第8章 多元函数微分学及其应用 高等数学教学ppt课件.ppt

1 多元函数的基本概念 2 偏导数 3 全微分 4 复合函数与隐函数的求导法,第八章 多元函数微分学及其应用,5 多元函数微分学的几何应用 6 方向导数与梯度 7 多元函数的极值,第八章 多元函数微分学及其应用,第八章 多元函数微分学及其应用,1 多元函数的基本概念,一 平面点集、 n 维空间,1. 平面点集,设 P(x0, y0)和 Q(x, y)是xOy平面上的任意两点，,那么Q和P之间的距离为,称集合U(P,) =Q(x, y)| |PQ| 为点P的邻域.,在xOy平面上, U(P, )的几何意义:以点P为圆心、为半径的圆内所有点所构成的集合.,集合U(P, )P称为点P的去心邻域, 记作,设E为平面上的点集，P为平面上一点. 若存在点P的某个邻域U(P)使得U(P) E，则称点P为E的内点.,如果E中每一点都是它的内点,则称E为开集.,如果点P的任意邻域中既有属于E又有不属于E的点，则称点P为E的边界点. E的边界点的全体称为E的边界.,注 E的边界点可属于E，也可不属于E.,例: 设点集E =(x, y) | 1 x 2+ y2 4 , 则E中满足,1 x 2+ y2 4的点都是E的内点，满足 x 2+ y2=1或x 2+ y2=4的点都是E的边界点.,设E为平面上的点集，P为平面上一点. 若对于任意给定的 r 0, 邻域U(P, r) 都含有E的无限多个点，则称点P为E的聚点.,注: 点集E的聚点可属于E, 也可不属于E.,如果E的所有聚点都属于E, 则称E为闭集.,如果点集E内的任何两点都可用E内的折线连结起来，则称E是连通集. 连通的开集称为区域或开区域.,开区域连同它的边界所组成的点集称为闭区域. 闭区域是一个闭集.,对于平面点集 E，如果存在某正数 k，使得,O 是坐标原点，则称 E是有界集;,否则称为无界集.,2. n 维空间,设n为取定的自然数，n元有序数组的全体,称为n维空间.,称为n维空间Rn中,的一个点，xi称为该点的第i个坐标.,Rn中两点,注: 平面中的概念均可推广到n维空间Rn上去.,二 多元函数的定义,多元函数反映的是一个变量与多个变量的依赖关系.,例1 由电学定律知, 电流所作的功W与电流强度I的平方成正比,与电流通过的时间t成正比, 其关系可表示为：W = RI2t, 其中R为常量, 为电路上的电阻.,例2 在空间解析几何中, 方程,旋转抛物面.对于平面xOy上的任何一点(x, y), 对应着唯一的实数 z,使得点P(x, y, z)位于该旋转抛物面上.,定义1 设D为平面上的一个非空点集. 如果对于D中每一点P (x, y)，按照法则f, 总有唯一确定的实数 z与之对应, 则称 f 是D上的二元函数, 记为 z = f (x, y)， (x, y)D.,或,z = f (P)， PD.,点集D称为函数的定义域, x、y称为自变量，z称为因变量；D中每一点(x, y)对应的实数z称为f在点(x, y)的函数值; 数集,称为该函数的值域; 点集,称为二元函数的图形.,例: 函数 z = x+ y的定义域是 xOy面,值域是 R,图形是一张平面;函数 z =x 2+y2的定义域是xOy面, 值域是z 0: zR, 图形是旋转抛物面.,关于二元函数的定义域, 约定: 如果该函数采用解析式表示, 而没明确指出定义域,则该函数的定义域理解为使这个解析式有意义的那些点所组成的点集, 这种点集也称为该函数的自然定义域.,例3 求,的定义域 .,解 使解析式ln(x+y)有意义的点集是,使解析式,有意义的点集是,故f (x, y)的定义域为,定义2 设D是n维空间Rn的非空子集. 若对于D中每一点 P(x1,x2 , ,xn), 按照某一法则f总有唯一确定的实数y与之对应,则称f是定义在D上的n元函数.记作,y = f ( x1, x2 ,.,xn ), ( x1, x2 ,.,xn ) D，,或,y = f ( P ), P D.,点集D中的点P(x1, x2 ,.,xn) 唯一确定的数y称为 f 在点P的函数值.,点集D称为函数的定义域, xi称为自变量，i =1,2, ,n,而z称为因变量.,三 多元函数的极限与连续,1. 多元函数的极限,设E为平面xOy上的点集, P0(x0, y0)是E的聚点. E上的动点P(x, y)趋于P0(x0, y0), 记作P(x, y) P0(x0, y0),或 (x, y) 趋于 (x0, y0),记作P(x, y) P0(x0, y0), 是指,注: 考虑的是 P与 P0的距离趋于0, 因此点P可以任何方式趋于点P0.,定义3 设二元函数z = f (x, y)的定义域为D, P0 (x0, y0)是D的聚点. 如果对任意给定的正数,总存在正数,使得对任意点,时,总有| f (x, y) - A| 成立,则称常数A为函数,z = f (x, y)当(x, y) (x0, y0)时的极限, 记作,或,二元函数的极限又叫做二重极限.,例4,解 点P0 =(0,0)是该函数定义域D = (x, y) | x2+y2 0,的聚点.,例5 求下列各极限.,解（1),作变换u = xy,那么当(x, y)(1, 0)时u 0, 从而,注 在二重极限中,点(x, y)趋于(x0, y0)的方式具有任意性, 因此, 判断f (x, y)的极限的存在性要顾及自变量的所有可能的趋近方式. 但是要否认极限的存在却简单些,只要找出趋于(x0, y0)的一个点列(xn, yn),使得数列f (xn, yn)没极限, 或找出(x, y) 趋于(x0, y0)两种方式, 使得 f (x, y) 关于这两种不同方式具有不同的极限值即可.,例6 设函数,证明:当,证明 当点P(x,y) 沿x轴趋于点 (0,0) 时,y =0,从而,当点P(x,y) 沿y轴趋于点 (0,0) 时,y =0,从而,此极限值与数k有关,当k的值不同时,极限值也不同.,定义3 设n元函数w = f (P)的定义域为D,是 D的聚点.若对任意正数,总存在正数,使得当,时,总有 | f (P)-A| 成立,则称常数A为函数w = f (P)当P P0时的极限. 记作,或,2. 多元函数的连续性,定义4 设n元函数w = f (P)的定义域为D, P0D且 P0是D的聚点. 如果,则称函数 f (P) 在点P0连续.,如果函数w = f (P)在D上每一点都连续,则称,函数w = f (P)在D上连续.,若函数f (P)的定义域D的聚点P0使得该函数,在P0不连续, 则称P0为该函数的间断点.,若函数f (P)的定义域的聚点P0 是该函数的间断点, 则必属于下列三种情形之一：,(1) f (P)在点P0无定义;,(2) f (P)在点P0有定义但极限,(3) f (P)在点P0有定义且,例如,直线,上的任何一点都是函数,注: 多元连续函数的和、差、积、商（在分母不为0处）均连续；连续函数的复合函数也连续.,若一个函数由常数以及x1, x2,xn为自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到并可用一个式子表示，则称之为n元初等函数.,每一个多元初等函数在其定义区域内连续.,例7 求极限,解 函数,的定义域为,D=(x,y)| x 0且x y.点(1,1)是D的聚点,但不属于D.,在D上,为(x, y) | x 0 , 它以 (1, 1)为内点. 故,有界闭区域上的多元连续函数的性质：,性质1（有界性定理）,如果多元函数f (P) 在有界闭区域 D上连续,则该函数在 D上有界.,性质2（最大值与最小值定理）,如果多元函数 f (P)在有界闭区域 D上连续，则该函数在D上能取得最大值和最小值 .,如果多元函数 f (P)在有界闭区域 D上连续，,性质3（介值定理）,则该函数在D上必取得介于最大值M和最小值m,之间的任何值,即对于cm, M ,P0D 使得,f(P0) = c .,2 偏导数,第八章 多元函数微分学及其应用,一 多元函数偏导数的概念,定义1 设z = f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内有定义.,如果极限,存在, 则称此极限为函数 z = f (x, y)在点 (x0, y0)处对x的偏导数，记作,函数z = f (x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数,记作,定义为如下极限(当它存在时),如果函数z = f (x, y)在区域D内每一点 (x, y)处都存在对的偏导数,那么这个偏导数仍是x和y的函数，称为z = f (x, y)对自变量 x 的偏导函数.对 x 和对 y 的偏导函数分别记作:,注：在不至于混淆时,将偏导函数简称为偏导数.,函数,例1 求,解,代入得,例2 设,求证：,证明,例3 某厂生产甲、乙两种产品, 当甲的产量为 x 千克, 乙的产量为 y 千克时, 总成本为,试求,解,二 二元函数偏导数的几何意义,设二元函数z = f (x, y)的图形如图：,过点M作平面 y y0，,截此曲面得一曲线，,点M (x0, y0, f (x0, y0),为曲面上的一点 .,曲线在点M处的切线MTx 对x轴的斜率.,则导数,就是这,是曲面被平面x =x0所截,偏导数,曲线在点M处的切线MTy对y轴的斜率.,z = f (x, y0),此曲线在平面y y0上的方程为,三 多元函数偏导数与一元函数的导数的差异,例3 已知理想气体的状态方程,求证,证明,注1: 偏导数的符号是一个整体记号.,例4 求函数,在点(0,0)的两个偏导数 .,解,注2: 多元函数的各偏导数在某点都存在,不能保证函数在该点连续.,四 高阶偏导数,设函数z = f (x, y)在区域D内具有偏导数,在D内,如果它们的偏导数也存在,则称它们是z = f (x, y),的二阶偏导数.,函数z = f (x, y)的二阶偏导数有:,其中fxy(x, y) 与 fyx(x, y)称为混合偏导数.,二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,继续求对x和y的偏导数(如果存在),可得三阶偏导数.,例5 设,解,注: 并非任何二阶混合偏导数都相等.,定理1 如果函数z = f (x, y)的两个二阶混合偏导数,zxy 及 zyx 在区域D内连续，则这两个二阶混合偏,导数在 D内必相等.,例6 设,证明,上述二阶偏微分方程, 称为Laplace方程.,例7 某企业生产甲、乙两种产品，当甲的产量为x千克，乙的产量为y千克时，总成本为,试求Cx(25, 100), Cy(25, 100),并说明其经济学含义.,解,在经济学上, Cx (x, y)和Cy (x, y)表示边际成本.,例如: Cx(25, 100) =10.4(元/千克)表示,当乙产品的产量保持100千克不变, 而甲的产量从25千克再增加1千克时, 总成本就要(近似地)增加10.4(元).,3 全微分,第八章 多元函数微分学及其应用,一 全微分的定义,定义1 设函数z = f (x, y)在点 P(x ,y) 的邻域有定义. 如果该函数在点P(x ,y)的全增量,可表示为,A, B是仅与x, y有关的常数,当,时, o()为 的高阶的无穷小量, 则称函数 z = f (x, y),点 (x ,y) 处可微分,并称 z的线性主部A x+ B y为函,数 z = f (x, y)在点 P(x ,y)的全微分, 记作dz，即,dz = A x+ B y .,注1: 二元函数全微分的两个特征:,(1) dz 是 x与y的线性函数；,(2) z与dz之差是比 高阶的无穷小量(0) .,注2: 如果函数在点(x ,y)可微,则函数必在该点连续.,如果函数在区域 D内每一点 (x ,y) 处都可微，,则称函数在区域D内可微分.,定理1（可微的必要条件）,如果函数z = f (x,y)在点(x,y)可微,则函数在该点,的偏导数,必存在，且在该点的全微分为,或,证明, z = f (x, y)在点(x, y)可微，,(3.1),(3.1)式变为,从而偏导数fx(xy)存在且等于A.同理fy(xy)=B.,注: 二元函数的偏导数存在并不是可微的充分条件.,定理2（可微的充分必要条件）,函数z = f (x, y)在点(x ,y)可微的充分必要条件,是，函数在该点的偏导数,存在，且,其中，o()为 的高阶的无穷小量.,定理3（可微的充分条件）,如果函数 z = f (x, y)的偏导数f x(x, y)， f y(x, y),在点(x, y)连续，则函数 z = f (x, y)在该点可微.,证明,应用拉格朗日中值定理，有,多元函数的连续性、偏导数存在、可微、偏导数连续 之间的关系:,偏导数连续,可微,偏导数存在,函数连续.,例1 求 z = x2+3xy+y4 在点(1,2)的全微分.,解, 函数在点(1,2)的全微分为：,例2 求,解,二 全微分在近似计算中的应用,设z = f (x, y)在点(x ,y)可微, 则函数的全增量与全微分之差是一个比高阶的无穷小, 因此,当,很小时, 全增量可近似地用全微分代替,即,故,例3 计算,的近似值.,解 设函数,取x =1, y =2 , x = 0.04, y = - 0.03.,x =1.04, y =1.97的函数值 的近似值.,则本题就是求函数在,例4 对一大水管表面进行油漆，需求其侧面积.,测量圆柱体底半径和高分别为20cm和 500cm,可,能产生的最大误差分别为0.1cm和1.5cm. 试估计,因测量而引起该测面积的绝对误差和相对误差.,解 底半径为r、高为h的圆柱体的侧面积为,绝对误差可用全微分来近似计算，即, 半径和高最大误差分别为0.1cm和1.5cm，, | dr | 0.1，| dh | 2.5.,取r = 20, h = 500，dr = 0.1, dh = 1.5, 于是, 该侧面积的最大绝对误差为492cm2,相对误差为0.8 %.,例5 某企业生产甲、乙两种产品, 当甲的产量为 x千克，乙的产量为 y千克时，总成本为,现设月产量为甲900千克, 乙400千克, 试问当甲的产量增加 1%, 乙的产量减少 2%, 或甲的产量减少1%,乙的产量增加3%时,总成本将如何变化?,解 本题是求,因此, 在第一种情况下, 总成本将减少约30.6元, 在第二种情况下, 总成本将增加约61.2元.,第八章 多元函数微分学及其应用,4 复合函数与隐函数的求导法,一 求导的链式法则,1 复合函数的中间变量均为同一个自变量 的一元函数的情形,定理1 设函数,注: z = f u(t), v(t)是t的一元函数,故上式称为全导 数公式.,例1 设,解1,解2,2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形,定理2 设函数,偏导数存在, 而函数,则复合函数,个偏导数存在, 且,例2 设,解 设,例3 设,证明,3 复合函数的中间变量既有一元函数又有 多元函数的情形,定理3 设函数,例4 设,解,注: 定理3可推广到复合函数的中间变量多于两个 的情形.,设函数 u=u (x, y)在点(x, y)的两个偏导数都存在，,函数 z = f (u, x, y)在点 (u, x, y)可微，则复合函数z = f (u(x, y), x, y)在(x, y)的两个偏导数都存在,且,注,二元复合函数 z = f (u(x,y), x, y) 对x (将y看作常量)与对y (将x看作常量)的偏导数;后者是以u、x、y为,自变量的三元函数z = f (u, x, y)对x(将u,y看作常量),与对y (将u、x 看作常量)的偏导数.,二 全微分形式的不变性,变量,那么, 全微分可表为,其中,于是,例5 设,的所有偏导数连续，求,解,三 隐函数的微分法,定理1 (隐函数存在定理1),设函数F(x, y)满足:,(1) 在点P0(x0, y0)的某一邻域,内具有连续偏导数;,(2) F(x0, y0) = 0; (3) Fy(x0, y0) 0，,则方程 F(x, y) =0 在点 P0(x0, y0)的某一邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数y= f (x),它满足F(x, f (x) 0, y0= f (x0),且,注: 如果F(x, y)的二阶偏导数连续，那么, 还可,求隐函数 y= f (x) 的二阶导数.,例6 求方程,所确定的隐函数,y= f (x) 的一阶与二阶导数.,解 设,两边对x求导得,代入上式得,将,定理2（隐函数存在定理2）,设函数F(x, y,z)满足:,(1) 在点,(2),(3),唯一地确定一个具有连续偏导数的函数z =f (x,y),例7 求由方程,所确定的隐函数,z = z(x,y)的偏导数,解 设,则,故,第八章 多元函数微分学及其应用,5 多元函数微分学的几何应用,一 空间曲线的切线与法平面,1. 设空间曲线的参数方程为,均可导且其导数不同时为零.,考察上对应于 t=t0 时点P的切线方程.设上对,割线PM的方程为,当点M沿着无限趋近于P时，割线PM的极限,切线的方向向量称为曲线的切向量.过点P0而,与切线垂直的平面称为曲线在点P的法平面.,法平面方程：,2. 设空间曲线的方程为,、,处的切线方程及法平面方程分别为,例1 求螺旋线,处的切线方程与法平面方程.,解 曲线上对应于,在点P的一个切向量为,在点P处的切线方程为,法平面方程为,即,二 曲面的切平面与法线,设曲面的方程为,是曲面上的一点. 又设,的偏导数在点M连续且不同时为零. 在曲面上,通过点M任作一条曲线,设的参数方程为,那么,是的切向量.又,与的切向量,曲面上过M的任意一条切线均与一个常向量垂直.这些切线在同一个平面内，这个平面称为曲面在点M的切平面.,曲面在点M的切平面方程为,过点M且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 该法线方程为,与曲面在点M处的切平面垂直的非零向量称为在点M处的法向量. 故n是曲面在点M处的一个法向量.,设曲面的方程为:,于是，曲面在点M的一个法向量为,从而, 在点M的切平面方程和法线方程分别为,例2 求旋转抛物面,处的切平面方程和法线方程.,解,切平面方程为,即,法线方程为,例3 求椭球面,的切平面方程.,解,解得,所求切点为,故所求切平面方程为,即,第八章 多元函数微分学及其应用,6 方向导数与梯度,一 方向导数,定义1 设函数,定理1 如果函数,证明,等号两端同除以，得,注1,注2,例1 求函数,解,于是,二 梯度,称向量,的梯度. 记作grad,i +,j为函数,grad,i +,于是, 方向导数公式可表为,grad f (x0,y0),=grad f (x0,y0)cos,l的方向余弦(cos , cos ),=(gradf ,el).,j,投影是一条平面曲线L，它在平面直角坐标系中的方程为f (x,y) = c, 称平面曲线L为函数z= f (x,y)的等值线. 等值线上点(x0,y0)的一个法向量为,n =( f x(x0,y0), f y(x0,y0),这说明函数在点(x0, y0)的梯度方向与等值线在该点的一个法线方向相同,而沿这个方向的方向导数,等于grad f (x0,y0).,由此，梯度向量垂直等值线，且方向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线.,三元函数f (x,y, z)在点P(x0,y0,z0)的梯度为,若函数 f (x, y)在平面区域D中处处都有偏导数时, 则f (x, y)在D中每一点都确定了梯度,grad f (x, y) = f x(x, y) i + f y(x, y) j .,故D中每一点(x, y)都对应着一个向量grad f (x, y).,grad f (x0, y0,z0) = f x(x0, y0,z0) i + f y(x0, y0,z0) j + f z(x0, y0,z0) k.,若区域D中每一点都对应着一个向量a = a (x, y),则称a为D上的一个向量场.,grad f (x, y)是D上的一个向量场，称之为梯度场.,多元函数的梯度和向量场的概念:,假定区域V上的三元函数u = f (x, y, z)处处存在偏导数, 则V中每一点的梯度定义为：,grad f (x,y,z ) = f x(x,y,z) i + f y(x,y,z) j + f z(x,y,z) k；,而grad f (x, y, z ) 是V上的一个称为梯度场的向量场.,例2 设 f (x, y, z ) = yz2 +x3z. 求(1)grad f (x, y, z )， （2）grad f (1, 2, -1 ).,解,f x(x,y,z) = 3x2z, f y(x,y,z) = z2, f z(x,y,z) = 2yz+x3.,grad f (x, y, z ) = 3x2z i + z2 j + (2yz + x3)k，,grad f (1, 2, 3 ) = -3 i + j -3k.,例3 求grad,(其中k为常数).,解 设,grad,i,j -,k,第八章 多元函数微分学及其应用,7 多元函数的极值,一 无条件极值,定义1 设函数z= f (x,y)的定义域为D, P(x0,y0)为D的,内点.若存在P的某个邻域,使得对于该邻,域内异于P的任何点(x,y),都有,则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大(小)值, 点 (x0,y0)称为,f(x,y)的极大（小）值点极大值点 、极小值点统称为极值点；极大值 、极小值统称为极值,例如:,二元函数取极值的必要条件:,定理1(极值的必要条件),的两个偏导数都存在, 且在点(x0,y0)处有极值, 则,证明 不妨设,根据一元函数极值的必要条件,同理有,注: 若函数的偏导数存在,那么,极值点必定是驻点.,但函数的驻点不一定是极值点.,的驻点，但不是极值点,例: 点(0,0)是,定理2(极值的充分条件),的某邻域内连续且有二阶连续偏导数，又设,则函数f (x, y)在驻点P(x0, y0)的极值状况为,(i) 当,时, 点P(x0, y0)是极值点:,若A0, P是极小值点;若A0, P是极大值点;,(ii) 当,时, 点P(x0, y0)不是极值点;,(iii) 当,时, P(x0, y0)可能是极值点,也,可能不是极值点.,当二阶偏导数连续时，求极值点的步骤:,(1) 解方程组,得全部驻点(xi, yi),(2)求二阶偏导数,计算二阶偏导数在每个驻点的值,(3)根据定理2,分别判定各驻点是否为极值点. 若是,极值点,则进一步判断是极大值点还是极小值点.,例1 求函数,的极值点.,解,解方程组,得驻点为,在点(-1,0 )处,在点(-1,2 )处,在点(3, 2 )处,在点(3, 0 )处,注: 函数在偏导数不存在的点也可能取得极值.,例如: 函数,的偏导数,不存在，但 f (0,0)是极小值因此，求函数的,极值时，对偏导数不存在的点也要考虑.,求有界闭区域D上连续函数 f 最值的一般方法：,(1)求出 f 在D内的所有驻点和偏导数不存在的点， 以及 f 在D的边界上的最值点;,(2)将函数 f 在这些点的函数值进行比较，最大者 即为最大值，最小者即为最小值.,(3)对于实际问题，若能断定函数的最值在D的内 部取得，而且函数在D内又只有一个驻点，那 么，这唯一的驻点就是所求函数的最值点.,例2 在半径为,的球内，求具有最大体积的,内接长方体,并求此最大体积,解 设球面方程为,长方体的棱都平行于某条坐标轴.,设长方体在第一卦限的顶点为,体积为,定义域,解方程组,由题意知,体积最大的球的内接长方体一定存在,并在D的内部取得.又在D内, 体积函数只有唯一驻点(R, R)，因此,当长方体的长、宽高都是2R 时，体积最大这时高为2R, 且最大体积为8R3.,例3 某工厂生产甲、乙两种产品,销售单价分别为10元和9元, 生产甲 x个, 生产乙产品 y个, 总费用为,问两种产品的产量各是多少时利润最大?,解 利润函数,解方程组,得唯一驻点 (120, 80).,即当产品甲生产120个、乙产品生产80个时利润最大.,二 条件极值,函数在对自变量附加条件的情形下的极值称为条件极值.,在一些实际的极值问题中,函数的自变量还要受到某些条件的限制.,求条件极值的一般方法是拉格朗日乘数法,思想方法: 将条件极值转化为一个辅助函数L的无条件极值问题, 即利用L的驻点得出原条件极值的可能极值点,再加以检验,以二元函数为例,设z = f (x, y)以及F (x, y)在某区域D内的一阶偏导,数连续，并且F x 、F y不同时为零，寻找目标函数,z = f (x, y),在约束条件,F (x, y) = 0,下取极值的必要条件.,设(x0, y0)是z = f (x,y)在条件F(x, y) = 0 下的极值点，,则F(x0, y0) = 0. 又F x 、F y不同时为零,不妨设Fy,某邻域存在唯一的、具有连续导数的函数y=g (x),使得,由一元函数极值的必要条件知, x0是,的驻点，即,代入上式得,又,即,令比值为,于是, 极值点(x0, y0)必同时满足,(),作辅助函数,称L(x, y, l)为拉格朗日函数，l称为拉格朗日乘数.,那么()式变为,借助拉格朗日函数来求条件极值的方法，称为拉格朗日乘数法,于是,求条件极值化成L(x, y, l)的无条件极值.,例如:求,注: 拉格朗日乘数法可推广到n元函数(n2) 、 条 件多于一个的情形.,作拉格朗日函数,在各偏导连续的条件下，该条件极值的极值点必满足方程组:,以及,例4 求函数z = xy在条件,解 作拉格朗日函数,解方程组,得,代入z = xy中,例5 某企业生产一种产品W单位时需用A、B 两种原料分别为x、y单位, 满足关系W(x,y) = 0.005 x2y .,现计划投入150万人民币以购买这两种原料.已知A种原料的单价为1万元, B种原料的单价为2万元.问:应如何购买这两种原料才能使生产的产量最高?,解 根据题意，问题归结为求函数,W (x, y) = 0.005 x2y,在约束条件x+2y =150下的最大值.,作拉格朗日函数,L (x, y, l) = 0.005 x2y + l (x+2y -150).,求L的一阶偏导数,并令它们分别等于零, 得,Lx (x, y, l) = 0.01 xy + l = 0,Ly (x, y, l) = 0.005 x2 + 2l = 0,Ll (x, y, l) = x + 2y -150 = 0.,解得 x =100, y = 25, (l = -25).,只有唯一驻点(100,25), 且实际问题的最大值存在,驻点(100,25)也是W(x, y)的最大值点, 而最大值为,W(100, 25)=1250 (单位),即当购买A种原料100单位, B种原料25单位时,可使生产的产量最高.,