理体系在诸多方面有着独特的优势和价值。,强烈的美感和震撼力。欧氏几何以熟知的现实空间为研究对象，研究它当然也可采用观察、测量等实验方式。几何公理体系的辉煌之处就在于，这样足够丰富的几何世界居然是可以以几条简单的公理为基础通过演绎推理获得的，这深刻地反映了逻辑的力量，能够极大地唤醒人们崇尚理性的信念。事实上，很多科学伟人正是由此走上科学的道路。,深厚的文化价值。欧氏几何公理体系的问世，在数学的发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学乃至人类文明的发展起了巨大的推动作用。,对几何公理体系的研究直接导致非欧几何的出现，后又更是进一步演变成对公理体系和形式系统的一般研究，产生了哥德尔不完备性定理等划时代研究成果。,欧氏几何公理体系是人类精神文明的瑰宝。受其指引，将已获得的知识用公理化思想方法加以整理，使之成为一种演绎的科学体系，已成为所有科学家(包括社会科学家)所追求的崇高学术目标。,欧氏几何较之其他数学模型更加直观、形象，更易从中抽象出数学的概念、理论和方法。“欧氏几何经常涉及对基础部分的直观理解，它没有功利性的回报，却最富有意义。”(R.Tome),也就是说，尽管演绎推理广泛存在于数学各分支中，并非几何所独有，但以综合法为基础所形成的直观形象的几何体系却是独特的、难以取代的，它能对学生数学能力的发展产生重要影响。,3、反证法是证明命题的逆否命题吗？,所谓反证法，是指从命题结论的反面出发，经过正确的推理，得出矛盾的结果反证法可分为归谬法(反面只有一种)和穷举法(反面有多种)两种。,反证法的理论基础是形式逻辑的矛盾律和排中律。根据矛盾律，两个矛盾的判断不能同真，必有一假，从而得出命题的结论的反面不正确；根据排中律，两个互相否定的命题必定一真一假，因为命题的结论的反面不成立，所以命题的结论成立。,王晓东. 谈数学中“反证法”的应用. 数学通报, 2007, 46(8): 59-60.,“要证命题若A则B正确（简记为AB），途径之一是证与其等价的逆否命题（简记为B A）正确。即从否定B出发，作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理，最后推出与A矛盾的结论，即原命题得证。用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为否定推理反驳肯定四个步骤”。,反证法就是证与其等价的逆否命题吗？,上述对反证法的认识是错误的，反证法不是证明原命题的逆否命题。上述叙述前两句话说的是逆否证法，第三句话说的是反证法的步骤。,作者混淆了“逆否证法”和“反证法”这两个根本不同的逻辑概念，虽然它们的证明过程非常相似，但逆否证法和反证法各自的逻辑等价式不同，在具体运用证题时的方式也有所不同。,逆否证法证明命题pq时，开始时的步骤是否定命题的结论，即q；而反证法在证题开始时是否定“pq”这个命题本身，真正的步骤是“pq”，习惯上只写q.,逆否证法目标明确，由q证明p；而反证法由pq可能得到pp, qq, 与公理定理矛盾，自相矛盾等，矛盾有多种情形，(ss)才是目标。,下面以命题“pq”为例来说明两者的区别。,逆否证法逻辑等价式是(pq)=(qp)；而反证法的逻辑等价式是(pq)(ss)= (pq)。因此，反证法在书写形式上应写上“与矛盾”之类的话，而逆否证法则可以不用。,不借助条件p的帮助，直接从结论q的反面q入手进行推理，得到条件的反面p，这是反证法的一种特例。因此，逆否证法也可看作是一种反证法。,例 已知 ，求证：下列两证法谁是反证法，谁是逆否证法？,证法一：设 ，则即若 ,则 ,于是 ;若 ,则 .总之 ，从而原命题得证。,证法二：假设 ,由此得从而 ,于是因此 ,这与条件矛盾，故原命题得证。,4、几何为何常出现性质定理与判定定理是互逆命题？,一个数学命题总可以写成假言命题的形式。假言命题有两种基本的形式变换换位和换质；多次经过换位、换质这两种措施后，由一个命题只可得出四个命题，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题。,由于逆否命题等效原理(互为逆否的两命题等价),命题四种形式中，实质不同的命题只有原命题和逆命题两种。一般而言，原命题和逆命题并不等价。,原命题和逆命题等价的两种特殊情形：,同一性命题：如果一个命题的条件和结论双方所指对象都唯一存在，则称该命题为同一性命题。例如，等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线。,分断式命题：如果一个命题是由多个命题总合(即合取且)而成，而且这多个命题的前提和结论所含事项双方都面面俱到且互不相容，则称该复合命题为分断式命题。例如，圆中，等弦距圆心等远；不等弦距圆心不等远，大者距离较近，小者距离较远。,如果欲证命题是同一性命题，则可以通过证明逆命题达到证明原命题的目的，这称为同一法。同一法是几何的常用证法。,对于命题：若已知图形A(通常是点、线或面)具有性质P, Q, ,R, 求证它还具有性质X,Y,Z,通常使用同一法的证明步骤如下：,作出一个图形B，使它具有性质X,Y,Z；证明图形B还具有性质P,Q,R；根据性质P,Q,R确定图形的唯一性，从而断定所作图形B与已知图形A重合；得出结论：图形A具有性质X,Y,Z.,上述步骤如形式上严格使用同一性命题的语言，可以改造为：,证明逆命题：图形A若具有性质X,Y,Z, 则还具有性质P, Q, ,R；根据性质P,Q,R确定图形的唯一性(由于逆命题得证，这也就意味着性质X,Y,Z也确定图形的唯一性) ，从而断定所证命题是同一性命题；得出结论：图形A具有性质X,Y,Z.,为了使用同一法，常常需要将所证命题改造成为同一性命题的形式。,例 两平行直线被一直线所截的同位角相等,上述证法实质是将命题改造为：如图，CD与XEF相交，BE平行于CD，求证：XEB=XFD,由前面分析知，采用同一法证明，需事先熟悉一些常用的唯一存在性定理或结论。,过两点有且仅有一条直线.一条线段有且仅有一个中点(定比分点).一个角有且仅有一条角平分线.过圆上一点有且仅有一条切线.过直线外一点有且仅有一条直线与之平行(如在平面内讨论，平行可替换为垂直).过平面外一点有且仅有一个平面与之平行.过一点有且仅有一直线(平面)垂直于已知平面(直线).,能够用同一法证明的命题，都可以改用反证法证明。其基本原理是，将所寻矛盾引到“唯一存在性”上去。,具体方法是：在同一法证明步骤的第一步前加一步：“作出与命题结论相矛盾的假设”；把同一法的第三、四步改为“根据唯一存在性，出现两个不同图形是矛盾的，因此原题得证”。这样，同一法就演变为反证法,当然反过来，反证法不一定能演变为同一法。因为反证法得到的矛盾未必是由唯一存在性引起的。,类似地，对分断式命题，也可以通过证明逆命题达到证明原命题的目的。,例 证明直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。,这个命题可以扩充为一个分断式命题：设CM是ABC的中线，若C为锐角，则CMAB/2;若C为直角，则CM=AB/2;若C为钝角，则CMAB/2.,它的逆命题很容易证明。,证明：若CMAB/2，则CMAM, CMBM.于是在ACM和BCM中, AACM, BBCM. 两式相加，得A+B C, 所以C为锐角。同理可得，若CM=AB/2， C为直角；若CMAB/2, C为钝角。,5、几何变换与几何课程改革？,在20世纪的数学教育改革历程中，几何课程受到变换几何思想的影响越来越大。当前数学课程改革也增加了一些几何变换的内容：,“图形与变换”成为义务教育阶段几何内容的一个基本模块，贯穿全部三个学段。“对称与群”成为高中选修系列3的专题。 “矩阵与变换”成为高中选修系列4的专题。,为什么要将几何变换纳于中学数学课程？,几何变换是一个直觉的概念和工具。人们对几何图形的朴实直观认识，除了来自于静态观察之外，动态操作也是一个基本手段。也就是说，直观思考总体应该包含静与动两个侧面。学习和研究数学需要强调几何直觉，新课程要求发展空间观念和空间想象能力，掌握几何变换自然是其中的应有之义。,传统中学平面几何只要求对静态图形进行观察、思考和论证，并不涉及图形的运动和变化。这样，空间想象自然就无从谈起。这也是后续立体几何之所以成为教学难点的重要原因。,几何变换是几何论证的基本手段。如，等腰三角形的性质和圆的切线长定理用对性性很容易说明。,特别地，用运动观点考虑几何问题，静止的图形就可以动起来。有了几何变换的思想，思考问题就有了方向。许多几何问题的条件和结论之间的联系，表面看起来似乎都不十分密切。但如果通过翻折、旋转、平移、相似等几何变换，把图形某些部分移到新的位置，那么原来联系不密切的图形就会在新的位置产生联系，从而问题就可以获得解决。,几何变换是几何学的基本观点。根据F.Klein的“爱尔兰根纲领”，几何学实质上就是研究空间图形在变换群下不变性质的学科。,“爱尔兰根纲领”将各种互不相关的几何学统一起来，并依次加以分类，具有重要的思想价值。时至今日，寻求不变量的思想已经渗透到几乎整个数学。从研究射影不变量到研究拓扑不变量、相对论中的罗仑兹不变量、纤维丛中的陈省身不变量(陈类)，都是影响数学全局的大事。,另外，变换本身有着广泛的应用背景，如折纸剪纸等，这既利于由此出发深刻理解数学本质，也有利于加强数学与现实的联系。,6、概念失去直觉，几何将会怎样？,数学的一个基本观念是：数学是在人类长期实践中经过千锤百炼形成的精华，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的。数学实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。,因此，现代数学教育倡导概念教学应关注概念形成的思维过程。数学教学“不能仅限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。”数学课程应帮助学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，逐步形成正确的数学观。,特别地，对于中学几何而言，概念教学最重要的一点是要重视学生的直接经验及几何直觉，要使得“概念思考是建立在直观之上的”(爱因斯坦母校瑞士阿劳州立中学的信念)，教会学生如何使得常识具有灵性。,我们的几何教学做到了吗？在立体几何中，你学习过这样一些概念：异面直线间的距离、平面的垂线、二面角的平面角等。你对它们有过困惑吗？你现在是否真正理解它们？它们是否已来自于你的血液，你认同它们甚至欣赏它们？,距离的直觉描述位置的差异,角度的直觉描述方向的差异,平行的直觉是什么？平行就是没有交点。平行其实就是方向相同！,垂直的直觉是什么？垂直就是直角。垂直其实就是不偏不倚！,7、球体积公式的一个教学设计方案,柱、锥、台、球的体积公式在高中要求非常低，只要求了解，不要求证明，甚至也不要求记忆。,是原理过于抽象，难以理解？是方法过于特殊，难以推广？还是过程过于繁琐，难以展开？,以往教材推导这些体积公式的基本工具是祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异”。祖暅原理非常直观，也通俗易懂，还体现了极限思想，是理想的工具。事实上，推导过程也比较简洁。,其实，数学教学中很多难点的形成与与内容和学生没多少关系，更多与教法有关。,应该更多地关注改进教师的教学设计，而这很大程度上受限与教师对数学的理解有关。,球体积公式的推导是其中最难的问题。下面提供教学设计方案。,教学设计方案,1.出示等底等高的圆柱、圆锥、半球，比较它们体积的大小。,2.半球的体积介于圆柱与圆锥之间，圆柱的体积为 ,圆锥的体积为 ,猜猜看半球的体积可能会是多少？,4.半球的体积正好就是圆柱与圆锥体积之差。可在圆柱内挖去一个圆锥，证明得到的几何体的体积与半球的体积相等。,5.如何证明两个几何体的体积相等呢？,3.半球的体积可能会是 ？如何证明？,6.等高几何体证明体积相等，可尝试利用祖暅原理，但此时截面面积并不相等，怎么办？,8.根据前面的讨论，你能求出球缺的体积吗？,7.注意到，几何体的截面面积，一个随高度增加变小，一个随高度增加变大。因此，可试着把其中一个几何体倒过来看看如何？,评析：合情推理、数学美学观念得到较好体现。不足之处是引入背景设计意味较重。,8、如何画几何体的截面？,求解几何问题，识图画图是起点，正确的示意图是正确判定有关几何元素位置关系的前提。中学阶段对直观图有所涉猎，但也只是介绍画法，并不说明作图原理，画图主要依靠学习者的直观感知。这也造成了一些误解。,有人画长方体和圆柱的组合体的直观图时，将长方体部分画成斜二测图，将圆柱部分画成正等测图，对吗？正等测图是正投影，斜二测图是斜投影。,截面在立体几何中占有特殊地位，它是求解立体几何问题的主要辅助平面。截面是转化问题的基本手段，通过作出适当的截面，把已知条件和未知条件全部或部分集中于所作的一个截面内，这样就能使立体几何问题转化为平面几何问题来解。在解决柱、锥、台等几何体时，轴截面和中截面尤为重要。另外，中学阶段也要求直接解决截面的问题。,求作截面不仅有助于培养空间想象能力，也是进一步推理和计算的前提。师范生应掌握求作简单几何体截面的方法。,课堂练习题,1.已知: E,G,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 AB, DD1, BC的中点, 问过 E,F,G的截面是几边形 ?,正方体斜截面的作法,问题：给定正方体ABCD-A1B1C1D1，求作过三点X, Y, Z的平面与正方体相截的截面。,作图基本思想：1.延伸两点的线段与第三点所在侧面或底面相交，得到新的迹点。迹点与第三点连接得到新的迹线。如此往复。2.为了定位线段延伸，必须在线段所在的某个平面内进行，这个平面可能需要构造。,三点都在正方体的棱上,1.三点连线都在正方体表面上。作法：连结XY, YZ, ZX，三角形XYZ即为所求截面。,2.三点连线有两组在正方体表面上作法：连结YZ, ZX，延长ZX与BA相交于U(U可能是无穷远点)，连结UY交AA1于V(若U是无穷远点，则过Y作BA平行线，下同) ，连结XV,多边形XZYV即为所求截面。,3.三点连线有一组在正方体表面上作法：连结YZ交BC于U，连结UX交CD于V，连结ZV交DD1于R，连结RX交AA1于T，连结TY，多边形XTYZV即为所求截面。,4.三点连线都不在正方体表面上作法(作辅助平面化归为前述情形)：考虑到Y在A1B1上，过X,A1,B1作平面XA1B1X1, 连结XY与X1B1交于U, 连结UZ交B1C1于V，交BC于R，连结RX交CD于T，交BA于R1，连结R1Y交AA1于S, 连结YV, XS, 多边形XSYVZT即为所求截面。,三点中有的点不在正方体的棱上(化归为前述情形),1.两点在棱上，一点在表面上。作法：考虑到Y在AA1上，过X,A,A1作平面XX1A,A，连XY与X1A1交于U, 连UZ交A1B1与V，连VY交BA于R，连RX交AD于T，交DC于W，交BC于R1，连R1Z交CC1于S, 连结TY, WS, 多边形TYVZSW即为所求截面。,2.两点在棱上，一点在体内。作法：过X作A1B1C1D1的平行平面A2B2C2D2. 过X, A2 , A1作平面A2A1E1E2. 连XY交E1A1于U，交E1E2于V1, 连V1Z交BC于V, 交BB1于S1, 连结S1Y交AB于S、连UZ于交A1D1于T，连结YT,SV, 多边形YTZVS即为所求截面。,课后练习题,2.过正五棱柱EFGHL-E1F1G1H1L1中三点A, B, C作截面。其中, A, B分别为EL, FG的中点，而C在面E1F1G1H1L1内。,3.过四棱锥S-ABCD中三棱SA, SB, SC上三点A, B, C作截面。,1.过四棱柱ABCD-A1B1C1D1中三棱AA1, BB1, CC1上三点A, B, C作截面。,4.过三棱锥V-ABC中三点D, E, F作截面。其中, D点在棱VB上, F点在面VAB内, E点在棱锥体内。,9、如何求解立体几何计算题？,立体几何主要有两类问题：位置关系、度量关系。线面垂直、平行的研究在位置关系中占有重要地位，同时它也是研究度量关系的基础。,在度量问题中，角和距离的计算是基础，面积和体积的计算是通过求有关角和距离得到的。,因此，角和距离的计算集中地反映了立体几何的主要内容，是学习的难点，也是考查的重点。,求解度量问题主要有两种方法：综合法和向量法。,课堂练习题,用综合法和向量法求解下列问题：1.过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD, 设PA=AB=a. (1)求二面角B-PC-D的大小；(2)求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是AB与BC的中点. (1)求二面角B-FB1-E的大小；(2)求点D到平面B1EF的距离；(3)在棱DD1上是否存在一点M,使得BM平面EFB1？若能，确定点M位置，否则说明理由。3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 底面是等腰直角三角形, ACB=90。,侧棱AA1=2, D,E分别是CC1与A1B的中点. E在平面ABD的射影G是ABD的重心，求A1B和平面ABD所成角的大小。,综合法的解题步骤可以归结为：寻、证、点、算。,寻，即由题意寻找或作出正确图形，根据需要作出辅助直线或平面。有的题目中的辅助线面较多，还要写清成图过程、注明字母，或根据题意，在已给出的图中寻找所需要的图形。,证，就是从题设条件出发，从已学公理、定理、定义出发论证清楚所求的角、距离等，这是解题的根据所在，重点所在，不能一笔带过。,点，就是在前面证明的基础上，点明所求的对象。,算，就是根据题设条件及已论证清楚的结论，计算出所要求的最后结果。,第1题解法一,PA正方形ABCD, PA=AB =a,另解：三角形PCD在面PAB上的射影即是三角形PAB，故平面PAB和平面PCD所成二面角的余弦即是两三角形面积之比，也即是线段PA与PD长度之比。从而，所求二面角为45。,在度量问题中，所求距离和角一般并不直接给出，也由于为了能把数量关系集中在一起，因此采用综合法常常需首先添加若干辅助线，从而显得不易琢磨和不易掌握。,向量法的特点则是有章可循。向量是线段大小与方向的集合体，又可以进行运算，因此几何元素间位置关系和度量关系几乎都可以通过它来解决。,平面向量分解定理、空间向量分解定理是向量法的理论基础。向量法解题的基本思路是：将相关向量表示为基向量的线性组合后，把问题转化为基向量的运算问题。,向量法中基向量的选择是任意的，可以不依赖于坐标系，因此较之坐标法，向量法也有某种灵巧之处。,第1题解法二,A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), P(0,0,a),CBCP=(0,-a,0)(-a,-a,a)=(-a2,0,-a2)=a2(-1,0,-1)CDCP=(-a,0,0)(-a,-a,a)=(0,a2,a2)=a2(0,1,1)上述两向量所夹角的余弦为(-1,0,-1)(0,1,1)/2=-1/2, 即夹角为2/3, 所以二面角B-PC-D的大小为2/3同理得平面PAB与平面PCD的夹角为/4,PA正方形ABCD, PA=AB =a,CP=CA+AP=BA+DA+AP, CB=DA, CD=BA CPCB=(BA+DA+AP)DA=(BA+AP)DA=a(AP+AB)CPCD=(BA+DA+AP)BA=(DA+AP)BA=a(PA+DA)(CPCB)(CDCP)=a2(AP+AB)(PA+DA)=-a2a2=-a4|CPCB|=|(AP+AB)a|= , |CDCP|=|(PA+DA)a|= 二面角B-PC-D的夹角的余弦为 =-1/2, 即夹角为2/3同理得平面PAB与平面PCD的夹角为/4,第1题解法三,PA正方形ABCD, PA=AB =a,第2题解法一,棱长为a的正方体, E, F是AB,BC的中点.,要求：在棱DD1上确定点M,使得BM平面EFB1？,第2题解法二,棱长为a的正方体, E, F是AB,BC的中点.,要求：在棱DD1上确定点M,使得BM平面EFB1？,第3题解法一,直三棱柱,ACB=90。,AC=BC, AA1=2, D,E是CC1,A1B中点. EGABD, G是ABD重心,第3题解法二,A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,0), A1(a,0,2), B1(0,a,2), C1(0,0,2)D(0,0,1), E(a/2,a/2,1),G=(A+B+D)/3=(a/3,a/3,1/3)由GE(ABAD)=0得, a=2可由A1B与GE所成的角得到A1B与平面ABD所成的角,直三棱柱,ACB=90。,AC=BC, AA1=2, D,E是CC1,A1B中点. EGABD, G是ABD重心,1.证明：圆内不是直径的两(相交)弦，不能互相平分。朱德祥.初等几何研究.高等教育出版社.p17,辨析：反设有误！,假设：AB, CD是圆O非直径的两相交弦。求证：AB, CD不能互相平分。,证明：假设结论的反面成立，即设弦AB与CD的交点P既是AB的又是CD的中点。我们知道，弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。那末通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直了，这是不可能的。所以定理得到反证。,7.3 错例辨析,2.在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中, 过BC作截面, 使该截面与底面成 60的二面角, 求此截面面积。,辨析：与底面ABC 成 60的截面并不与棱AA1相交,而是与棱AA1的延长线相交, 因而, 截面不是三角形,而是梯形.,解：如图，过BC作截面BCM与侧棱AA1交于M, 作AK垂直BC于K, 连接MK, 则MKA为二面角M-BC-A的平面角，故MKA=60。, 又AK= , 所以MK= , 从而,3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1底面上的边AB, BC的中点E, F, 作与该底面成30。角的截面，求此截面的面积。,辨析：截面有两解：一个是五边形，另一个是三角形,4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的一条对角线BD1作截面，求其中最小的截面。王林全.初等几何研究教程.暨南大学出版社.p435,辨析：截面在底面的射影不一定是正方形ABCD,解：由图可知，截面在底面的射影是正方形ABCD, 因此它的面积为S=a2/cos.要求S的最小值，即求的最小值.又BD1在底面上的射影是BD, 两者的夹角应不大于截面与底面的夹角. 故所求S的最小值为,5.三棱锥三条侧棱两两垂直，三个侧面与地面所成的角分别为/6,/4,/3，底面积为，求三棱锥的表面积。,辨析：这是一个病题。事实上，对于直四面体，有如下勾股定理：cos2+ cos2+cos2=1，但cos2/6+cos2/4 +cos2/31,解：S表=S底+S底cos/6+S底cos/4 +S底cos/3 =,